復(fù)雜性中的思維2．3哈密頓系統(tǒng)、天上的混沌和量子世界的混沌

1、復(fù)雜性中的思維23哈密頓系統(tǒng)、天上的混沌和量子世界的混沌    23哈密頓系統(tǒng)、天上的混沌和量子世界的混沌     在18世紀(jì)和19世紀(jì)，牛頓力學(xué)看來(lái)是揭示了一個(gè)永恒自然之序。從現(xiàn)代的觀點(diǎn)看，牛頓系統(tǒng)僅僅是一種在建立實(shí)在模型中有用的動(dòng)力系統(tǒng)。為了說(shuō)明牛頓系統(tǒng)的起始狀態(tài)，必須知道其中所有粒子的位置和速度。在19世紀(jì)中葉前后，數(shù)學(xué)家威廉姆·哈密頓引入了一種非常優(yōu)美的有效的數(shù)學(xué)形式。他富有成果的思想是用所謂的哈密頓函數(shù)H來(lái)標(biāo)志一個(gè)保守系統(tǒng)，此函數(shù)H用所有位置和動(dòng)量變量來(lái)表達(dá)系統(tǒng)的總能量（動(dòng)能加上勢(shì)能）。一個(gè)微粒的速度不過(guò)

2、是其位置對(duì)于時(shí)間的變化率，動(dòng)量則是其速度乘以質(zhì)量。牛頓系統(tǒng)用牛頓運(yùn)動(dòng)第二定律來(lái)描述，此定律涉及到加速度，即位置變化率的變化。因此，在數(shù)學(xué)上，它們由二階方程來(lái)定義。在哈密頓表達(dá)式中，有兩組方程。一組方程描述粒子的動(dòng)量怎樣隨時(shí)間而變化，另一組描述位置怎樣隨時(shí)間而變化。顯然，哈密頓方程描述了量（例如位置或動(dòng)量）的變化率。因此，我們獲得了一種以一階方程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述的還原，此方程當(dāng)然是確定論的。對(duì)于具有3個(gè)獨(dú)立空間方向的n個(gè)未約束粒子的動(dòng)力系統(tǒng)，就有3n個(gè)位置坐標(biāo)和3n個(gè)動(dòng)量坐標(biāo)。     由于適當(dāng)?shù)剡x用哈密頓函數(shù)H，哈密頓方程就可以用來(lái)標(biāo)志任何經(jīng)典動(dòng)力系統(tǒng)，而不僅僅是牛頓

3、系統(tǒng)。甚至在麥克斯韋電動(dòng)力學(xué)中，就其任一給定時(shí)間的數(shù)值而言，類哈密頓方程也提供了電場(chǎng)和磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化率。唯一的區(qū)別在于，麥克斯韋的方程是場(chǎng)方程而不是粒子方程，描述系統(tǒng)的狀態(tài)時(shí)需要無(wú)限數(shù)量的參量，在空間的所有點(diǎn)上都使用場(chǎng)矢量，而不是使用無(wú)限多個(gè)參量對(duì)每一粒子都使用3個(gè)位置坐標(biāo)和3個(gè)動(dòng)量坐標(biāo)。對(duì)于狹義相對(duì)論和（進(jìn)行了某種修訂的）廣義相對(duì)論，哈密頓方程都是有效的。玻爾對(duì)應(yīng)原理實(shí)現(xiàn)的由經(jīng)典力學(xué)向量子力學(xué)轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵性步驟，甚至也采取哈密頓表達(dá)式的框架。這些應(yīng)用將在后面進(jìn)行解釋?，F(xiàn)在只須記住，對(duì)于物理學(xué)中建立動(dòng)力學(xué)模型，哈密頓方程提供了一種普遍的表達(dá)方式。     相應(yīng)的態(tài)

4、空間允許我們把動(dòng)力系統(tǒng)在每一“階段”的演化形象化。因此，它們被稱作相空間。對(duì)于n個(gè)粒子的系統(tǒng)，相空間的維數(shù)是3n3n6n。相空間的一個(gè)點(diǎn)代表著其中有n個(gè)粒子的可能復(fù)雜系統(tǒng)的整個(gè)狀態(tài)。哈密頓方程決定著相空間的相點(diǎn)的軌跡。整體上看，它們描述了所有相點(diǎn)的變化率，因此定義了該相空間的一個(gè)矢量場(chǎng)，決定著相應(yīng)系統(tǒng)的總的動(dòng)力學(xué)。     經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用中的一個(gè)眾所周知的事實(shí)是，不可能任意精確地測(cè)定動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)。一個(gè)數(shù)量的測(cè)量值可能有些微小的差異，它們是由測(cè)量?jī)x器、環(huán)境的約束等等原因造成的。相應(yīng)地，相點(diǎn)集中在某些小的鄰域之中。由此引出了一個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題，在其具有鄰近終態(tài)的意義上，從鄰

5、近的起始態(tài)出發(fā)的軌跡是否是局域穩(wěn)定的。在圖213a中，時(shí)刻零的起始態(tài)的相狀態(tài)區(qū)域Ro被矢量場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)拖到后來(lái)的時(shí)間t的區(qū)域Rt（當(dāng)然，實(shí)際的大量數(shù)目的坐標(biāo)在這種相空間的形象表示中必須忽略掉）。     在此情形中，相似的起始狀態(tài)導(dǎo)致了相似的終態(tài)。這個(gè)假設(shè)不過(guò)是一種以哈密頓動(dòng)力學(xué)語(yǔ)言描述的經(jīng)典性因果關(guān)系原理：類似的原因?qū)?dǎo)致類似的結(jié)果。歷史上，從萊布尼茨到麥克斯韋的哲學(xué)家和物理學(xué)家都相信這個(gè)因果關(guān)系原理，它似乎保證了測(cè)量過(guò)程的穩(wěn)定性以及預(yù)測(cè)的可能性，而可以不管顯著的不精確性差距。 值得注意的是，哈密頓表達(dá)式的表象允許一種關(guān)于經(jīng)典動(dòng)力系統(tǒng)的因果關(guān)系一般性陳述。由數(shù)學(xué)家

6、劉維的著名定理，即在任何哈密頓動(dòng)力學(xué)中，因而對(duì)于任何的保守動(dòng)力系統(tǒng)，相空間的任一區(qū)域的體積都必定保持不變。結(jié)果是，在圖213a中的起始區(qū)域Ro的大小，是任何哈密頓動(dòng)力學(xué)都不可能使之增大的，如果我們把“大小”正確地理解為相空間的體積。但是，它的保守性并不排除，其起始區(qū)域的形狀被扭曲并擴(kuò)展到相空間的大范圍（圖213b）。    我們可以想像一下一滴墨水在容器里的水中擴(kuò)散。相空間的可能擴(kuò)散結(jié)果意味著，劉維定理不能保證軌跡的局域穩(wěn)定性。起始數(shù)據(jù)中的一個(gè)非常小的變化，可能會(huì)引出結(jié)果有大的變化。大體力學(xué)和彈子球的多體問(wèn)題仍然是長(zhǎng)期不可計(jì)算的，盡管其動(dòng)力學(xué)是確定論的。

7、然而，劉維定理對(duì)于可以由哈密頓動(dòng)力學(xué)從而也就是保守動(dòng)力系統(tǒng)所顯示的最終區(qū)域，意味著某些一般性結(jié)果。回憶一下，其起點(diǎn)有不同平衡點(diǎn)的有摩擦單擺（這不是保守系統(tǒng)）的相圖28c。非保守系統(tǒng)有螺旋型的點(diǎn)吸引子（圖214a），而保守系統(tǒng)具有不是吸引子的渦旋點(diǎn)（圖214b）。        在圖214a中，軌跡收縮到一個(gè)域點(diǎn)，而其起始區(qū)域的體積發(fā)生蟋縮。在圖214b中，軌跡沿渦旋點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，起始區(qū)域的體積保持不變。因此，由劉維定理我們可以得出一般性結(jié)論：在任何保守系統(tǒng)中，吸引子都必須排除掉。起始區(qū)域的蜷縮效應(yīng)，在極限環(huán)的軌跡中也容易形象地表示

8、出來(lái)。由于同樣的數(shù)學(xué)的先驗(yàn)理由，保守系統(tǒng)中也不可能有當(dāng)作吸引子的極限環(huán)。     這些結(jié)果是由哈密頓系統(tǒng)的影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)定理首先導(dǎo)出的。我們必須意識(shí)到，像行星系統(tǒng)、單擺、自由落體等等保守的物理系統(tǒng)，只不過(guò)是哈密頓系統(tǒng)的一些經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用。哈密頓系統(tǒng)是由一類特殊的數(shù)學(xué)方程（哈密頓方程）來(lái)定義。哈密頓系統(tǒng)的特征是從相應(yīng)方程的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)出來(lái)的。結(jié)果是，用哈密頓系統(tǒng)來(lái)建立實(shí)在的模型，意味著我們可以從認(rèn)識(shí)論上預(yù)測(cè)某些先驗(yàn)的特征，例如在此不可能存在靜態(tài)平衡的極限點(diǎn)吸引子，也沒(méi)有周期平衡的極限環(huán)吸引子。     從哲學(xué)上看，這種觀點(diǎn)顯然在某種變通的意義

9、上與康德的認(rèn)識(shí)論相符合。如果我們假定某些動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)框架，那么我們當(dāng)然就可以對(duì)于我們的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷贸瞿承┫闰?yàn)的陳述，而不涉及到它們?cè)谌舾蓪W(xué)科中的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用。但是康德的認(rèn)識(shí)論和動(dòng)力學(xué)研究方式在如下的意義上是不同的：不僅僅有一種范疇框架（例如牛頓系統(tǒng)），而且有多種系統(tǒng)來(lái)為實(shí)在建立模型也可以取得程度不一的成功。因此，把保守系統(tǒng)甚至運(yùn)用于認(rèn)知科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)中，也并非物理主義或還原主義。     哈密頓（保守）系統(tǒng)的進(jìn)一步的推演認(rèn)為，在此有不規(guī)則的?；煦绲能壽E。在18世紀(jì)和19世紀(jì)，物理學(xué)家和哲學(xué)家都相信，大自然是由牛頓類型的或哈密頓類型的運(yùn)動(dòng)方程所確定的。如果現(xiàn)在事件的起始

10、狀態(tài)已經(jīng)明確知道了，宇宙的未來(lái)和過(guò)去狀態(tài)就至少原則上是可計(jì)算的。從哲學(xué)上看，這種信念由拉普拉斯妖形象化了，它如同一臺(tái)沒(méi)有物理局限的巨大計(jì)算機(jī)，可以貯存和計(jì)算出所有的必然狀態(tài)。數(shù)學(xué)上，這種拉普拉斯妖的信念必須假定，經(jīng)典力學(xué)中的系統(tǒng)是可積的，從而也就是可解的。1892年，彭加勒已經(jīng)意識(shí)到，經(jīng)典力學(xué)中的不可積的三體問(wèn)題可能導(dǎo)致完全混沌的軌跡。大約60年以后，科爾莫哥洛夫（1954）、阿諾德（1963）和莫澤（1967）證明了他們的著名的KAM定理：經(jīng)典力學(xué)的相空間的運(yùn)動(dòng)既非完全規(guī)則的也非完全無(wú)規(guī)的，但是軌跡的類型敏感地依賴于對(duì)于初始條件的選擇。     由于天體力學(xué)是由

11、經(jīng)驗(yàn)上確證了的哈密頓系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，KAM定理拒絕了某些傳統(tǒng)的關(guān)于“月上”世界的見(jiàn)解。天上，既非一個(gè)亞里士多德宇宙意義上的規(guī)則世界，也非一個(gè)拉普拉斯妖意義上的永恒的規(guī)則世界。顯然，它不是上帝的居所。然而，它并非完全混沌的。天上，如哈密頓系統(tǒng)已經(jīng)認(rèn)識(shí)到的，具有或多或少的規(guī)則性和無(wú)規(guī)則性。比起前人的信念，它顯得更像我們?nèi)祟惖娜粘Ｉ?。這點(diǎn)可能會(huì)激起作家們對(duì)于哈密頓系統(tǒng)的好奇心。但是，讓我們先看一看一些數(shù)學(xué)事實(shí)。 可積系統(tǒng)的一個(gè)最簡(jiǎn)單例子是諧振子。在實(shí)踐上，任何有n個(gè)自由度的可積系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，等同于一組n個(gè)未耦合諧振子。相應(yīng)的相空間是2n維的，其中有n個(gè)位置坐標(biāo)，n個(gè)動(dòng)量坐標(biāo)。對(duì)于n1的諧振子，

12、我們得到了一個(gè)循環(huán)，對(duì)于n2的兩個(gè)諧振子得到一個(gè)環(huán)形圓紋曲面（對(duì)照?qǐng)D211d）。因此，n個(gè)可積運(yùn)動(dòng)的存在，把可積系統(tǒng)的2n維格空間的軌跡限制于n維流形中，其拓?fù)涫且粋€(gè)n維環(huán)形圓紋曲面。對(duì)于兩個(gè)自由度的和四維相空間的可積系統(tǒng)，軌跡可以形象地表示在環(huán)形圓紋曲面上。軌跡的封閉軌道，只有在兩個(gè)相應(yīng)的振蕩子的頻率比值是有理數(shù)時(shí)，才可以出現(xiàn)（圖215）。對(duì)于無(wú)理數(shù)的頻率比值，軌跡的軌道則決不會(huì)重復(fù)自己，而是無(wú)限地趨近環(huán)形圓紋曲面上的所有的點(diǎn)。        亨隆和海里斯于1964年研究了一個(gè)天體力學(xué)的不可積系統(tǒng)。此動(dòng)力學(xué)模型由一對(duì)可積諧

13、振子構(gòu)成，它們之間有不可積的坐標(biāo)立方項(xiàng)的耦合。如果模型的起始狀態(tài)的兩個(gè)位置坐標(biāo)q1、q2和兩個(gè)動(dòng)量坐標(biāo)p1、p2都是已知的，那么其總能量E就由相應(yīng)的依賴于這些坐標(biāo)的哈密頓函數(shù)H所確定。此系統(tǒng)的軌跡在四維相空間的一個(gè)三維超平面上移動(dòng)，此超平面由H（q1，q2，p1，p2）E來(lái)定義。 E的值可以用來(lái)研究規(guī)則運(yùn)動(dòng)和無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)的共存，這種運(yùn)動(dòng)是KAM定理所預(yù)見(jiàn)了的。對(duì)于小的E值，動(dòng)力系統(tǒng)是有規(guī)則的行為，而對(duì)于大的E值，它就變得混沌了。為了形象地表示出這種行為的變化，我們考慮具有二維平面坐標(biāo)q1和q2的軌跡的截面（彭加勒映射）。對(duì)于E124（圖216a）和 E112（圖216b），彭加勒映射顯示出只有規(guī)則

14、運(yùn)動(dòng)的有些變形的環(huán)形曲面的截面。在臨界值E19以上，絕大多數(shù)（但不是全部）環(huán)形曲面都消失了，不規(guī)則點(diǎn)也隨機(jī)地出現(xiàn)了。對(duì)于E1/8（圖216c），彭加勒映射顯示出一種規(guī)則運(yùn)動(dòng)和無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)共存的過(guò)渡狀態(tài)。對(duì)于E16（圖216d），運(yùn)動(dòng)就顯出完全是無(wú)規(guī)的、混沌的。    如下的天體力學(xué)的三體問(wèn)題中，給出了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用的例子，它是不可積的。圖217中示意了木星運(yùn)動(dòng)對(duì)于圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的一顆小行星運(yùn)動(dòng)的擾動(dòng)。        木星和該顆小行星被解釋為兩個(gè)具有一定頻率的振蕩子。按照KAM定理，小行星的穩(wěn)定

15、和不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)可以根據(jù)頻率比值來(lái)加以區(qū)分。     一般地，我們必須意識(shí)到穩(wěn)定的以及不穩(wěn)定的軌跡都是數(shù)學(xué)上明確定義的。結(jié)果是，甚至不可積的多體問(wèn)題也描述著確定論的世界模型。打一個(gè)比方，我們可以說(shuō)，萊布尼茨和牛頓的上帝都毫無(wú)困難地預(yù)見(jiàn)了規(guī)則的和無(wú)規(guī)的軌跡，而毋需一步一步地計(jì)算其發(fā)展。觀測(cè)到的混沌行為，既不是由于大量的自由度（一個(gè)天體的三體問(wèn)題只有不多的自由度），也不是人類知識(shí)的不確定性。無(wú)規(guī)是由哈密頓方程的非線性引起的，其起始的封閉軌跡在相區(qū)域中指數(shù)地快速分開(kāi)。由于其起始條件只可能以有限的精確度來(lái)測(cè)量，而誤差是指數(shù)地快速增加，這些系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為是不可能預(yù)見(jiàn)的。因此，

16、計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算將隨著改進(jìn)了越來(lái)越多的測(cè)量數(shù)字而更快地推動(dòng)此種誤差。     天體力學(xué)、小行星世界、行星、恒星和星系的宏觀世界，是由規(guī)則和無(wú)規(guī)行為共存所確定的。天上的確定論混沌雖非處處皆有，然而是局域可能的，因此可能引起在原則上不能排除的宇宙災(zāi)變。量子力學(xué)的微觀世界，即光子、電子、原子和分子的量子世界中，情況又怎樣呢？在量子世界中有混沌嗎？為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們首先需要了解一些有關(guān)量子世界的客體的哈密頓系統(tǒng)和相空間的基本概念。     1900年，馬克斯·普朗克提出，電磁振蕩子僅僅以量子方式出現(xiàn)，其能量E對(duì)于頻率。具有確定的關(guān)

17、系Ehv，其中h是常數(shù)（“普朗克量子”）。在20世紀(jì)的物理學(xué)中，除了愛(ài)因斯坦的巨大光速常數(shù)c以外，普朗克的微小量子常數(shù)是大自然的第二個(gè)基本常數(shù)。普朗克關(guān)系得到了實(shí)驗(yàn)上的支持，例如黑體輻射實(shí)驗(yàn)的支持。1923年，路易斯·德布羅意提出，甚至物質(zhì)粒子往往也具有波一樣的行為。對(duì)于一個(gè)質(zhì)量m的粒子，德布羅意的波動(dòng)頻率。滿足普朗克關(guān)系。與愛(ài)因斯坦相對(duì)論中著名的定律Emc2結(jié)合起來(lái)（“質(zhì)量是能量的特殊狀態(tài)因此可以通過(guò)輻射而轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰俊保覀儷@得了一種關(guān)系：v通過(guò)hvmc2而與m聯(lián)系起來(lái)。于是，在量子世界，場(chǎng)的振動(dòng)頻率，依賴于普朗克常數(shù)和愛(ài)因斯坦常數(shù)，只以不連續(xù)的質(zhì)量單位出現(xiàn)。顯然，量子世界中的現(xiàn)

18、象，既可以看作波也可以看作粒子。這就是所謂的波粒二象性，它在許多實(shí)驗(yàn)中得到了明確的證明，實(shí)驗(yàn)中根據(jù)所預(yù)備的試驗(yàn)條件，揭示了如光子或電子這樣的量子系統(tǒng)的波動(dòng)或粒子特征。     尼爾斯·玻爾在1913年引入了他的“行星”原子模型，該模型可以極為精確地解釋觀察到和測(cè)量到的不連續(xù)穩(wěn)定能級(jí)和光譜頻率。玻爾的規(guī)則要求，繞核運(yùn)動(dòng)軌道上的電子的角動(dòng)量只能以hh/2x的整倍數(shù)出現(xiàn)。他的成功的、但帶有幾分預(yù)設(shè)性的規(guī)則，僅僅提供了一種近似的幾何模型，它必須從量子世界的動(dòng)力學(xué)理論中推導(dǎo)出來(lái)，對(duì)應(yīng)于可以解釋開(kāi)普勒的行星定律的牛頓和哈密頓經(jīng)典力學(xué)。量子世界的動(dòng)力學(xué)是由海森伯和薛定

19、諤的量子力學(xué)奠定的，它成為了20世紀(jì)物理學(xué)的基礎(chǔ)物質(zhì)理論。     量子力學(xué)的基本概念可以啟發(fā)式地引入，即以普朗克常數(shù)為基礎(chǔ)考慮到進(jìn)行必要的修改，從而類似于相應(yīng)的哈密頓力學(xué)的概念。這個(gè)程序叫做玻爾對(duì)應(yīng)原理（圖218）。因此，在量子力學(xué)中，經(jīng)典的矢量如位置或動(dòng)量都必須用某些算符來(lái)代替，這些算符滿足某種依賴于普朗克常數(shù)的非對(duì)易（非經(jīng)典）關(guān)系。如果h消失（hO），我們就獲得眾所周知的例如位置和動(dòng)量的經(jīng)典對(duì)易關(guān)系，它們?cè)试S我們對(duì)矢量進(jìn)行任意精確的測(cè)量。量子力學(xué)中非對(duì)易關(guān)系的一個(gè)直接結(jié)果是海森伯不確定性原理pqh/2。如果一次測(cè)量中，位置q精確到q，那么對(duì)于動(dòng)量P的一個(gè)擾動(dòng)

20、是P。因此，在量子世界中顯然不存在軌跡或軌道，軌跡或軌道要求粒子具有精確的位置和動(dòng)量的值。玻爾的流行的電子軌道只是一種極為粗略的幾何形象化229。                 經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)                      對(duì)應(yīng)原理   

21、60;                                          經(jīng)典的可         空-

22、時(shí)（伽                非經(jīng)典的 觀測(cè)量代         利略的或                 可觀測(cè)量 數(shù)       

23、;        相對(duì)論的                 代數(shù)       圖2.18玻爾對(duì)應(yīng)原理     按照玻爾對(duì)應(yīng)原理，哈密頓函數(shù)描述的經(jīng)典系統(tǒng)，必須代之以用算符描述的量子系統(tǒng)（例如電子或光子），這里（對(duì)于位置和動(dòng)量）使用的是算符而不是矢量。在經(jīng)典物理學(xué)中，哈密頓系統(tǒng)的狀態(tài)是由相空

24、間的點(diǎn)來(lái)確定的。在量子力學(xué)中，恰當(dāng)?shù)念愃聘拍钍窍柌乜臻g。量子系統(tǒng)的狀態(tài)由希爾伯特空間的矢量來(lái)描述，其哈密頓算符的本征值決定了此希爾伯特空間的距離。    為了稍稍詳盡一些說(shuō)明這種數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，讓我們想像一粒量子微粒。在經(jīng)典理論中，一粒微粒是由它的空間的位置和它的動(dòng)量來(lái)確定的。在量子力學(xué)中，微?？赡芫哂械拿恳晃恢?，都是所有位置的集合中的一種交換組合，其權(quán)重為復(fù)數(shù)。于是，我們得到了一個(gè)關(guān)于位置的復(fù)函數(shù)，即所謂的波函數(shù)（x）。每一位置x，（x）的值標(biāo)志了該粒子在X處的波幅。在此位置的某個(gè)一定的小間隔中找到此粒子的幾率，由波幅的平方模|（x）|2給出。各個(gè)可能的不同動(dòng)量

25、的波幅也是由波函數(shù)確定的。因此，希爾伯特空間是一個(gè)量子系統(tǒng)狀態(tài)的復(fù)空間。     量子狀態(tài)的因果動(dòng)力學(xué)由偏微分方程來(lái)確定，這叫做薛定諤方程。經(jīng)典可觀測(cè)量是可對(duì)易的，與此相反，量子系統(tǒng)的非經(jīng)典可觀測(cè)量是不可對(duì)易的，一般沒(méi)有共同的本征值，自然也就沒(méi)有確定的本征值。對(duì)于量子狀態(tài)的可觀測(cè)量，只可能計(jì)算出統(tǒng)計(jì)的預(yù)期值。     薛定諤量子表達(dá)式的一個(gè)基本性質(zhì)是疊加原理，這表明了它是線性的。例如，考慮兩個(gè)發(fā)生相互作用的量子系統(tǒng)（例如一對(duì)以相反方向離開(kāi)共同光源的光子）。甚至當(dāng)它們?cè)谶h(yuǎn)距離處已沒(méi)有物理相互作用時(shí)，它們也保留著共同的狀態(tài)疊加性，這是不可

26、能分離開(kāi)或局域化的。在這樣的關(guān)聯(lián)的（純的）量子疊加態(tài)，兩個(gè)量子系統(tǒng)的某一個(gè)可觀測(cè)量只可能有不確定的本征值。量子力學(xué)的疊加或線性原理提供了組合系統(tǒng)的相關(guān)的（關(guān)聯(lián)的）狀態(tài)，這已經(jīng)在EPR實(shí)驗(yàn)中得到了高度的確證。從哲學(xué)上看，（量子）整體大于其部分之和。非局域性是量子世界的一個(gè)基本性質(zhì)，這不同于經(jīng)典的哈密頓系統(tǒng)。我們?cè)谟懻撔哪X和人工智能的出現(xiàn)時(shí)，將返回到這個(gè)問(wèn)題（第45章）。     玻爾的對(duì)應(yīng)原理引出了這樣一個(gè)問(wèn)題：經(jīng)典的哈密頓系統(tǒng)中存在混沌運(yùn)動(dòng)是否將導(dǎo)致相應(yīng)的量子系統(tǒng)中的無(wú)規(guī)性。我們對(duì)量子力學(xué)基本概念的概括給出了某些線索：在從經(jīng)典的混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的量子力學(xué)系統(tǒng)時(shí)，

27、可望有些變化。與經(jīng)典力學(xué)相反，量子力學(xué)僅僅允許統(tǒng)計(jì)期望值。盡管薛定諤方程在疊加原理的意義上是線性的，并可以（例如對(duì)諧振子）精確求解，而且波函數(shù)是由薛定諤方程嚴(yán)格確定的，但這都并不意味著量子狀態(tài)的性質(zhì)可以精確地加以計(jì)算。我們只可能計(jì)算出，在某個(gè)空時(shí)點(diǎn)上找到光子或電子的幾率密度。     因?yàn)楹Ｉ牟淮_定性原理，在量子世界沒(méi)有軌跡。因此，用接近的軌跡以指數(shù)快速分離來(lái)確定性混沌，對(duì)于量子系統(tǒng)是不可能的。不確定性原理的另一個(gè)方面涉及到的混沌是值得注意的：具有如圖216所示混沌區(qū)的經(jīng)典相空間。不確定性原理意味著，體積hn中的2n維相空間眾多的點(diǎn)是不可分辨的。原因在于小于h

28、n的混沌行為在量子力學(xué)中是無(wú)法表達(dá)出來(lái)的。只有在這些混沌區(qū)域之外的規(guī)則的行為才有可能被表達(dá)出來(lái)。在此意義上，微小而有限的普朗克常數(shù)值可能抑制了混沌。     在量子力學(xué)中，人們區(qū)分了與時(shí)間無(wú)關(guān)的穩(wěn)恒系統(tǒng)和與時(shí)間相關(guān)的哈密頓系統(tǒng)。對(duì)于具有穩(wěn)恒哈密頓量的系統(tǒng)，薛定諤方程可以歸結(jié)為所謂的線性本征值問(wèn)題，它允許人們計(jì)算出例如氫原子的能級(jí)。只要這些能級(jí)是分離的，波函數(shù)的行為就是規(guī)則的，就不會(huì)有混沌。這里引出的問(wèn)題是，具有規(guī)則的經(jīng)典限度的量子系統(tǒng)的能譜，與其相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌的量子系統(tǒng)的能譜，它們之間是否有區(qū)別。時(shí)間相關(guān)的哈密頓量被用來(lái)描述諸如基本粒子和分子的時(shí)間演化。

29、     按照玻爾對(duì)應(yīng)原理，可以從研究某些經(jīng)典哈密頓系統(tǒng)來(lái)入手對(duì)量子混沌進(jìn)行考察。它們可以是可積的，近可積的或者混沌的。因此，能量超平面上的軌跡可以是規(guī)則的，近規(guī)則的或者近混沌的。用相應(yīng)的算符來(lái)代替位置和動(dòng)量的矢量，使得哈密頓函數(shù)量子化，我們就獲得相應(yīng)量子系統(tǒng)的哈密頓算符。接下來(lái)就可以推導(dǎo)薛定諤方程和本征值方程?，F(xiàn)在，我們可以問(wèn)一問(wèn)，經(jīng)典系統(tǒng)及其可積、近可積或混沌行為的特性，是否可以轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的量子系統(tǒng)。能譜、本征函數(shù)等等的情況怎樣？這些問(wèn)題都概括在“量子混沌”的標(biāo)題下。例如，一些計(jì)算表明，一個(gè)圓柱勢(shì)壘中的自由量子粒子的能譜（經(jīng)典運(yùn)動(dòng)對(duì)此是混沌的），與圓周上的自由

30、量子粒子的能譜（經(jīng)典運(yùn)動(dòng)對(duì)此是規(guī)則的）是完全不一樣的。    在圖219中，相鄰能級(jí)之間的距離的分布用兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。圖2.19a，b中，一個(gè)由兩個(gè)振蕩子耦合構(gòu)成的系統(tǒng)顯示出有兩個(gè)不同值的耦合系數(shù)。圖219a的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)是規(guī)則的，而圖219b的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)則是近混沌的。 圖219c，d顯示了在均勻磁場(chǎng)中的氫原子的例子。圖219c相應(yīng)的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)是規(guī)則的，而圖219d的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)則是近混沌的。規(guī)則的與混沌的情形可以由能級(jí)的不同分布（油松分布和威格納分布）來(lái)區(qū)分，能級(jí)的計(jì)算是求解相應(yīng)的薛定諤方程。它們已經(jīng)在一些數(shù)值模型以及實(shí)驗(yàn)室激光光譜的測(cè)量中得到了確證。在此意義上，量

31、子混沌不是幻象，而是量子世界的復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特性。哈密頓系統(tǒng)是發(fā)現(xiàn)宏觀世界和微觀世界的混沌的一把鑰匙。但是，我們當(dāng)然不能把確定論混沌的復(fù)雜數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與通常的無(wú)序思想混為一談。    在圖219中，相鄰能級(jí)之間的距離的分布用兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。圖2.19a，b中，一個(gè)由兩個(gè)振蕩子耦合構(gòu)成的系統(tǒng)顯示出有兩個(gè)不同值的耦合系數(shù)。圖219a的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)是規(guī)則的，而圖219b的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)則是近混沌的。 圖219c，d顯示了在均勻磁場(chǎng)中的氫原子的例子。圖219c相應(yīng)的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)是規(guī)則的，而圖219d的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)則是近混沌的。規(guī)則的與混沌的情形可以由能級(jí)的不同分布（油松分布和威格納分布）來(lái)

32、區(qū)分，能級(jí)的計(jì)算是求解相應(yīng)的薛定諤方程。它們已經(jīng)在一些數(shù)值模型以及實(shí)驗(yàn)室激光光譜的測(cè)量中得到了確證。在此意義上，量子混沌不是幻象，而是量子世界的復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特性。哈密頓系統(tǒng)是發(fā)現(xiàn)宏觀世界和微觀世界的混沌的一把鑰匙。但是，我們當(dāng)然不能把確定論混沌的復(fù)雜數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與通常的無(wú)序思想混為一談。    在圖219中，相鄰能級(jí)之間的距離的分布用兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。圖2.19a，b中，一個(gè)由兩個(gè)振蕩子耦合構(gòu)成的系統(tǒng)顯示出有兩個(gè)不同值的耦合系數(shù)。圖219a的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)是規(guī)則的，而圖219b的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)則是近混沌的。 圖219c，d顯示了在均勻磁場(chǎng)中的氫原子的例子。圖219c相應(yīng)的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)是規(guī)則的，而圖219d的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)則是近混沌的。規(guī)則的與混沌的情形可以由能級(jí)的不同分布（油松分布和威格納分布）來(lái)區(qū)分，能級(jí)的計(jì)算是求解相應(yīng)的薛定諤方程。它們已經(jīng)在一些數(shù)值模型以及實(shí)驗(yàn)室激光光譜的測(cè)量中得到了確證。在此意義上，量子混沌不是幻象，而是量子世界的復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特性。哈密頓系統(tǒng)是發(fā)現(xiàn)宏觀世界和微觀世界的混沌的一把鑰匙。但是，我們當(dāng)然不能把確定論混沌的復(fù)雜數(shù)學(xué)