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文檔簡介

1、等差數(shù)列(、,知3求2)等比數(shù)列(、,知3求2)判斷方法(充要條件)或;,(A,B為常數(shù));,(C,D為常數(shù))?;?;通項公式; ;若,則;若,則.或;若,則,若,則.前n項和公式當n為比較小的正整數(shù)時可記為:Sn=a1+a2+an;、仍為等差數(shù)列,公差為。、仍為等比數(shù)列,公比為等差(比)中項若成等差數(shù)列,則A叫做與的等差中項,且若成等比數(shù)列(a,b同號),A為與的等比中項,A=。數(shù)列單調(diào)性d>0時,數(shù)列遞增;若,數(shù)列遞減;若公差,則為常數(shù)列。,為常數(shù)列;,為擺動數(shù)列;且時遞增; 且時,遞減;且時,遞增;且時,遞減。既成等差又成等比的數(shù)列為非零常數(shù)列。當 、時,滿足 的項數(shù)n使得

2、取最大值.當、時,滿足的項數(shù)n使得取最小值.求通項:一、公式法 等差數(shù)列通項公式;等比數(shù)列通項公式。例1 已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:兩邊除以,得,則,故數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項公式,得,所以數(shù)列的通項公式為。評注:本題解題的關鍵是把遞推關系式轉(zhuǎn)化為,說明數(shù)列是等差數(shù)列,再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出,進而求出數(shù)列的通項公式。二、累加法 適用于 型例2 已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:由得則所以數(shù)列的通項公式為。三、累乘法 適用于型例3 已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:因為,所以,則,故所以數(shù)列的通項公式為四、任意數(shù)列的通項與前項和的關系:若滿足由

3、推出的,則需要統(tǒng)一“合寫”;若不滿足,則數(shù)列的通項應分段表示。五、待定系數(shù)法例4 已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:設將代入式,得,等式兩邊消去,得,兩邊除以,得代入式得由及式得,則,則數(shù)列是以為首項,以2為公比的等比數(shù)列,則,故。六、已知求,用作商法:。七、數(shù)學歸納法例6 已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:由及,得由此可猜測,往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。(1)當時,所以等式成立。(2)假設當時等式成立,即,則當時,由此可知,當時等式也成立。根據(jù)(1),(2)可知,等式對任何都成立。數(shù)列求和的常用方法:1、 (1)公式法:等差數(shù)列求和公式: 等比數(shù)列求和公式:自然數(shù)方冪和公式: 二、錯位

4、相減法求和:這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和,其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比;然后再將得到的新和式和原和式相減,轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和,這種方法就是錯位相減法。例 求和:()解:由題可知,的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積 (設制錯位)得 (錯位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得: 要考慮當公比x為值1時為特殊情況。三、倒序相加法求和:就是將一個數(shù)列倒過來排列,再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個.例:已知函數(shù),點、是函數(shù)圖象上的任意兩點,且線段的中點的坐標為。在數(shù)列中,若,求數(shù)列的前項和,  又令倒序得:得:評析:顯然,此題用倒序相加法的條件是函數(shù)具備的特殊性質(zhì):四、分組求和法:在直接運用公式法求和有困難時,常將“和式”中“同類項”先合并在一起,再運用公式法求和. 例:求數(shù)列的前n項和;分析:數(shù)列分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列,求和時一般用分組結(jié)合法;解 :因為,所以 (分組)前一個括號內(nèi)是一個等比數(shù)列的和,后一個括號內(nèi)是一個等差數(shù)列的和,因此 五、裂項相消法:果數(shù)列的通項可“分裂成兩項

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