第十一章第四節(jié)對面積的曲面積分ppt課件

1、二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積三、二元函數(shù)的全微分求積定理定理 設(shè)設(shè)D 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有.0ddLyQxP(1) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(4)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(3) 在在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件等價則以下

2、四個條件等價:在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對面積的曲面積分的計(jì)算法二、對面積的曲面積分的計(jì)算法 第四節(jié)第四節(jié) 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx求質(zhì)求質(zhì) 量量 M.Oxyz),(iiiiiiiS),(ni 10limMSzyxMd),(定義定義: 設(shè)設(shè) 為光滑曲面為光滑曲面,取一點(diǎn)取一點(diǎn) iiiiSf),(nk 10lim若此極限存在若此極限存在,對面積的曲面積分對面積的曲

3、面積分Szyxfd),(其中其中 f (x, y, z) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，據(jù)此定義據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在是定義在 上的一上的一 個有界函數(shù)個有界函數(shù),記作記作或第一類曲面積分或第一類曲面積分.則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面在曲面 上上 叫做積分曲面叫做積分曲面.把把 任意分成任意分成n個小塊個小塊 ，iS在在 上任意上任意iS),(iii作積作和取極限作積作和取極限 對積分曲面的可加性對積分曲面的可加性.,21則有則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(S

4、zyxfdSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì)線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21對面積的曲面積分的性質(zhì)對面積的曲面積分的性質(zhì)假設(shè)假設(shè) 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成兩例如分成兩片光滑曲面片光滑曲面Oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面),(:yxzz f (x, y, z) 在在 上連續(xù)上連續(xù),存在存在, 且有且有Szyxfd),(xyDSzyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對面積的曲面積分的計(jì)算法二、對面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分則曲面積分yxD 在在xoy面上的投影為面上的投影為xy

5、D),( yxf說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式可有類似的公式.如果曲面方程為如果曲面方程為yxD例例1. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分,dzS其中其中 是球面是球面2222azyx被平面被平面)0(ahhz截出的頂部截出的頂部.解解: :,:222yxaz2222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20daa2haaln2xyDyxyxadxdyzz22222122022dhaaxzyhaOxyDyxaadxdy22222020:haDxy0)ln(212222haa例例2. 計(jì)算計(jì)算,dSzyx其中其中 是由平面是由平面坐標(biāo)

6、面所圍成的四面體的表面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. 解解: 設(shè)設(shè)上的部分上的部分, 那那么么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:xxyDyxxyyxxy10d)1 (12031zyx與與, 0, 0, 0zyxdxdy22) 1() 1(11zyx4321Szyxd 原式原式 = 分別表示分別表示 在平面在平面 zyx111O1234xyD)1 (yxyx10d3xABC例例3 3 計(jì)算計(jì)算與平面與平面z = 1z = 1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面解解分成兩部分分成兩部分將將 10:221 zyxz 11:222 yxz dSyx)(2222yxz其中其中

7、是圓錐面是圓錐面21,在在xoyxoy內(nèi)的投影域內(nèi)的投影域1:22 yxDoxyz1:2 z 1 1)(22 dSyx故故Dyxdxdyzzyx22221)(Ddxdyyx)(22220102222dd 2)(22 dSyxDdxdyyx001)(22220102dddSyx)(22221例例4 4 計(jì)算計(jì)算與與 z = Hz = HH0)H0)之間的圓柱面之間的圓柱面解解221:yRx令面的投影區(qū)域?yàn)樵趛oz1RyRHzDzy0:222Ryx由對稱性有由對稱性有12222121dSyxdSyxzyD2HRRdyyRRdzR02222RH2HxyzR21Rdydzxxzy221zyDR122222yRy0dydz z = 0 dSyx221其中其中是介于平面是介于平面例例5. 5. 已知曲面殼已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面求此曲面殼在平面 z =1以上部分以上部分 的的的