第五章 參數(shù)估計

1、第8次課（3學(xué)時）教學(xué)目的：通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生掌握點估計，區(qū)間估計、抽樣誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤的概念和意義，掌握點估計和總體均數(shù)的區(qū)間估計的方法。教學(xué)內(nèi)容：1總體參數(shù)的點估計2抽樣誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤3總體均數(shù)和區(qū)間估計教學(xué)重點：1抽樣誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤的概念和意義2參數(shù)估計的思想和方法教學(xué)難點：1抽樣誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤的概念2總體均數(shù)的區(qū)間估計的思想和方法教學(xué)內(nèi)容的組織安排：參數(shù)估計是體育統(tǒng)計的重要內(nèi)容，估計方法有兩種：點估計和區(qū)間估計。點估計的內(nèi)容較簡單，直觀，但區(qū)間估計對學(xué)生難度較大，困難在于：構(gòu)造置信區(qū)間過程中，要用到隨機變量和的分布，根據(jù)分布規(guī)律才能確定區(qū)間的長度。為了使學(xué)生易于接受，把握參數(shù)估計的思想實質(zhì)

2、擬采用“直觀化”教學(xué)，點估計的思想是：以樣本特征數(shù)估計總體特征數(shù)。為了給講授區(qū)間估計做準(zhǔn)備，將抽樣誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤單獨講解，其中標(biāo)準(zhǔn)誤的定義公式不作理論推導(dǎo)，給出直觀解釋。講授均數(shù)的區(qū)間估計時，從直觀上介紹構(gòu)造區(qū)間的想法，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生逐步構(gòu)造。至于隨機變量的分布，只介紹結(jié)論，學(xué)生會查表就可以了。先舉一個實例，提出問題然后根據(jù)實際問題講解方法，再歸納成一般結(jié)論。開始部分：前面學(xué)習(xí)了常用統(tǒng)計量的應(yīng)用，可以看到，在很多情況下我們需要了解總體中參數(shù)的大小，總體參數(shù)往往是未知的，需要利用樣本對其進行推斷，參數(shù)估計就是其中的一種。第五章參數(shù)估計用樣本對總體的未知參數(shù)進行估計的方法常見的有兩種：點估計和區(qū)

3、間估計。第一節(jié)總體參數(shù)的點估計設(shè)總體為樣本觀測值。點估計：利用樣本估計為總體參數(shù)的具體數(shù)值。點估計的方法：利用樣本特征數(shù)去估計總體特征數(shù)例如例5.1為了考察安師大男生的身高狀況，隨機抽測50人得到，試估計師大男生的平均身高和標(biāo)準(zhǔn)差解：總體按點估計方法在例5.1中安師大男生平均身高的估計是170cm但其真正的平均身高是否恰好為呢？顯然不是的。這就是說估計值與真值之間有誤差那么，這種誤差是如何產(chǎn)生的？第二節(jié)抽樣誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤一、抽樣誤差由于總體個體之間存在著差異，使得樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間有差異，這種誤差稱為抽樣誤差。抽樣誤差的來源總體內(nèi)個體之間的差異。例如，例5.1中師大男生的平均身高如果是，則估

4、計誤差為這是由抽樣誤差造成的，抽樣誤差來自于各學(xué)生的身高差異。估計誤差的大小與抽樣誤差大小有關(guān)。那么，抽樣誤差的大小該如何定量描述呢？二、標(biāo)準(zhǔn)誤（一）標(biāo)準(zhǔn)誤的概念若總體或總體分布不明但樣本含量很大時樣本平均數(shù)服從或近似服從正態(tài)分布即的離程度反映了抽樣誤差的大小，（以例5.1為例加以說明）定義：樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤記作標(biāo)準(zhǔn)誤反映了抽樣誤差的大小，與成正比，與樣本含量的平方根成反比（二）標(biāo)準(zhǔn)誤的計算總體標(biāo)準(zhǔn)差一般是未知的，應(yīng)用中以樣本標(biāo)準(zhǔn)差近似代替，從而可得標(biāo)準(zhǔn)誤的計算公式例如，例5.1中標(biāo)準(zhǔn)誤為第三節(jié)總體均數(shù)的區(qū)間估計在例5.1利用點估計的方法，得到平均身高的估計值為顯然存在誤差，但

5、誤差究竟有多大？還是不知道。因此，若能估計出平均身高所在范圍，并給出相應(yīng)的可靠性程度，則更現(xiàn)實，實用價值更大，這就是區(qū)間估計。區(qū)間估計，給定可靠性程度構(gòu)造一個區(qū)間，使總體參數(shù)落在該區(qū)間內(nèi)的概率為該區(qū)間稱為置信區(qū)間，稱為置信系數(shù)。一、設(shè)總體未知，已知，求的置信區(qū)間設(shè)（）為來自該總體的一個樣本，樣本均值為，首先該區(qū)間應(yīng)以為中心，形如（）其次，區(qū)間長度與抽樣誤差的大小有關(guān)，與置信系數(shù)（12）有關(guān)，抽樣誤差越大，區(qū)間長度需要越長；可靠性程度（置信系數(shù)）越大，區(qū)間長度要求越大因此，該區(qū)間形如其中是與有關(guān)的常數(shù)根據(jù)要求，有即由于，所以上式經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化，得從而即的（1）置位區(qū)間為例5.2已知某校18歲男生的100m跑成績近似服從正態(tài)分布未知，今抽測50人，得，求該校男生（18歲）百米跑成績平均值的95置位區(qū)間。解：總體，故的95%位置區(qū)間為（12.38，12.82）二、總體和均未知設(shè)（）為來自該總體的樣本，樣本均值為標(biāo)準(zhǔn)差S，欲求總體參數(shù)的置位區(qū)間根據(jù)前面分析，該區(qū)間形如由于未知，以S代替，根據(jù)要求有（*）根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計的結(jié)果知t分布具有以下特點1t分布密度出數(shù)曲線關(guān)于t=0對稱，并在t=0處達到最大值2隨著自由度的增大，t分布漸近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布所以，由（*）式得查