第六章微分方程講ppt課件

1、微分方程 yxfy求已知, )( 積分問(wèn)題積分問(wèn)題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問(wèn)題微分方程問(wèn)題 推廣 微分方程的基本概念 引例引例 一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的解解: 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式則有如下關(guān)系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為21xy由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . sm20的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)獲得加速度,sm4 . 02a求制動(dòng)后列車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解解: 設(shè)列車(chē)在制動(dòng)后設(shè)列車(chē)在制動(dòng)后 t 秒行駛了秒行駛了s 米米 ,知4

2、. 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分, 可得2122 . 0CtCts利用后兩式可得0,2021CC因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為tts202 . 02說(shuō)明說(shuō)明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(所講內(nèi)容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)一般地 , n 階常微分方程的形式是的階.分

3、類(lèi)或,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解微分方程的解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱(chēng)為積分曲線.)()(dd21yfxfxy可分離變量方程可分離變量方程)()(ddxQyxPxy一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式假設(shè) Q(x) 0, 假設(shè)

4、 Q(x) 0, 稱(chēng)為非齊次方程 .稱(chēng)為齊次方程 ;),(yxfy ),(yyfy 可降階的二階微分方程),(0為常數(shù)qpyqypy 二階常系數(shù)齊次線性微分方程)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程常見(jiàn)的微分方程類(lèi)型用Matlab求解微分方程用Matlab符號(hào)工具箱中的函數(shù)dsolve,可求解微分方程，其調(diào)用格式如下： R=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)R=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)說(shuō)明：求微分方程或微分方程組eq1,eq2,滿足初始條件cond1,cond2,關(guān)于自變量v的解。默認(rèn)的自變量為t例1 求微分方

5、程xeyyy565 的通解。Dsolve(5*D2y-6*Dy+5*y=exp(x),x)*54cos(*)*53exp(*)*54sin(*)*53exp(*)exp(*4121xxcxxcxans例2 求微分方程組xdtdyydtdx ,的解。) ,(,xDyyDxdsolveyxx = cos(t)*C1+sin(t)*C2 y = -sin(t)*C1+cos(t)*C2 例3 有一彈性系數(shù)c=8N/m的彈簧，上掛有質(zhì)量為2kg的物體，一外力f(t)=16cos4tN作用在物體上，假定物體原來(lái)在平衡位置，有向上的初速度2m/s，如果阻力忽略不計(jì)，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律s(t).解解 第一步第一步 建立微分方程：建立微分方程： 有力學(xué)知識(shí)，得物體的運(yùn)動(dòng)方程為)(284cos1622mFastdtsd即 tsdtsd4cos8422初始條件為2, 000ttss第二步第二步 求解：求解： s=dsolve(D2y+4*y=8*cos(4*t),y(0)=0,Dy(0)=-2) s = (sin(2*t)+1/3*sin(6*t)*sin(2*t)+(1/3*cos(6*t)-cos(2*t)*cos(2*t)-sin(2*t)+2/3*cos(2*t) 第三步第三步 化簡(jiǎn)：上述結(jié)果較復(fù)雜，可用化簡(jiǎn)：上述結(jié)果較復(fù)雜，可用simplesimple函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)化簡(jiǎn) simple(s)a