湘教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教學(xué)課件 第2章小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、第2章 圓小結(jié)與復(fù)習(xí)一.與圓有關(guān)的概念1.圓:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形.2.弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段.3.直徑:經(jīng)過圓心的弦是圓的直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦.4.劣弧:小于半圓周的圓弧.5.優(yōu)弧:大于半圓周的圓弧.要點(diǎn)梳理6.等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧.7.圓心角:頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓相交.8.圓周角:頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊與圓相交.注意 (1)確定圓的要素：圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大小(2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.9.外接圓、內(nèi)接正多邊形:將一個(gè)圓n(n3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.10

2、.三角形的外接圓 外心：三角形的外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.注意 (1)三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)(2)一個(gè)三角形的外接圓是唯一的.11.三角形的內(nèi)切圓 內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.注意 (1)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)(2)一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是唯一的.12.正多邊形的相關(guān)概念(1)中心：正多變形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心.(2)半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.(3)邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.(4)中心角：正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.二、與圓

3、有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可由點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r比較得到設(shè)O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有點(diǎn)P在圓內(nèi)；dr 點(diǎn)P在圓上；d=r 點(diǎn)P在圓外.dr 注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的關(guān)系；反過來，也可以通過這種數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系2.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離直線與圓的位置關(guān)系 圖形 d與r的關(guān)系 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 公共點(diǎn)名稱 直線名稱2個(gè)交點(diǎn)割線1個(gè)切點(diǎn)切線0個(gè)相離相切相交dr d=r dr 三、 圓的基本性質(zhì)1. 圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，它的任意一條_所在的直線都是它的對(duì)稱軸.直徑2. 有關(guān)圓

4、心角、弧、弦的性質(zhì).(1)在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.(2)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧和兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.圓心角相等弧相等弦相等(2)垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??； 平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦.三、 有關(guān)定理及其推論1.垂徑定理(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的 .注意 條件中的“弦”可以是直徑；結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對(duì)的劣弧、優(yōu)弧兩條弧2.圓周角定理(1)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.(

5、3)推論2：90的圓周角所對(duì)的弦是直徑.注意 “同弧”指“在一個(gè)圓中的同一段弧”；“等弧”指“在同圓或等圓中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”(4)推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).(2)推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)弧相等.3.與切線相關(guān)的定理(1)判定定理：經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.(3)切線長(zhǎng)定理：經(jīng)過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.四、 圓中的計(jì)算問題1.弧長(zhǎng)公式半徑為R的圓中，n圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l=_.180

6、n R2.扇形面積公式半徑為R，圓心角為n的扇形面積S= _.2360nR12lR或3.弓形面積公式OO弓形的面積=扇形的面積三角形的面積4.圓內(nèi)接正多邊形的計(jì)算(1)正n邊形的中心角為360n(2)正n邊形的邊長(zhǎng)a，半徑R，邊心距r之間的關(guān)系222( ) .2aRr(3)邊長(zhǎng)a，邊心距r的正n邊形的面積為11.22Snarlr其中l(wèi)為正n邊形的周長(zhǎng).考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)例1 如圖，在 O中，ABC=50，則CAO等于（）A30B40C50D60B例2 在圖中，BC是O的直徑，ADBC,若D=36,則BAD的度數(shù)是（ ）A. 72 B.54 C. 45 D.36 ABCDB例3 O的半徑

7、為R，圓心到點(diǎn)A的距離為d，且R、d分別是方程x26x80的兩根，則點(diǎn)A與O的位置關(guān)系是（ ）A點(diǎn)A在O內(nèi)部 B點(diǎn)A在O上C點(diǎn)A在O外部 D點(diǎn)A不在O上解析：此題需先計(jì)算出一元二次方程x26x80的兩個(gè)根，然后再根據(jù)R與d的之間的關(guān)系判斷出點(diǎn)A與 O的關(guān)系.D1.如圖所示，在圓O中弦ABCD，若ABC=50，則BOD等于（）A50B40C100D80C針對(duì)訓(xùn)練1352.如圖a，四邊形ABCD為O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為劣弧BC上的任意一點(diǎn)（不與B,C重合），則BPC的度數(shù)是 .CDBAPO圖a考點(diǎn)二 垂徑定理 例4 工程上常用鋼珠來測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm,測(cè)得鋼珠頂端離零

8、件表面的距離為8mm,如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長(zhǎng)度為 mm.8mmAB8CDO解析 設(shè)圓心為O，連接AO,作出過點(diǎn)O的弓形高CD，垂足為D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，AD=4mm，所以AB=8mm.2AOBCEF圖a3.如圖a，點(diǎn)C是扇形OAB上的AB的任意一點(diǎn)，OA=2,連接AC,BC,過點(diǎn)O作OE AC,OF BC，垂足分別為E,F，連接EF，則EF的長(zhǎng)度等于 .（針對(duì)訓(xùn)練3ABCDP O圖bDP4.如圖b,AB是 O的直徑，且AB=2，C,D是同一半圓上的兩點(diǎn)，并且AC與BD的度數(shù)分別是96 和36 ，動(dòng)點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，則PC+PD的最小值是

9、 .（例5 如圖，在RtABC中，ABC=90，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，連接BD.考點(diǎn)三 切線的判定與性質(zhì)解：（1）AB是直徑，ADB=90.AD=3，BD=4，AB=5.CDB=ABC，A=A，ADBABC， 即 BC=DDB=,ABBCA34=,5BC20.3（1）若AD=3，BD=4，求邊BC的長(zhǎng).又OBD+DBC=90，C+DBC=90，C=OBD，BDO=CDE.AB是直徑，ADB=90，BDC=90，即BDE+CDE=90.BDE+BDO=90，即ODE=90.ED與O相切.（2）證明：連接OD，在RtBDC中，E是BC的中點(diǎn)，CE=DE，C=CDE.又OD=OB，ODB=O

10、BD.（2）取BC的中點(diǎn)E，連接ED，試證明ED與O相切. 例6 （多解題）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O， AOD=30 ,半徑為1cm的P的圓心在射線OA上，且與點(diǎn)O的距離為6cm,如果P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，那么 秒鐘后P與直線CD相切.4或8解析： 根本題應(yīng)分為兩種情況：(1)P在直線CD下面與直線CD相切；(2)P在直線CD上面與直線CD相切.ABDCPP2P1E解析 連接BD，則在RtBCD中，BEDE，利用角的互余證明CEDC.例7 如圖，在RtABC中，ABC=90，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線交BC于E.（1）求證：BC=2DE.解：（1）證明

11、：連接BD，AB為直徑，ABC=90，BE切O于點(diǎn)B.又DE切O于點(diǎn)D，DE=BE，EBD=EDB.ADB=90，EBD+C=90，BDE+CDE=90.C=CDE，DE=CE.BC=BE+CE=2DE.（2）DE=2，BC=2DE=4.在RtABC中，tan,ABCBCAB=BC =522 5在RtABC中，2222(2 5)46.ACABBC又ABDACB，DAB=,ABACA 即D2 5=,62 5A10AD=.3 （2）若tanC= ,DE=2，求AD的長(zhǎng).52B北6030AC例8 如圖，已知燈塔A的周圍7海里的范圍內(nèi)有暗礁，一艘漁輪在B處測(cè)得燈塔A在北偏東60的方向，向東航行8海里到

12、達(dá)C處后，又測(cè)得該燈塔在北偏東30的方向，如果漁輪不改變航向，繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由.（參考數(shù)據(jù) =1.732）3解析：燈塔A的周圍7海里都是暗礁，即表示以A為圓心，7海里為半徑的圓中，都是暗礁.漁輪是否會(huì)觸礁，關(guān)鍵是看漁輪與圓心A之間的距離d的大小關(guān)系.B北6030ACB北6030ACD解：如圖，作AD垂直于BC于D，根據(jù)題意，得BC=8.設(shè)AD為x.ABC=30，AB=2x.BD= x.ACD=90-30=60， AD=CDtan60，CD= .BC=BD-CD= =8.解得 x=333x2 33x4 34 1.7326.9287.即漁船繼續(xù)往東行駛，有觸礁的危

13、險(xiǎn).5.如圖b，線段AB是直徑，點(diǎn)D是O上一點(diǎn)， CDB=20 ,過點(diǎn)C作O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則E等于 .OCABED圖b50針對(duì)訓(xùn)練6. 如圖， O為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O 為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的O與BC相切于點(diǎn)M. (1)求證：CD與O相切；ABCDOM(1)證明：過點(diǎn)O作ONCD于N.連接OM BC與O相切于點(diǎn)M, OMC=90 , 四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O在AC上.AC是BCD的角平分線，ON=OM， CD與O相切.NABCDOM(2)解: 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AC= . 設(shè)O的半徑為r,則OC= .又易知OMC是等腰直角三角形， OC= 因此有 ，解得 .22

14、r2r22rr22r （2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求O的半徑.7. 已知：如圖，PA，PB是 O的切線，A、B為切點(diǎn)，過 上的一點(diǎn)C作 O的切線，交PA于D，交PB于E.(1)若P70，求DOE的度數(shù)；AB解：(1)連接OA、OB、OC， O分別切PA、PB、DE于點(diǎn)A、B、C，OAPA，OBPB，OCDE,ADCD,BECE，OD平分AOC，OE平分BOC.DOE AOB.PAOB180，P70，DOE55.12 (2) O分別切PA、PB、DE于A、B、C， ADCD，BECE. PDE的周長(zhǎng)PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm)(2)若PA4 cm，求PDE的周長(zhǎng)例9 如圖

15、，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)B、C在以點(diǎn)O為圓心的圓上, OA=1,AOC=120，1=2，求扇形OEF的面積？解：四邊形OABC為菱形 OC=OA=1 AOC=120，1=2 FOE=120 又點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心的圓上 21201=3603S扇形OEF考點(diǎn)四 弧長(zhǎng)與扇形面積 8. 一條弧所對(duì)的圓心角為135 ，弧長(zhǎng)等于半徑為5cm的圓的周長(zhǎng)的3倍，則這條弧的半徑為 . 40cm針對(duì)訓(xùn)練9. 如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)有一條折線段，其中AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，求圖中陰影部分的面積.解：將線段FC平移到直線AE上，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合， 點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C的位置.連接AC

16、，如圖所示.根據(jù)平移的方法可知，四邊形EFCC是矩形. AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8.在RtACC中，得2222AC= AC +CC = 16 +8 =8 5正方形ABCD外接圓的半徑為4 5正方形ABCD的邊長(zhǎng)為ACAB=4 10222=4 54 10=80160S陰影（） （）24 3例10 若一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為24，則該正六邊形的面積為_.考點(diǎn)五 圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)計(jì)算10. 如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為5的 O，四邊形EFGH是正方形求正方形EFGH的面積；解：正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，EF=OF=5. 四邊形EFGH是正方形， FG=EF=5， 正方形EFGH的面積是25.針對(duì)訓(xùn)練正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，OFE=600.正方形的內(nèi)角是900，OFG=OFE +EFG=600+900=1500.由得OF=FG，OGF= （1800-OFG） = （1800-1500）=150.121