四年級(jí)下數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教程(尖子生)

1、 .四年級(jí)下期第一講 定義新運(yùn)算同學(xué)們對(duì)于“加、減、乘、除”四則運(yùn)算已經(jīng)相當(dāng)熟悉了。為了擴(kuò)展對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，在四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上，還可以按需要規(guī)定新的運(yùn)算。例1設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定ab3×a2×b。(1) 求43，34。(2)這種運(yùn)算有“交換律”嗎？(3)求(176)2，17(62)。(4)這種運(yùn)算有“結(jié)合律”嗎？(5)如果已知5b1，求b。解：像這樣的題目叫做“定義新運(yùn)算”。這里，“”當(dāng)作一種新的運(yùn)算符號(hào)來(lái)使用，它的意義是：如等號(hào)右端所要求的那樣，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a與2×b的差。弄清了新定義運(yùn)算的意義之后，就要嚴(yán)格

2、按照要求進(jìn)行操作。仍然要先做括號(hào)里面的。所以：(1)433×42×31266。343×32×4981。(2)由(1)可知，43與34的結(jié)果不同，所以，這種運(yùn)算沒(méi)有“交換律”。(3)(176)2(3×172×6)2(5112)23923×392×21174113。17(62)17(3×62×2)17(184)17143×172×14512823。(4)由(3)可知，(176)2與17(62) 的結(jié)果不同，所以，這種運(yùn)算也沒(méi)有“結(jié)合律”。(5)因?yàn)?b3×52×

3、;b152b，而152b1，所以2b151，2b14，b7。通過(guò)這個(gè)例題使我們認(rèn)識(shí)到，所謂的“新運(yùn)算”并不神秘，它只不過(guò)是對(duì)原有的四則運(yùn)算的一種綜合運(yùn)用而已。在做這類題目時(shí)，關(guān)鍵是要弄清楚新運(yùn)算的意義是什么，并且要嚴(yán)格按照它的意義進(jìn)行運(yùn)算。例2如果ab2×a3×b，a*b(ab)÷2，那么(3*5)7？解：“”的意義是先求出2×a和3×b，再求出2×a與3×b的和?！?”的意義顯然是求a、b的平均數(shù)。因?yàn)?*5(35)÷24，所以，(3*5)7472×43×729。例3規(guī)定：aba(a1)(a2

4、)(ab1)，其中a、b表示自然數(shù)。(1)求1100的值；(2)已知x1075，求x。解：(1) a(a1)(a2)(ab1) 1(11)(12)(11001)123100(1100)×100÷2101×100÷25050。(2) x(x1)(x2)(x101)75 10x(129)75 10x4575 10x7545 10x30x30÷10 x3例4羊和狼在一起時(shí)，狼要吃掉羊，所以關(guān)于羊和狼，我們規(guī)定一種運(yùn)算，用符號(hào)表示：羊羊羊；羊狼狼；狼羊狼；狼狼狼。以上運(yùn)算的意思是：羊和羊在一起還是羊；狼和狼在一起還是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。小

5、朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼，所以我們規(guī)定另一種運(yùn)算，用符號(hào)表示：羊羊羊；羊狼羊；狼羊羊；狼狼狼。這個(gè)運(yùn)算的意思是：羊和羊在一起還是羊；狼和狼在一起還是狼；但是由于羊能戰(zhàn)勝狼，當(dāng)狼和羊在一起時(shí)，它便被羊趕走而幾只剩下羊了。對(duì)羊或狼，可以用上面規(guī)定的運(yùn)算作混合運(yùn)算，混合運(yùn)算的法則是從左到右，括號(hào)內(nèi)先算。運(yùn)算的結(jié)果或者是羊，或者是狼。那么求下式的結(jié)果：羊(狼羊)羊(狼狼)。解：羊(狼羊)羊(狼狼)羊羊羊狼羊羊狼羊狼狼練習(xí)一1設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：ab表示a的4倍減去b的3倍，即ab4×a3×b。試計(jì)算：(1)56； 65。2a、b是自然數(shù)，規(guī)定aba×5b÷3，

6、求89。3設(shè)ab8×a18÷b，求79？4規(guī)定ab(a3)×(b5)，求5(67)的值。5設(shè)aba×bab，試求58。6如果規(guī)定ab13×ab÷8，那么1724的最后結(jié)果是多少？7設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：ab2×ab÷2。求(1)106； (2)7(48)。8規(guī)定ABB×BA，計(jì)算(23)(45)。9如果規(guī)定ab4×a3×b1，那么57和75相等嗎？10對(duì)于兩個(gè)數(shù)x、y，xy表示y×Ax×2，并且已知826531。計(jì)算：(1)2957；(2)38(1423)。11如

7、果34345618，6567891040。計(jì)算20006。12如果“、×、÷、( )”的意義與通常相同，而式子中的數(shù)字卻不是原來(lái)的數(shù)字，試問(wèn)下面的四個(gè)算式應(yīng)該是我們通常的哪四個(gè)算式？(1)8×78；(2)7×7×76；(3)(783)×939；(4)3×33。第二講圖形問(wèn)題(一)例1有大、小兩個(gè)正方形，它們的周長(zhǎng)相差16厘米，面積相差80平方厘米，那么小正方形的面積是多少平方厘米？解：把小正方形重疊地放在大正方形的左上角如圖，因?yàn)樗鼈兊倪呴L(zhǎng)相差16÷44(厘米)，所以圖中正方形B的面積是4×416(平方厘

8、米)，又因?yàn)殛幱安糠值拿娣e是(8016)÷232(平方厘米)，所以原來(lái)的小正方形(正方形A)的邊長(zhǎng)是32÷48(厘米)，面積是8×864(平方厘米)。 A B例2下面的整個(gè)圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)40厘米的正方形，求圖中陰影部分的面積。解法一：圖形的總面積是40×401600(平方厘米)。每個(gè)小空白正方形的對(duì)角線是20厘米，根據(jù)“正方形的面積等于對(duì)角線的平方除以2”，每個(gè)空白小正方形的面積是20×20÷2200(平方厘米)，所以圖中陰影部分的面積是1600200×4800(平方厘米)。解法二：仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，圖中陰影部分的面積與空白部分

9、的面積正好相等，所以，陰影部分的面積是40×40÷2800(平方厘米)。例3如圖，陰影部分是一個(gè)長(zhǎng)方形，它的四周是四個(gè)正方形，如果這四個(gè)正方形的周長(zhǎng)的和是240厘米，面積的和是1000平方厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？解：圖中兩個(gè)小正方形相同，兩個(gè)大正方形也相同，所以一個(gè)小正方形和一個(gè)大正方形的面積的和是1000÷2500(平方厘米)。一個(gè)小正方形和一個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)的和是240÷2÷430(厘米)。在原圖的右上角補(bǔ)上一個(gè)同樣的長(zhǎng)方形，得到一個(gè)新的正方形如圖這個(gè)新正方形的面積是30×30900(平方厘米)，所以一個(gè)長(zhǎng)方形也就

10、是原圖的陰影部分的是(900500)÷2200(平方厘米)。例4如圖，矩形ABCD被分成六個(gè)正方形，其中最小的正方形的面積等于1，矩形ABCD的是多少？ AB DC解：如果設(shè)右下角正方形的邊長(zhǎng)為a，那么，左下角正方形的邊長(zhǎng)就是a1，左上角正方形的邊長(zhǎng)就是a11，右上角正方形的邊長(zhǎng)就是a111。因?yàn)镃DAB，所以aa(a1)(a11)(a111)，即3×a12×a5，于是a4。從而，CDaa(a1)13，AD(a1)(a11)11。因此，矩形ABCD的面積是13×11143。練習(xí)二1已知甲是正方形，乙是長(zhǎng)方形，圖形的周長(zhǎng)是多少厘米？甲3 乙 15 82把所

11、有周長(zhǎng)為22，且4條邊的長(zhǎng)度都是整數(shù)的長(zhǎng)方形的面積加起來(lái)，和是多少？3一個(gè)正方形，如果一組對(duì)邊各增加10厘米，另一組對(duì)邊各減少6厘米，那么，所得長(zhǎng)方形的面積與原來(lái)正方形的面積相等。原來(lái)正方形的面積是多少平方厘米？4下圖中陰影部分A和陰影部分B的面積，哪個(gè)大？AB5一塊長(zhǎng)方形玻璃，長(zhǎng)截去5分米，寬截去3分米，剩下的部分是正方形。已知截去的面積是71平方分米，那么剩下的正方形的面積是多少平方分米？6四個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)大正方形后，周長(zhǎng)比原來(lái)的四個(gè)正方形周長(zhǎng)的和少了40厘米，原來(lái)每個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少厘米？如果把這四個(gè)小正方形拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？7如圖，已知大、小兩

12、個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和是20厘米，并且大正方形比小正方形的面積大40平方厘米，大正方形的面積是多少平方厘米？8有一塊如圖所示的紙板，把它剪成三塊后再拼成一個(gè)正方形，應(yīng)該怎樣剪拼，請(qǐng)畫圖表示。 2 2 39如圖，一個(gè)大長(zhǎng)方形被分成了4個(gè)小長(zhǎng)方形，圖中數(shù)字是它們的面積，陰影部分的面積是多少？ 19 574510將邊長(zhǎng)為a的正方形各邊的中點(diǎn)連結(jié)成第二個(gè)正方形，再將第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)連結(jié)成第三個(gè)正方形，依此規(guī)律繼續(xù)下去得到下圖。那么邊長(zhǎng)為a的正方形的面積是圖中陰影部分面積的多少倍？11在一個(gè)正方形水池四周，環(huán)繞著一條寬2米的路，這條路的面積是120平方米，那么水池的面積是多少平方米？12如圖所示，陰影

13、部分是一個(gè)長(zhǎng)3分米、寬2分米的長(zhǎng)方形，我們需要用14張邊長(zhǎng)1分米的正方形紙片才能將它圍起來(lái)。現(xiàn)在有一個(gè)面積為124平方分米，且長(zhǎng)和寬都是整數(shù)分米的長(zhǎng)方形，那么至少需要多少?gòu)堖呴L(zhǎng)1分米的正方形紙片才能用同樣的方法將其圍起來(lái)？ 第三講枚舉與計(jì)數(shù)例1數(shù)列A：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 10, 11，。把這個(gè)數(shù)列中一位以上的數(shù)的數(shù)字全部隔開(kāi)，得到新的數(shù)列：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 1，0, 1，1, 1，2，。(1)數(shù)列A中的數(shù)100的個(gè)位數(shù)字0在數(shù)列B中是第幾個(gè)數(shù)？(2)數(shù)列B中的第100個(gè)數(shù)是數(shù)列A中的第幾個(gè)數(shù)的哪一位上的數(shù)字？這個(gè)數(shù)字是什么？(3)到數(shù)列B中

14、的第100個(gè)數(shù)為止，數(shù)字3共出現(xiàn)多少次？解：(1)數(shù)列A中，1到9共有9個(gè)數(shù)字；10到99共有180個(gè)數(shù)字；100有3個(gè)數(shù)字。所以數(shù)列A中的100的個(gè)位數(shù)字0在數(shù)列B中是第91803192個(gè)數(shù)。(2)數(shù)字B中前9個(gè)數(shù)是數(shù)列A中的一位數(shù)1到9，100991，而912×461，說(shuō)明數(shù)列B中第100個(gè)數(shù)是數(shù)列A中第46個(gè)兩位數(shù)的第一位數(shù)，這個(gè)數(shù)是94655，它的第一位（十位）數(shù)字是5。(3)數(shù)列A中，55以前的數(shù)含有數(shù)字3的依次是3, 13, 23, 30, 31, 32，33, ，39, 43, 53，所以數(shù)字3共出現(xiàn)16次。答：(略)。例2個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？所有這

15、些兩位數(shù)的和是多少？解：當(dāng)十位數(shù)字是1時(shí)，滿足題意的兩位數(shù)有8個(gè)；當(dāng)十位數(shù)字是2時(shí)，滿足題意的兩位數(shù)有7個(gè)；當(dāng)十位數(shù)字是8時(shí)，滿足題意的兩位數(shù)有1個(gè)；共有1234567836(個(gè))。這些兩位數(shù)的十位數(shù)字的和是8×17×26×35×44×53×62×71×8120，個(gè)位數(shù)字的和是9×88×77×66×55×44×33×22×1240，所以這些兩位數(shù)的和是10×1202401440。答：個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有36個(gè)，所有

16、這些兩位數(shù)的和是1440。例3有10個(gè)小朋友圍坐在一圈做游戲，從其中選出兩個(gè)不相鄰的小朋友，有多少種不同的選法？解：與某一小朋友不相鄰的小朋友有7個(gè)，所以不相鄰的小朋友有7×1070(對(duì))，每對(duì)小朋友都重復(fù)算了一次，所以共有70÷235(種)選法。答：有35種不同的選法。例4在校級(jí)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，運(yùn)動(dòng)員A、B、C分別獲得100米短跑的第一、第二、第三。在區(qū)級(jí)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，他們也是100米短跑的前三名。(1)如果在區(qū)級(jí)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，他們當(dāng)中有一人的排名與校級(jí)運(yùn)動(dòng)會(huì)的排名相同，那么排名情況有多少種可能？(2)如果在區(qū)級(jí)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，他們的排名都與校級(jí)運(yùn)動(dòng)會(huì)的排名不同，那么排名情況有多少種可能？解

17、：(1)設(shè)A的排名不變，那么B排第三，C排第二，只有這1種情況。同理B、C的排名不變，也各有1種情況。因此，共有3種情況。(2)如果排名情況都改變，A可能排第二或第三：當(dāng)A排第二時(shí)，B排第三，C排第一，有1種情況；當(dāng)A排第三時(shí)，B排第一，C排第二，也有1種情況。因此，排名均不同的可能性有2種。答：(略)。練習(xí)三1三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，后面兩個(gè)數(shù)的積與前面兩個(gè)數(shù)的積的差是114，那么這三個(gè)數(shù)中最小的是多少？2由數(shù)字卡片 5 、 7 、 2 、0 、 1 各一張能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？把這些數(shù)按照從小到大的順序排列，第14個(gè)數(shù)是多少？3一個(gè)三位數(shù)，三個(gè)數(shù)字各不相同且不為0，如果三個(gè)數(shù)字之和為10，這樣

18、的三位數(shù)有個(gè)？4一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大5。現(xiàn)將十位和個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，所得的兩位數(shù)比原來(lái)小多少？5編排一本書的頁(yè)碼共用了870個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，這本書一共有多少頁(yè)？6新華小學(xué)學(xué)生的總?cè)藬?shù)是一個(gè)三位數(shù)，平均每班有36人。統(tǒng)計(jì)員提供的學(xué)生總?cè)藬?shù)比實(shí)際總?cè)藬?shù)少180人。原來(lái)在他記錄時(shí)粗心地將三位數(shù)的百位和十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)了。學(xué)生的總?cè)藬?shù)最多是多少人？最少是多少人。7一圈小朋友玩報(bào)數(shù)拍手游戲，從1開(kāi)始順序報(bào)數(shù)，規(guī)定：報(bào)7的倍數(shù)時(shí)要拍一次手，報(bào)帶7的數(shù)時(shí)要拍兩次手，報(bào)既帶7又是7的倍數(shù)時(shí)要拍三次手。則報(bào)到100時(shí)共拍了多少次手？8。一只口袋里有5個(gè)小球，另一只口袋里有4個(gè)小球，所有這些小球的顏色各

19、不相同。(1)從兩只口袋里任意取出一個(gè)小球，有多少種不同的情況？(2)從兩只口袋里分別取出一個(gè)小球，有多少種不同的情況？9某地區(qū)有50個(gè)縣城，每個(gè)縣城都有3條公路通向別的縣城，這些縣城之間共有多少條公路？10如圖，從B逐步往下走到A，有多少條不同的路線？ BA11如圖，小麗從家到學(xué)?？梢杂卸嗌俜N不同的走法？小麗家學(xué)校12小明的爸爸買了6張電影票(如下圖)，想和小張家一塊去看電影。但因臨時(shí)有事不能和小張同時(shí)出發(fā)，小明只好撕下3張連在一起的票給小張家送去。那么有多少種不同的撕法？第四講推理與判斷例1小東、小蘭、小英讀書的學(xué)校分別是一中、二中、三中，他們各自愛(ài)好游泳、籃球、排球中的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，但是

20、誰(shuí)愛(ài)好哪項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，在哪個(gè)學(xué)校讀書還不清楚。只知道：(1)小東不在一中；(2)小蘭不在二中；(3)愛(ài)好排球的不在三中；(4)愛(ài)好游泳的在一中；(5)愛(ài)好游泳的不是小蘭。那么誰(shuí)在一中？誰(shuí)在二中？小蘭愛(ài)好什么？解：由(4)愛(ài)好游泳的在一中，由(1)這個(gè)人不是小東，由(5)這個(gè)人不是小蘭，所以這個(gè)人是小英，即小英在一中。同時(shí)得知，小蘭也不在一中，小蘭只能在三中，進(jìn)而得知小東在二中。由(3)愛(ài)好排球的在一中或二中，可是一中的小英已經(jīng)愛(ài)好了游泳，所以愛(ài)好排球的是在二中的小東。還剩下小蘭就只能愛(ài)好籃球了。例2小華同學(xué)做了三道習(xí)題，小明、小麗、小剛看完后分別說(shuō)：“小華做對(duì)了第一題”，“小華第二題沒(méi)有做對(duì)”，“小

21、華第一題沒(méi)有做對(duì)”。老師看完三道題后發(fā)現(xiàn)：小華只做對(duì)了一道題，而且小明、小麗、小剛?cè)酥兄挥幸蝗苏f(shuō)對(duì)了。請(qǐng)判斷小華做對(duì)的是哪道題？解：假設(shè)小華做對(duì)了第一題，那么小明和小麗就都說(shuō)對(duì)了，與題意不符；假設(shè)小華做對(duì)了第二題，那么小明和小麗就都說(shuō)錯(cuò)了，只有小剛說(shuō)對(duì)了，與題意相符；假如小華做對(duì)了第三題，那么小麗和小剛就都說(shuō)對(duì)了，也與題意不符。所以小華做對(duì)了第二題。例3標(biāo)有A、B、C、D、E、F、G、H記號(hào)的8盞燈，順次排成一行，每盞燈裝有一個(gè)開(kāi)關(guān)。現(xiàn)在B、E、G開(kāi)著，其余5盞燈關(guān)著，小明從燈A開(kāi)始，循環(huán)逐個(gè)拉動(dòng)8盞燈的開(kāi)關(guān)，拉了2004次后，關(guān)著的燈是哪幾盞？解：因?yàn)?004÷8商250余4，從

22、A開(kāi)始拉動(dòng)開(kāi)關(guān)250次后，由于250的雙數(shù)，所以B、E、G仍然開(kāi)著，其余5盞燈A、C、D、F、H都滅著。而對(duì)前面的4盞燈A、B、C、D又各拉動(dòng)一次以后，A、C、D變成開(kāi)著的，B又滅了，所以最后關(guān)著的燈是B、F、H。例4購(gòu)物單上某商品的單價(jià)是49.36元千克，總價(jià)是7.28元，方框中的數(shù)看不清了。則購(gòu)買此商品的數(shù)量至少是多少千克？解：寫成豎式進(jìn)行推導(dǎo)。先考慮個(gè)位數(shù)： 4 9 3.6 4 9 3.6× 3 × 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 8 7.2 8 7.2 8進(jìn)一步考慮十位數(shù)：4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 × 2 3

23、× 7 3 × 4 8 × 9 8 1 4 8 0 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 8 3 9 4 8 8 9 8 7 2 3 4 5 5 2 1 9 7 4 4 4 4 2 4 4 8 3 7.2 8 7.2 8 7.2 8 7.2 8 所以至少購(gòu)買98千克。練習(xí)四1甲、乙、丙、丁四人圍坐在方桌的四邊。乙說(shuō)：我的對(duì)面是“南”；丙說(shuō)：我在乙的左邊；丁說(shuō)：我的對(duì)面不是乙。甲坐在哪邊？2甲、乙、丙、丁、戊參加歌詠比賽，獲得前五名。他們的得分情況如下：(1)丙比乙低，但比戊高；(2)甲比丁高，但比戊低；(3)乙比戊高。這次歌詠比賽的第一名是誰(shuí)？3甲、乙、丙三人中

24、一位是工人，一位是農(nóng)民，一位是教師。已知丙比教師的年齡大，甲與農(nóng)民不同歲，農(nóng)民比乙的年齡小。那么誰(shuí)是教師？4甲、乙、丙三人中只有一人會(huì)開(kāi)汽車。甲說(shuō)：“我會(huì)開(kāi)。”乙說(shuō)：“我不會(huì)開(kāi)。”丙說(shuō)：“甲不會(huì)開(kāi)?！比说脑捴挥幸痪涫钦嬖挕?huì)開(kāi)車的是誰(shuí)？5、代表三個(gè)數(shù)，并且800那么、各代表多少？6下圖中的“？”應(yīng)填多少？2313？583 532 5 4 571號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)運(yùn)動(dòng)員取得了運(yùn)動(dòng)會(huì)800米賽跑的前四名。賽后他們接受小記者的采訪。1號(hào)說(shuō)：“3號(hào)在我前面沖向終點(diǎn)?！绷硪粋€(gè)得第三名的運(yùn)動(dòng)員說(shuō)：“1號(hào)不是第四名?！毙〔门袉T說(shuō)：“他們的號(hào)碼與他們的名次都不相同。”則第一名是幾號(hào)？第二名是幾號(hào)？第三名是

25、幾號(hào)？8將99棋子放在兩種型號(hào)的盒子中，每個(gè)大盒子中裝12粒，每個(gè)小盒子中裝5粒。已知盒子數(shù)大于10個(gè)，那么有多少個(gè)大盒子？多少個(gè)小盒子？9會(huì)議室某排有15個(gè)座位，小宇去時(shí)部分座位已有人就座，他無(wú)論坐在何處都要與已坐的人相鄰。那么，在小宇就座之前，這一排至少已坐了多少人？10某次數(shù)字競(jìng)賽有20道題，初始分為60分。規(guī)定：答對(duì)一題給5分，不答扣1分，答錯(cuò)一題扣3分。最后得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？11“?！?、“望”、“杯”、“賽”各代表不同的數(shù)字，請(qǐng)根據(jù)下面的算式判斷這四個(gè)漢字分別代表的是哪個(gè)數(shù)字？希望 希望杯希望杯賽 2 0 0 512下面是一個(gè)六位數(shù)乘一個(gè)一位數(shù)的算式，不同的漢字表示不同的數(shù)，相同的

26、漢字表示相同的數(shù)，這個(gè)六位數(shù)是多少？小 學(xué) 希 望 杯 賽 ×賽 9 9 9 9 9 9第五講解決問(wèn)題(一)例1祖父與父親的年齡之差是孫子年齡的6倍，而孫子與父親的年齡之和比祖父的年齡小30歲，孫子今年多少歲？解：當(dāng)用孫子與父親的年齡之和與祖父相比時(shí)，祖父的年齡比這個(gè)和多出來(lái)的部分只有孫子的615倍。所以孫子今年30÷56(歲)。答：孫子今年6歲。例2幼兒園分餅干，如果每人分3塊，余14塊；如果每人分4塊，還有3個(gè)小朋友沒(méi)分到。一共有多少個(gè)小朋友？有多少塊餅干？解：改變分法后，從余15塊到缺4×312(塊)，一共要多分141226(塊)，這是因?yàn)槊咳硕喾?31(塊

27、)的緣故，所以一共有26÷126(個(gè))小朋友，有3×261492(塊)餅干。答：一共有26個(gè)小朋友，92塊餅干。例3運(yùn)輸公司為客戶裝運(yùn)1600只瓷盤，每只運(yùn)費(fèi)1元，如果損壞一只，不但得不到運(yùn)費(fèi)，還要照價(jià)格的一半賠償。若運(yùn)到目的地后運(yùn)輸公司損壞了5只瓷盤，并得到1540元。則瓷盤價(jià)格為每只多少元？解：如果瓷盤沒(méi)有損壞，運(yùn)輸公司將得到1×16001600(元)，實(shí)際少得了1600154060(元)。損壞一只瓷盤運(yùn)輸公司少得60÷512(元)，其中有運(yùn)費(fèi)損失1元和瓷盤價(jià)格的一半，所以瓷盤的價(jià)格是(121)×222(元)。答：每只瓷盤22元。例4懷特海

28、是英國(guó)數(shù)理邏輯學(xué)家，曾執(zhí)教于劍橋大學(xué)和哈佛大學(xué)。下面是他給他的學(xué)生出的一道題：A、B、C三人各有硬幣若干枚。A將自己的硬幣分給B、C，使他們的硬幣各增長(zhǎng)了一倍；之后，B將自己的硬幣分給A、C，使他們的硬幣各增長(zhǎng)了一倍；最后，C將自己的硬幣分給A、B，使他們的硬幣各增長(zhǎng)了一倍。這樣，三人的硬幣都是8枚。請(qǐng)問(wèn)他們?cè)瓉?lái)各有硬幣多少枚？解：用倒推法。第三次調(diào)整后：A有8枚，B有8枚，C有8枚；第二次調(diào)整后：A有8÷24(枚)，B有8÷24(枚)，C有84416(枚)；第一次調(diào)整后：A有4÷22(枚)，C有16÷28(枚)，B有42814(枚)；原來(lái)：B有14&#

29、247;27(枚)，C有8÷24(枚)，A有27413(枚)。答：原來(lái)A有13枚、B有7枚、C有4枚。練習(xí)五1有甲、乙兩隊(duì)少先隊(duì)員去春游，甲隊(duì)人數(shù)是乙人數(shù)的2倍。從甲隊(duì)調(diào)出10人到乙隊(duì)后，甲隊(duì)仍比乙隊(duì)多5人。甲隊(duì)原來(lái)有多少人？2在第二屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽中，有一位同學(xué)在第一試答了24道題，其中，答對(duì)的題數(shù)是答錯(cuò)的題數(shù)的2倍；第二試答了20道題，結(jié)果，兩次一共答對(duì)的題數(shù)是答錯(cuò)的題數(shù)的3倍。則這位同學(xué)在第二試答對(duì)了多少道題？3菜市場(chǎng)運(yùn)來(lái)6筐蘿卜，分別裝著24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的蘿卜。營(yíng)業(yè)員小王承包了其中3筐，小李承包了另外2筐。已知小王承包的蘿卜

30、質(zhì)量是小李的2倍，剩下的沒(méi)有被承包的蘿卜有多少千克？4小光和小明，共有48枚紀(jì)念郵票和20枚特種郵票。已知，小光的紀(jì)念郵票是小明的5倍，小明的特種郵票是小光的3倍。小光的郵票比小明多多少?gòu)垼?幼兒園老師給幾組小朋友分蘋果，每組分7個(gè)，少3個(gè)；每組分6個(gè)，則多4個(gè)。蘋果有多少個(gè)？小朋友共幾組？6某校組織學(xué)生去春游，晚上住宿時(shí)，如果在預(yù)訂的房間里每間住5個(gè)人，還有4個(gè)人無(wú)法入??；每間安排6個(gè)人，最后一間還可以住2個(gè)人。那么預(yù)定了房間多少間？共有多少個(gè)人？7有三角形桌子和正方形桌子共13張，共有44條腿(桌子的每個(gè)角有一條腿)，則三角形桌子比正方形桌子多多少?gòu)垼?一次口算比賽，規(guī)定：答對(duì)一題得8分，

31、答錯(cuò)一題扣5分。小華答了18道題，得了92分，小華在此次比賽中答錯(cuò)了多少道題？9購(gòu)買5元、8元和10元的公園門票共100張，用去748元，其中5元和8元的張數(shù)相同，則10元的門票共多少?gòu)垼?0小王、小李兩人射擊比賽，約定每中一發(fā)記20分，脫靶一發(fā)則扣12分。兩人各打10發(fā)，共得208分，小王比小李多得64分，小王打中多少發(fā)？小李打中多少發(fā)？11小明問(wèn)老師今年多少歲，老師說(shuō)：“我6年前的年齡和你6年后的相同，我3年后的年齡和你3年前的年齡之和是42歲?！崩蠋熃衲甓嗌贇q？小明今年多少歲？12將786個(gè)桃子分成四堆，第一堆比第二堆多24個(gè)，比第三堆多16個(gè)，比第四堆多46個(gè)，那么第四堆有多少個(gè)？第六

32、講解決問(wèn)題(二)例110名同學(xué)的考試成績(jī)按分?jǐn)?shù)從高到低排列名次，前4名平均得92分，后6名的平均分?jǐn)?shù)比10人的平均分?jǐn)?shù)少8分，這10名同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是多少分？解：如果從前4名的總分中拿出6個(gè)8分補(bǔ)給后6名同學(xué)，那么前4名的平均分?jǐn)?shù)也就和10個(gè)同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)同樣多了，所以這10名同學(xué)的平均分是(92×48×6)÷480(分)。答：這10名同學(xué)的平均分是80分。例2一列以相同速度行駛的火車，經(jīng)過(guò)一根有信號(hào)燈的電線桿用了9秒，通過(guò)一座468米長(zhǎng)的鐵橋用了35秒，這列火車長(zhǎng)多少米？解：因?yàn)榛疖囆旭傄粋€(gè)車身的距離要9秒，而通過(guò)一座鐵橋所行的距離包括橋的長(zhǎng)度和車身的長(zhǎng)度，所以

33、火車行468米只需35926(秒)，每秒行駛468÷2618(米)，這列火車長(zhǎng)18×9162(米)。答：這列火車長(zhǎng)162米。例3星期天，媽媽從超市買了4支“小夢(mèng)龍”和3支“可愛(ài)多”冰淇淋，用去24元錢。媽媽對(duì)小麗說(shuō)：“上星期天我買3支小夢(mèng)龍和5支可愛(ài)多冰淇淋用去29元錢?！薄靶?mèng)龍”和“可愛(ài)多”冰淇淋每支各多少錢？解：把已條件整理成算式：4支小夢(mèng)龍3支可愛(ài)多24(元)(1)3支小夢(mèng)龍5支可愛(ài)多29(元)(2)為了消去“小夢(mèng)龍”，讓(1)擴(kuò)大3倍，(2)式擴(kuò)大4倍，得：12支小夢(mèng)龍9支可愛(ài)多72(元) (3)12支小夢(mèng)龍20支可愛(ài)多116(元) (4)(4)式(3)式得：每支

34、“可愛(ài)多”(11672)÷(209)4(元)。再由(1)式得：每支“小夢(mèng)龍”(244×3)÷43(元)。答：“小夢(mèng)龍”每支3元，“可愛(ài)多”每支4元。例4要用1000元錢買23元、22元、21元的三種物品，三種物品都要買，而且不能剩錢，則最多可以買多少件？最少可以買多少件？解：要想買的件數(shù)最多，就要盡量多買21元一件的，1000÷214713，說(shuō)明可以47件21元的，還余13元，可以用這13元補(bǔ)到幾件21元的物品上換成22元和23元的物品，所以最多可以買47件。要想買的件數(shù)最少，就要盡量多買23元一件的，1000÷234311，也就是說(shuō)如果買44

35、件就少231112(元)，可以買44件23元的，超出231112(元)，可以用幾件23元的物品換21元和22元的物品，直到把超出的12元抵消，所以最少可以買44件。答：最多可以買47件，最少可以買44件。練習(xí)六1有四個(gè)數(shù)，每次選取其中三個(gè)數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另外一個(gè)數(shù)，用這樣的方法計(jì)算了4次，分別得到4個(gè)數(shù)：26, 32, 40, 46，那么原來(lái)四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？2有6個(gè)數(shù)排成一行，它們的平均數(shù)是27。已知前4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是23，后3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是34。第4個(gè)數(shù)是多少？3甲筐蘋果個(gè)數(shù)比乙筐多64個(gè)，從甲筐取出多少個(gè)蘋果放入乙筐，可使乙筐蘋果比甲筐多12個(gè)？4期末考試中，小強(qiáng)語(yǔ)文、數(shù)

36、學(xué)、外語(yǔ)三門課的的平均成績(jī)是92分，語(yǔ)文、外語(yǔ)兩門課的平均成績(jī)比數(shù)學(xué)低3分，語(yǔ)文比外語(yǔ)高2分。則外語(yǔ)多少分？5小光故意把成績(jī)單上的兩個(gè)分?jǐn)?shù)涂掉了，讓爸爸猜。已知數(shù)學(xué)比思想品德分?jǐn)?shù)高，那么數(shù)學(xué)得了多少分？科目思想品德語(yǔ)文數(shù)學(xué)體育科學(xué)藝術(shù)平均分?jǐn)?shù) 88 81 79 76 876為了支援西部，四一班班長(zhǎng)小明和四二班班長(zhǎng)小光帶了同樣多的錢買了同一種書44本，錢全部用完，小明要了26本，小光要了18本?；匦：?，小明補(bǔ)給小光28元。小明、小光各帶了多少元？每本書多少元？7三個(gè)工廠拿出相同的資金買煤，結(jié)果甲廠比乙廠多要了15噸，丙廠比乙廠多要了15噸，因此甲廠和丙廠各付給乙廠3000元，每噸煤多少元？8空間

37、站上的5位宇航員輪流值班和休息，值班崗位有2個(gè)。在60小時(shí)里，平均每個(gè)宇航員休息了幾小時(shí)？9小明沿著長(zhǎng)為100米的橋面步行。當(dāng)他走到橋頭時(shí)，一輛迎面駛來(lái)的火車車頭也恰好到達(dá)橋頭。100秒鐘后，小明走到橋尾，火車的車尾恰好也到達(dá)橋尾。已知火車的速度是小明速度的3倍，則火車通達(dá)這座橋大約用了多少時(shí)間？10兩列相向而行的火車恰好在某站相遇。如果甲列車長(zhǎng)225米，每秒行25米，乙列車每秒行20米，甲、乙兩列車錯(cuò)車時(shí)間是9秒。求：(1)乙列火車長(zhǎng)多少米？(2)坐在甲列車上的小明看到乙列車通過(guò)用了多少秒？11甲、乙兩人練習(xí)跑步，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘可追上乙；如果甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑4

38、秒鐘可追上乙。求甲的速度。12小明去相距9千米遠(yuǎn)的同學(xué)家，已知他步行的速度是每小時(shí)3千米，他每走50分鐘要休息10分鐘，他想在中午12：00之前趕到同學(xué)家，則他最晚要在上午幾時(shí)幾分出發(fā)？第七講 綜合練習(xí)(一)1如果ab3a2b，a*b(ab)÷2，那么(7*3)6？2一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小6?，F(xiàn)將十位和個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，所得的兩位數(shù)比原來(lái)大多少？3有10個(gè)盒子和45個(gè)乒乓球，能否把這45個(gè)乒乓球放入這10個(gè)盒子中，使任意兩個(gè)盒子中的乒乓球數(shù)都不相同？410公園里有一個(gè)正方形花壇，在花壇四周有一條2米寬的小路。如果這一圈小路的面積是64平方米，那么花壇(陰影部分)的面積是多少

39、平方米？5一個(gè)長(zhǎng)方形的寬去掉3厘米而長(zhǎng)不變，其面積比原來(lái)減少30平方厘米；如果長(zhǎng)增加6厘米，而寬不變，其面積比原來(lái)增加42平方厘米。那么原長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？6個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？7某次會(huì)議有30人參加，如果見(jiàn)面時(shí)每?jī)扇硕家找淮问郑敲催@些人總共要握手多少次？8幼兒園分餅干，如果每人分3塊，那么余10塊；如果每人分4塊，那么還有2個(gè)小朋友沒(méi)分到。一共有多少塊餅干？9甲、乙、丙三個(gè)好朋友都喜歡集郵。如果甲把自己的郵票給乙、丙一些，使他們的郵票各增加一倍；乙再把自己的郵票給甲、丙一些，使他們的郵票各增加一倍；丙再把自己的郵票給甲、乙一些，使他們的郵票各增加一倍。這樣一

40、樣，三個(gè)人的郵票正好都是80枚。原來(lái)甲有郵票多少枚？10一列以勻速行駛的火車，經(jīng)過(guò)一根電線桿用了10秒，通過(guò)一座600米長(zhǎng)的鐵橋用了40秒，這列火車全長(zhǎng)多少米？1110名同學(xué)的考試成績(jī)(滿分為100分)按分?jǐn)?shù)排列名次，前5名平均得90分，后5名的平均分?jǐn)?shù)比10人的平均分?jǐn)?shù)少6分，這10名同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是多少分？121999年12月澳門回到了偉大祖國(guó)的懷抱。在下面的算式中，“慶”、“澳”、“門”、“歸”四個(gè)漢字各代表一個(gè)數(shù)字，那么“慶”是、“澳”是、“門”是、“歸”是。澳門澳門歸慶澳門歸 1 9 9 9第八講 等差數(shù)列上學(xué)期我們已經(jīng)對(duì)等差數(shù)列有了一些初步的了解。比如，等差數(shù)列 a1，a2，a3，

41、an 的和Sn(a1an)×n÷2；如果公差是d，那么從ap到aq共有(aqap)÷d1項(xiàng)等。這一講我們就來(lái)研究一些有關(guān)等差數(shù)列的比較復(fù)雜的問(wèn)題。例 1從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)，使其和大于100，共有多少種取法？解：較小數(shù)取1時(shí)，較大數(shù)可以取100，共1種取法；較小數(shù)取2時(shí)，較大數(shù)可以取99、100，共2種取法；較小數(shù)取3時(shí)，較大數(shù)可以取98、99、100，共3種取法；較小數(shù)取50時(shí)，較大數(shù)可以取51、52、100，共50種取法；較小數(shù)取51時(shí)，較大數(shù)可以取52、53、100，共49種取法；較小數(shù)取52時(shí)，較大數(shù)可以取53、54、100，共

42、48種取法；較小數(shù)取99時(shí)，較大數(shù)可以取100，共1種取法。總共有(12349)×250(149)×49÷2×2502500(種)取法。例2計(jì)算：(101103399)(9193389)。解：第一個(gè)等差數(shù)列共有(399101)÷21150項(xiàng)，第二個(gè)等差數(shù)列共有(38991)÷21150項(xiàng)。方法一：原式(101399)×150÷2(91389)×150÷21500。方法二：原式(10191)(10393)(399389)10×1501500。例 3計(jì)算：10009999989979969

43、95106105104103102101。解法一：觀察發(fā)現(xiàn)：由于減數(shù)“998、995、104、101”的存在，使得加數(shù)失去了連續(xù)性，不能運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式。為了解決這個(gè)問(wèn)題，添上所缺的加數(shù)“998、995、104、101”，同時(shí)把原有的減數(shù)擴(kuò)大2倍，因?yàn)橐还灿?1000101)1900個(gè)加數(shù)，(998101)÷31300個(gè)減數(shù)，于是：原式(1000999998102101)(998995992104101)×2(1000101)×900÷2(998101)×300÷2×2165750。解法二：先對(duì)減號(hào)兩邊的進(jìn)行計(jì)算，一共

44、得到300個(gè)1，同時(shí)，原有的900個(gè)加數(shù)減少到300個(gè)(參看解法一)于是：原式10001997110611031(1000103)×300÷21×300165750。例4計(jì)算123246369100200300。解：原式(123)(246)(369)(100200300)1×(123)2×(123)3×(123)100×(123)(123100)×(123)(1100)×100÷2×630300。練習(xí)八1計(jì)算：(1351997)(2461996)？2計(jì)算：134679101213666

45、76970？3計(jì)算：2481014162022929498100？4計(jì)算：(19941992199042)？5計(jì)算(20041)(20032)(20023)(10031002)。(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)6在1000到2000之間，所有個(gè)位數(shù)字是7的自然數(shù)之和是多少？7小明從一月一日開(kāi)始寫大字，第一天寫了4個(gè)，以后每天比前一天多寫相同數(shù)量的大字，結(jié)果全月共寫了589個(gè)大字。問(wèn)：小明每天比前一天多寫幾個(gè)大字？8袋子里共有415個(gè)小球，第一次從袋子里取出1個(gè)小球，第二次從袋子里取出3個(gè)小球，第三次從袋子里取出5個(gè)小球，第四次從袋子里取出7個(gè)小球依次地取球，如果剩下

46、的球已不夠某次取了，則將余下的小球留在袋中。那么，袋子中留下多少個(gè)小球？(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)9學(xué)校進(jìn)行乒乓球選拔賽，每個(gè)參賽選手都要和其他所有選手各賽一場(chǎng)，一共進(jìn)行了78場(chǎng)比賽。問(wèn)：有多少人參加了選拔賽？10有一列數(shù)：1，1993，1992，1，1991，1990，1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差。求從第一個(gè)數(shù)起到第1993個(gè)數(shù)的和。11計(jì)算100×9595×9090×8585×8080×7575×7020×1515×1010×5。12觀察下面的數(shù)陣，第20行所有

47、的數(shù)的和是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第九講 速算與巧算(一)例1用簡(jiǎn)便方法計(jì)算134859348591485913859134591348913485。(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)解：觀察發(fā)現(xiàn)：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都是“1、3、4、5、8、9”，所以134859348591485913859134591348913485111111×(134589)111111×303333330。例2計(jì)算：99999×7777833333×66666？解

48、：觀察發(fā)現(xiàn)：66666含有因數(shù)3，如果把66666分解成3×22222，再根據(jù)乘法結(jié)合律，讓3與前一個(gè)因數(shù)33333相乘，得到99999，這樣一來(lái)，與前面的積就有相同的因數(shù)，于是可以用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算。99999×7777833333×6666699999×7777833333×（3×22222）99999×77778（33333×3）×2222299999×7777899999×2222299999×(7777822222)99999×1000009999900

49、000。例3計(jì)算200420032002200120001999654321。(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)解：觀察發(fā)現(xiàn)：(1)算式中的數(shù)是從2004遞減到1的連續(xù)自然數(shù)；(2)算式是由3個(gè)加數(shù)、3個(gè)減數(shù)、3個(gè)加數(shù)、3個(gè)減數(shù)組成。所以，可以分組計(jì)算： 200420032002200120001999654321(200420032002200120001999)(654321)9×(2004÷6)3006。例4計(jì)算100×10199×10098×9997×9896×9795×962×31×2

50、。(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解：100×10199×10098×9997×9896×9795×962×31×2(100×10199×100)(98×9997×98)(96×9795×96)(2×31×2)(10199)×100(9997)×98(9795)×96(31)×22×(10098962)2×(1002)×50÷22×255051

51、00。練習(xí)九1計(jì)算5683225683325688325668325。（2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）2計(jì)算：(1) 9999999999？(2) 199999919999919999199919919。（江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）3計(jì)算：379000÷125÷8？4計(jì)算：(3899×9961)÷(396÷36)？5計(jì)算：(1) 12345679×810？(2) 8888888×7777777÷1111111÷1111111？6計(jì)算：(1) 22222×22222？ (2) 33333×

52、;33333？7計(jì)算：(1) 99999×2222233333×33334？(2) 66666×1000166666×6666？(3) 111111×999999999999×777777？(4) 353353×352352352×353。(吉林省第九屆小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)8計(jì)算：2375×39879207×60133987×6832？9計(jì)算：77×13255×999510？10計(jì)算：2000×19991999×19981998×199

53、71997×19962×1？11. 計(jì)算：(1×2×3×4××9×10×11)÷(27×25×24×22)。(2002年全國(guó)奧賽預(yù)賽題)12計(jì)算(2823102313023133023133302)÷47。(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)第十講 速算與巧算(二)例1計(jì)算181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8。(2004年浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解：根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)：一個(gè)數(shù)連續(xù)除以幾個(gè)數(shù)，等于這個(gè)數(shù)除以那幾個(gè)除數(shù)的積。181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8181440÷(3×5×6)÷4÷7÷8181440÷90÷4÷7÷82016÷4÷7÷8504÷7÷872÷89。例2計(jì)算23233232343443