常微分方程期中考試試卷(5)_第1頁
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1、常微分方程期中考試試卷(5)計算題 .求下列方程的通解或通積分1. 2. 3. 4. 567證明題8. 在方程中，已知，在上連續(xù)，且求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為9. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)試證明方程 的所有解的存在區(qū)間必為10. 假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個解求證：若<，則在區(qū)間I上必有 <成立答案：1。解 方程化為 令，則，代入上式，得 分量變量，積分，通解為 原方程通解為 2. 解 因為，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通積分為 即 3解 當時，分離變量得 等式兩端積分得 方程的通積分為 4解 齊次方程的通解為 令非齊次

2、方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 + 5解 積分因子為 原方程的通積分為 即 6解 由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通積分為 即 7解 原方程是克來洛方程，通解為 8證明 由已知條件可知，該方程在整個 平面上滿足解的存在惟一及延展定理條件，又存在常數(shù)解 對平面內(nèi)任一點，若，則過該點的解是，顯然是在上有定義 若,則,記過該點的解為，那么一方面解可以向平面的無窮遠無限延展；另一方面在條形區(qū)域 內(nèi)不能上、下穿過解和，否則與解的惟一性矛盾因此解的存在區(qū)間必為9. 證明 由已知條件，該方程在整個 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件 顯然 是方程的兩個常數(shù)解 任取初值，其中,記過該點的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾故該解的存在區(qū)間必為10. 證明 僅證方向，（反之亦然）假設(shè)存在，使得>（=不可能出現(xiàn)，否則與解惟一矛盾令=-，那么 =-< 0， =-&g

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