第五屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評比活動(dòng)-《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(第一課時(shí))》(甘肅雒淑英)

1、 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué)雒淑英一、教材及學(xué)情分析本節(jié)課是全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）·數(shù)學(xué)（人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編著）第二冊（上）第八章第一節(jié)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第一課時(shí)。用一個(gè)平面去截一個(gè)對頂?shù)膱A錐，當(dāng)平面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當(dāng)時(shí)人們從純粹幾何學(xué)的觀點(diǎn)研究了這種與圓密切相關(guān)的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣。17世紀(jì)初期，笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，人們開始在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)方法研究圓錐曲線。在這

2、一章中，我們將繼續(xù)用坐標(biāo)法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質(zhì)，并用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實(shí)際問題，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。解析幾何是數(shù)學(xué)一個(gè)重要的分支,它溝通了數(shù)學(xué)中數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在第七章中學(xué)生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,并在平面直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓這兩個(gè)基本的幾何圖形，在第八章，教材利用三種圓錐曲線進(jìn)一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。由于教材以橢圓為重點(diǎn)說明了求方程、利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法,然后在雙曲線、拋物線的教學(xué)中應(yīng)用和鞏固，因此“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”起到了承上啟下的重要作

3、用。本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等。因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價(jià)值。根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用動(dòng)態(tài)作圖優(yōu)勢為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。二、教學(xué)目標(biāo)分析按照教學(xué)大綱的要求，根據(jù)教材分析和學(xué)情分析，確定如下教學(xué)目標(biāo)：1知識與技能目標(biāo)：理解橢圓的定義。掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學(xué)生的運(yùn)算能力。2過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過程，學(xué)習(xí)從具體實(shí)例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的歸納概括能力。鞏固用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思

4、想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生具有利用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題的意識3情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進(jìn)形成研究氛圍和合作意識重視知識的形成過程教學(xué)，讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過學(xué)習(xí)新知識體會到前人探索的艱辛過程與創(chuàng)新的樂趣通過對橢圓定義的嚴(yán)密化，培養(yǎng)學(xué)生形成扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)通過經(jīng)歷橢圓方程的化簡,增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美利用橢圓知識解決實(shí)際問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和知識的力量，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、坐標(biāo)化的基本思想難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

5、的推導(dǎo)與化簡，坐標(biāo)法的應(yīng)用關(guān)鍵：含有兩個(gè)根式的等式化簡四、教法分析新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者，使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。本節(jié)課采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，按照“創(chuàng)設(shè)情境學(xué)生實(shí)驗(yàn)意義建構(gòu)形成理論知識應(yīng)用回顧反思鞏固提高”的程序設(shè)計(jì)教學(xué)過程，并以多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境提出問題用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，截面為圓形當(dāng)端起水杯喝水時(shí)，水杯

6、傾斜，再觀察水平面，此時(shí)截面為橢圓形看來，橢圓是與圓有著密切關(guān)系的一種曲線圓是到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，根據(jù)圓的定義，用一根細(xì)繩就可畫出一個(gè)圓將細(xì)繩的一貫固定在黑板上，在另一端系上一支粉筆，將細(xì)繩繃緊并繞固定端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周即可將圓心從一點(diǎn)“分裂”成兩點(diǎn)，將細(xì)繩的兩端固定在這兩點(diǎn)，用粉筆挑起細(xì)繩并繃緊，移動(dòng)粉筆，可畫出什么圖形？設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣和探索欲望（二）學(xué)生實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)數(shù)學(xué)1學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐、觀察，猜想軌跡為橢圓2展示學(xué)生成果3動(dòng)態(tài)演示動(dòng)點(diǎn)生成軌跡的全過程，印證猜想4展示橢圓實(shí)際應(yīng)用的幻燈片5導(dǎo)出新課：看來，大家對橢圓并不陌生，但細(xì)想想，我們對橢圓也說不上有多熟悉，除了“她”的名

7、字和容貌，我們對“她”的品性幾乎還一無所知數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，我們不能滿足于直觀感受、淺嘗輒止，我們希望對橢圓有更深刻的認(rèn)識，比如：橢圓上所有的點(diǎn)所具有的共同的幾何特征是什么？橢圓的定義；能否用代數(shù)方法精確地刻畫出這種共同的幾何特征？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這就是我們這節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生實(shí)驗(yàn)中導(dǎo)出新課，明確研究課題（三）意義建構(gòu)感知數(shù)學(xué)橢圓定義的初步生成學(xué)生每2人一組，合作探究，教師巡視指導(dǎo)請學(xué)生代表本小組交流探究結(jié)論：根據(jù)橢圓畫法，從中歸納橢圓定義與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長（繩長）的點(diǎn)的軌跡為橢圓（繩長大于兩定點(diǎn)間距離）（四）形成理論建立數(shù)學(xué)1橢圓定義的完善提出問題：要想用上面那句話作為

8、橢圓的定義，要保證它足夠嚴(yán)密、經(jīng)得起推敲那么，這個(gè)常數(shù)可以是任意正實(shí)數(shù)嗎？有什么限制條件嗎？引導(dǎo)學(xué)生回答：在“定義”中需要加上“常數(shù)>”的限制。繼續(xù)深化問題：若常數(shù)=或常數(shù)<,情況會發(fā)生什么變化？應(yīng)用平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點(diǎn)之間線段最短”為理論依據(jù)，得出結(jié)論：當(dāng)常數(shù)=時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)常數(shù)<時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡不存在請學(xué)生給出經(jīng)過修改的橢圓定義，教師用幻燈片給出完善的橢圓定義，并介紹焦點(diǎn)、焦距的定義設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認(rèn)識，并逐漸養(yǎng)

9、成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)回顧用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：建系設(shè)點(diǎn)、寫出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何約束條件、坐標(biāo)化、化簡、證明等價(jià)性(2)建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建系設(shè)點(diǎn)：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？利用橢圓的對稱性特征以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)焦距為，則設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何約束條件: 坐標(biāo)化：化簡：化簡橢圓方程是本節(jié)課的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號預(yù)案一：移項(xiàng)后兩次平方法分析的幾何含義，令得到焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為第 4 頁 共 8 頁預(yù)案二：用等差數(shù)列法：設(shè) 得4cx=4at，即

10、t=將t=代入式得 將式兩邊平方得出結(jié)論。以下同預(yù)案一預(yù)案三：三角換元法：設(shè)得即即 代入式得以下同預(yù)案一 Http:/設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運(yùn)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神，感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美(3)建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又不想重復(fù)上述繁瑣的化簡過程，如何去做？此時(shí)要借助于化歸思想，抓住圖(1)與圖(2)的聯(lián)系即可化未知為已知，將已知的焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需將圖(1)沿直線翻折或?qū)D(1)繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)即可轉(zhuǎn)化成圖(2)，需將軸、軸的名稱換為

11、軸、軸或軸、軸 （1） （2）焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)計(jì)意圖：體會數(shù)學(xué)中的化歸思想，化未知為已知，避免重復(fù)勞動(dòng)(4)辨析焦點(diǎn)分別在軸、軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)區(qū)別：要判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，只需比較與項(xiàng)分母的大小即可若項(xiàng)分母大，則焦點(diǎn)在軸上；若項(xiàng)分母大，則焦點(diǎn)在軸上反之亦然聯(lián)系：它們都是二元二次方程，共同形式為 兩種情況中都有（五）數(shù)學(xué)應(yīng)用鞏固新知例1：判斷分別滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓（1）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）（2）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡；（不是）（3）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）（4）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡；（不是）探究一

12、：已知橢圓的方程為： ，則a_，b_，c_， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為：_ 、_，焦距等于_。如果曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為8，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離等于_。設(shè)計(jì)意圖：鞏固橢圓定義例2：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，橢圓上一點(diǎn)M到的距離之和為4，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程變式一：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，橢圓上一點(diǎn)M到的距離之和為4，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)計(jì)意圖：提醒學(xué)生在解題時(shí)先要根據(jù)焦點(diǎn)位置判斷使用哪種形式的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程變式二：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生體會橢圓定義在解題中的重要作用（六）回顧反思?xì)w納提煉1一個(gè)知識點(diǎn)：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程2兩種數(shù)學(xué)方法：用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程3三種數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、不怕困難的思想設(shè)計(jì)意圖：在總結(jié)時(shí)采用“一個(gè)知識點(diǎn)、兩種方法、三種思想”的方式，目標(biāo)明確，重點(diǎn)清晰，易于掌握所學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建知識鏈。（七）課后作業(yè)，鞏固提高1必做題：課本106頁習(xí)題811(2)，2，3（1），（2）2思