教學課題§3奧-高、斯托克斯公式

1、教學課題：§3奧高、斯托克斯公式教學目的：掌握奧高與斯托克斯公式教學重點：奧高公式與斯托克斯公式教學過程： 22.3.1 奧高公式格林公式揭示了平面區(qū)域上的二重積分與圍成該區(qū)域的閉曲線上的第二型曲線積分之間的聯系，奧(Ostogradsky,1801-1862,俄國數學家)高(Gauss,1777-1855，德國數學家)公式則揭示了空間域上的三重積分與的邊界曲面上的第二型曲面積分之間的聯系?？梢哉J為奧高公式是格林公式在三維空間的推廣。定理22.3若三維空間中的有界閉域是由光滑的閉曲面所圍成，函數、及其偏導數在有界閉域上連續(xù)，則     

2、0;  （22.3.1）其中曲面取外側。公式（22.3.1）稱為奧高公式。證 首先證明如圖7.1所示，設在平面上的投影域為,以的邊界為準線，以平行于軸的直線為母線所做的柱面。把閉曲面分成三部分：其一為的側面，另外兩部分分別為的上、下底和。其中：與：。因為上的法向量垂直于軸，故 。從而                        根據三重

3、積分的計算公式，有 = 根據曲面積分的性質，得    （22.3.2）同理可證      （22.3.3）       （22.3.4）將等式（22.3.2）、（22.3.3）和（22.3.4）的等號左右端分別相加，得奧高公式（22.3.1）。  若曲面與平行坐標軸的直線的交點多于兩個，可用光滑曲面將有界閉域分割成若干個小區(qū)域，使圍成每個小區(qū)域的閉曲面滿足定理的條件，奧高公式仍是正確的。奧高公式在圖7.2所示的中的復

4、連通域也成立。這里，的邊界曲面為，的邊界曲面為，則奧高公式為     (22.3.5)如果設閉曲面上點的外單位法向量，由兩類曲面面積分之間的關系可知，奧高公式又可改為=  在奧高公式（7.1）中,令,則有             于是中的有界閉域的體積可用第二型曲面積分表示為             

5、0;                  (22.3.6)例22.3.1計算 ,其中是平面及三個坐標面所圍成的立方體的外側表面 .解  設        ,則             

6、0;                              由奧高公式,有                      

7、;              例22.3.2計算    ,其中為旋轉拋物 部分的外側。      解 作輔助平面,則平面與旋轉拋物面圍成空間有界閉域,設的下底是,取下側.注及            于是由奧高公式,有     &#

8、160;                 =        =     例22.3.3計算     ,其中為球面的外側 .解  因為當點時,于是由奧高公式,有            

9、;       例22.3.4試證  ,    其中在閉曲面所圍的有界閉域有二階連續(xù)偏導數,取外側,且為的單位法向量.      證    記  ,  ,   ,則          、 在上連續(xù)，從而由奧高公式，有     &#

10、160;    例22.3.5求流速場流過曲面的流量，其中具有連續(xù)的導函數，為、所圍立體的表面內側。 解  設所包圍的空間閉域為。                                    

11、0;                              則、在上連續(xù)，所以由奧高公式,有    = 例22.3.6設為的一個光滑閉曲面，為上的點處的外單位法向量，試就：（1）不包含原點（2）包含原點分別計算曲面面積積分   ，其中   。解&

12、#160;  設   ，則          于是     （1）       當不包含原點時，令為所圍成的有界閉區(qū)域。設                     則 &

13、#160;    ，由對稱性可知  ，且及、在上連續(xù)，所以由奧高公式,有         （2）       當包含原點時，在內挖去一小球面  。取內側。記與所圍成的有界閉域為，見圖7.4，則由復連通域情形的奧-高公式,有             例22.3.7證明:由圓錐曲面和平面所圍成的錐體(見

14、圖7.4)體積等于,其中為位于平面上的錐底的面積,為錐的高.    證  設錐體的表面為,取外側.又設錐體的錐面為,錐底為,則,于是錐體的體積 其中為上點處的單位法向量.設為錐面的頂點,則            (利用奧-高公式)注意到當點時, , 當點時, ,于是      。22.3.2 斯托克斯公式22.3.1中的奧-高公式揭示了沿著閉曲面第二型曲面積分與該曲面所圍成的閉區(qū)域上的三

15、重積分之間的內在聯系,認為是格林公式在三維空間 的推廣.而格林公式還可以從另一方面進行推廣,就是將曲面積分與沿該曲面的邊界閉曲線的積分聯系起來.設為一光滑的有界開曲面,其邊緣是空間閉曲線.這里曲面的正向與閉曲線的正向要符合右手系.即右手的四指按的正向彎曲, 則大拇指指向為曲面的正向,反之亦然.定理22.4設光滑的開曲面的邊界是光滑或逐段光滑閉曲線,函數、及其偏導數在曲面上連續(xù),則=             （22.3.7）這里曲面的正側與曲線的正向成右手系.公式（8.1）稱為

16、斯托克斯 (Stokes,18191903，英國數學家)公式。證   首先假設平行于三個坐標軸的直線與曲面的交點至多只有一個。下面證明=設曲面在平面上的投影區(qū)域為  ，區(qū)域 的邊界曲線為   ， 的方向與一致。曲面的方程為                         

17、0;                 如圖8.1所示。   平行于軸的直線與曲面至多有一個交點，由曲線積分計算公式，有=另一方面=于是       =                =    

18、;   =          （利用格林公式） 可見              = 如果曲面的法向量與軸的正向夾角   ，同樣的方法可證上式成立。同理可得    =           &#

19、160;           =    將上面三式的等號左、右兩端分別相加，得斯托克斯公式(8.1)  .若曲面與平行于三個坐標軸的直線交點多于一點,可利用一些輔助曲線把它分成若干塊,使每塊與平行與三個坐標軸的直線至多交于一點,那么在每一塊上應用 (22.3.7),相加并注意到在輔助曲線上線積分恰好來回各積分一次而相互抵消,從而式(22.3.7) 仍成立. 斯托克斯公式也用第一型曲面積分表示,即=      

20、;         （22.3.8）其中 是的單位法向量.為了便于記憶,可將(8.2)中的曲面積分記做= 于是斯托克斯公式也可寫做=                                &#

21、160;         （22.3.9）特別,當 是平面上的簡單閉曲線，曲面 是 在 平面上所圍成的平面區(qū)域, 斯托克斯公式就退化為格林公式.例22.3.8計算，其中點是由點、       組成的三角形的邊界ABCA,正向取做  ,如圖 8.2 所示。解       當然此題可以直接去計算曲線積分.這里用斯托克斯公式來計算. 把閉曲線 視由點A、

22、B、C所確定的三角形平面的邊界.記該三角形平面為 , 則  的方向確定了上的側 ,符合右手系.于是,記                                     則    &#

23、160;            可見、及其偏導數在 上連續(xù), 根據斯托克斯公式,有 =                                 

24、0; = 由于  或  ，  且 取上側 , 于是由第二型曲面積分計算公式 ,有          =                              

25、;             =例22.3.9計算 , 其中曲線是螺旋線： 如圖8.3所示  .       解    曲線  加上線段構成逐段光滑閉曲線 ,其中 ， ，             

26、60; 記以為邊界的圖 8.3  所示的陰影部分的曲面為  ,且 正方向與 的方向與符合右手系.于是由斯托克斯公式,有     =于是        =                           =例

27、22.3.10 計算 ,其中 曲線 是立方體 、的表面與平面 的交線,其方向與平面指定的法方向構成右手系,如圖8.4所示 .解                   ，                 由斯托克斯公式,有  

28、0;                              =               =       

29、;       =由于 的單位法向量 ,于是           =           =  =    是曲面  在  平面上的投影,它的面積是 ，從而         

30、0;       例22.3.11計算   ,其中 為：(1)    任意不圍繞也不通過  軸的閉曲線,從  軸正方向看其方向為逆時針方向,如圖8.5(a) .(2)    任意圍繞 軸一圈的閉曲線,從  軸正方向看其方向為逆時針方向, 如圖8.5(b) .解   (1)    任取一個以  為邊界且不通過  軸的曲面   ,由

31、假設                               ，    ，且                 

32、60;      故由斯托克斯公式,此時有      =    =(2)  此時以  為邊界的任意曲面與  軸相交,因而不滿足斯托克斯公式的條件.為了用斯托克斯公式計算原線積分,我們以  為準線,以平行于  軸的直線為母線作一柱面,該柱面在  平面上的交線為 ,其方向從  軸正方向看為 順時針方向。取該柱面在與    之間的部分為曲面,并在上任取一條母線， 以閉曲線

33、為該柱面  的邊界線, 的正向取內側,于是由斯托克斯公式,有             =又因為     =     = =根據復連域上的格林公式,有       =于是令  , 則于是,有           

34、      平面曲線積分與路徑無關的等價命題,也可推廣到三維空間上來,有如下兩個定理。證明留給讀者，這里從略。 定理22.5  設向量函數  的三個分量函數及其偏導數在 的單連通域 上連續(xù), 則下列命題是等價的.(1)    曲線積分              只與曲線 的起、終點、 有關,而與 的路徑無關。(2) &

35、#160;  在 內存在三元函數 ,使                                                                        (3)      , 有