泛函分析講義(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三章 賦范空間3.1. 范數(shù)的概念“線性空間”強(qiáng)調(diào)元素之間的運(yùn)算關(guān)系，“度量空間”則強(qiáng)調(diào)元素之間的距離關(guān)系，兩者的共性在于：只研究元素之間的關(guān)系，不研究元素本身的屬性。為了求解算子方程，需要深入地了解函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，為此，我們不僅希望了解函數(shù)之間的運(yùn)算關(guān)系和距離關(guān)系，還希望了解函數(shù)本身的屬性。那么，究竟需要了解函數(shù)的什么屬性呢？3.1.1. 向量的長(zhǎng)度為了回答上述問(wèn)題，我們需要從最簡(jiǎn)單的函數(shù)空間歐氏空間中尋找靈感?；叵胍幌?，三維歐氏空間中的元素被稱為“向量”，向量最重要的兩大屬性是：長(zhǎng)度和方向，向量的許多重要性質(zhì)都是由其長(zhǎng)度和方向所決定的。這一章的任務(wù)就是將歐

2、氏空間中向量的長(zhǎng)度推廣為（以函數(shù)空間為原型的）一般線性空間中元素的廣義長(zhǎng)度，下一章的任務(wù)就是將歐氏空間中向量的方向推廣為（以函數(shù)空間為原型的）一般線性空間中元素的廣義方向?？梢韵胂螅浩湓鼐哂袕V義長(zhǎng)度和廣義方向的線性空間必將像歐氏空間那樣，呈現(xiàn)出豐富多彩的性質(zhì)，并且這些性質(zhì)必將有助于求解算子方程。圖3.1.1. 三維歐氏空間中向量的大小和方向矩陣論知識(shí)告訴我們：可以為歐氏空間中的向量賦予各種各樣的長(zhǎng)度，并且可以根據(jù)問(wèn)題需要來(lái)選擇最合適的向量長(zhǎng)度。實(shí)際上，可以在數(shù)域上的維歐式空間上定義向量的如下三種長(zhǎng)度（稱為“范數(shù)”）：l 2-范數(shù)（也稱為歐氏范數(shù)）：；l 1-范數(shù)：；l -范數(shù)：。 圖3.1.

3、2. 三種向量范數(shù)對(duì)應(yīng)的“單位圓” 圖3.1.3. “單位圓”集合的藝術(shù)形式 下一節(jié)將談到：就分析性質(zhì)而言，這三種向量范數(shù)沒(méi)有任何區(qū)別。我們注意到：通常將或中兩個(gè)向量之間的距離定義為兩者的差向量的長(zhǎng)度。由此可知：如果有了長(zhǎng)度的概念，就可以誘導(dǎo)出距離；反之則不然。因此，長(zhǎng)度是比距離更本質(zhì)的概念。3.1.2. 范數(shù)的定義我們希望將向量范數(shù)的概念推廣到（以函數(shù)空間為原型的）無(wú)限維線性空間的場(chǎng)合。定義3.1.1. 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是定義在上、取值為實(shí)數(shù)的函數(shù)。如果下列條件滿足：（1）正定性：對(duì)于任意，都有，并且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)；（2）正齊性：對(duì)于任意，都有；（3）三角不等式：；則稱是上的范數(shù)（n

4、orm）。稱賦予了范數(shù)的線性空間為賦范線性空間（normed linear space），或者簡(jiǎn)稱為賦范空間（normed space）。圖3.1.1. 三角不等式示意圖3.1.3. 常用的范數(shù)下面列出常用的賦范空間。例3.1.1：設(shè)是數(shù)域上的緊度量空間，用表示定義在上、在中取值的全體連續(xù)映射的集合?？梢栽谏隙x如下范數(shù)：對(duì)于，。例3.1.2：對(duì)于，可以在上定義如下范數(shù)：對(duì)于， 。例3.1.3：可以在上定義如下范數(shù)：對(duì)于， 。注釋：函數(shù)的1-范數(shù)、2-范數(shù)、-范數(shù)分別是向量的1-范數(shù)、2-范數(shù)、-范數(shù)的自然推廣。（為什么？）例3.1.4：對(duì)于，可以在上定義如下范數(shù)：對(duì)于，。例3.1.5：可以在

5、上定義如下范數(shù)：對(duì)于，。上述五種范數(shù)是泛函分析中最重要的范數(shù)，我們將其稱為標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)。例3.1.6：設(shè)是賦范線性空間，是的線性子空間，是范數(shù)在上的限制，則是上的范數(shù)。 上述例子表明：可以從較大的賦范線性空間出發(fā)，“從大到小”地構(gòu)造許許多多較小的賦范線性空間。例3.1.7：設(shè)和是同一個(gè)數(shù)域上的賦范線性空間，則在笛卡爾積上可以定義如下范數(shù)：對(duì)于任意，則是上的范數(shù)。上述例子表明：可以從較小的賦范線性空間出發(fā)，“從小到大”地構(gòu)造無(wú)窮無(wú)盡的賦范線性空間。范數(shù)就像靈魂一樣重要：有范數(shù)的元素就有了精氣神；反之，沒(méi)有范數(shù)的元素就像是孤魂野鬼，完全沒(méi)有實(shí)在感。3.2. 范數(shù)的基本性質(zhì)賦范線性空間具有許多獨(dú)特的性質(zhì)

6、，這些性質(zhì)在研究其分析性質(zhì)時(shí)特別有用。3.2.1. 范數(shù)誘導(dǎo)度量 一方面，賦范空間是線性空間。另一方面，下列定理告訴我們：賦范空間還是度量空間。因此，賦范空間是線性空間與度量空間的合體，是為求解算子方程而生的。定理3.2.1. 設(shè)是賦范空間，定義映射如下：對(duì)于任意，則是度量空間。以下稱該度量為范數(shù)誘導(dǎo)度量，稱相應(yīng)的度量空間為誘導(dǎo)度量空間。 下面列出常用的范數(shù)誘導(dǎo)度量。例3.2.1：可以用維向量空間上的2-范數(shù)誘導(dǎo)上的如下度量：對(duì)于任意，。例3.2.2：可以用例3.1.1中定義的范數(shù)誘導(dǎo)上的如下度量：對(duì)于任意， 。例3.2.3：對(duì)于，可以用上的范數(shù)誘導(dǎo)上的如下度量：對(duì)于任意， 。例3.2.4：對(duì)

7、于，可以用上的范數(shù)誘導(dǎo)上的如下度量：對(duì)于，。上述度量都是第二章最后一節(jié)介紹的標(biāo)準(zhǔn)度量，由此可見(jiàn)：范數(shù)與度量是緊密聯(lián)系在一起的。3.2.2. 極限運(yùn)算律賦范空間滿足下列極限運(yùn)算交換律。定理3.2.2：設(shè)是數(shù)域上的賦范空間，則下列性質(zhì)成立：（1）極限運(yùn)算-代數(shù)運(yùn)算交換律：設(shè)和是中的收斂序列，則。（2）極限運(yùn)算-范數(shù)運(yùn)算交換律：設(shè)是中的收斂序列，則。賦范空間的上述性質(zhì)使極限運(yùn)算變得十分便捷。3.2.3. 范數(shù)的等價(jià)性 我們知道，在同一個(gè)線性空間上可以賦予各種不同的范數(shù)。于是，就自然產(chǎn)生了如下問(wèn)題：賦范空間的分析性質(zhì)是否會(huì)隨著范數(shù)的改變而改變？為了回答上述問(wèn)題，我們希望將某個(gè)線性空間上的所有可能的范數(shù)

8、劃分為若干類，使得（a）來(lái)自同一類中的兩個(gè)范數(shù)對(duì)應(yīng)的賦范空間的分析性質(zhì)完全相同，（b）來(lái)自不同類中的兩個(gè)范數(shù)對(duì)應(yīng)的賦范空間的分析性質(zhì)不完全相同。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，數(shù)學(xué)家給出了如下定義。定義3.2.1. 設(shè)和是線性空間上的兩個(gè)范數(shù)。如果存在正數(shù)和，使得所有均滿足，則稱與等價(jià)。這個(gè)等價(jià)關(guān)系是標(biāo)準(zhǔn)的等價(jià)關(guān)系，即是同時(shí)滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性。按照這個(gè)等價(jià)關(guān)系，就可以將同一個(gè)線性空間上的所有范數(shù)分為若干等價(jià)類。下列定理表明：屬于同一等價(jià)類的兩個(gè)范數(shù)對(duì)應(yīng)的賦范空間的確具有完全相同的分析性質(zhì)。定理3.2.3. 設(shè)和是線性空間上的兩個(gè)等價(jià)范數(shù)。和分別表示由和誘導(dǎo)的度量。（1） 設(shè)是中的序列，則。（2） 設(shè)

9、是關(guān)于的Cauchy列是關(guān)于的Cauchy列。（3） 完備完備。3.2.4. 擴(kuò)張子空間為了求得線性算子方程的通解，我們希望從它的一組解出發(fā)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算產(chǎn)生它的全部解。為此，現(xiàn)引入如下定義。定義3.2.2. 設(shè)是賦范空間，是的非空子集，則的擴(kuò)張集定義為由的全體有限線性組合組成的集合的閉包，即是。由此可見(jiàn)，是由中元素通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算能夠產(chǎn)生的最大集合。擴(kuò)張集有下列重要性質(zhì)。定理3.2.4. 是的包含的、最小的閉線性子空間。3.2.5. Riesz引理Riesz引理是由匈牙利數(shù)學(xué)家Riesz（1880-1956）發(fā)現(xiàn)的，對(duì)揭示無(wú)限維賦范線性空間與有限維線性空間的本質(zhì)區(qū)別具有重要作

10、用。Riesz引理：設(shè)是賦范空間，是的閉線性真子空間，。則存在，使得（1），（2）對(duì)于所有的，都有。圖3.1.3. 匈牙利數(shù)學(xué)家Riesz3.3. 有限維賦范空間有限維線性空間是最簡(jiǎn)單的線性空間。實(shí)際上，根據(jù)定理2.1.2，有限維線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)完全清楚了。這一節(jié)的目的是研究有限維賦范空間的分析結(jié)構(gòu)?？梢詫⒂邢蘧S線性空間視為度量空間，理由如下：設(shè)是維線性空間，是的基，則可以定義上的如下范數(shù)：對(duì)于中任意元素，令。這樣定義的范數(shù)值將會(huì)隨著基的改變而改變。然而，我們有如下驚人的結(jié)論：定理3.3.1. 同一個(gè)有限維線性空間上的所有范數(shù)均等價(jià)。綜合定理3.2.3和3.3.1可知：有限維賦范線性空間

11、的分析性質(zhì)是完全確定的，不依賴于范數(shù)的選擇。因此在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)需要選擇合適的范數(shù)。對(duì)于有限維線性空間，我們還有如下進(jìn)一步的結(jié)論：定理3.3.2. 有限維賦范空間是完備的，即是說(shuō)其誘導(dǎo)度量空間是完備的。綜上所述，數(shù)域上的維線性空間與不僅具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，而且具有相同的分析性質(zhì)。實(shí)際上，矩陣論的一部分內(nèi)容，就是研究的分析性質(zhì)。最后，我們還有定理3.3.3. 賦范空間的有限維子空間是閉集。綜上所述，有限維賦范空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)和分析結(jié)構(gòu)都是十分簡(jiǎn)單的，是完全被人類所掌握。3.4. 無(wú)限維賦范空間3.4.1. 無(wú)限維的煩惱眾所周知，“無(wú)限”比“有限”要復(fù)雜得多。因此自然可以想象：無(wú)限維賦范空

12、間將失去有限維賦范空間的許多優(yōu)美性質(zhì)。實(shí)際上，我們有與定理3.3.1至定理3.3.3完全對(duì)立的下列結(jié)論。定理3.4.1. 同一個(gè)無(wú)限維線性空間上的某些范數(shù)不等價(jià)。定理3.4.2. 無(wú)限維賦范空間不一定是完備的。定理3.4.3. 賦范空間的無(wú)限維子空間不一定是閉集。 甚至對(duì)于無(wú)限維賦范空間而言，形如、之類的集合都不再是閉集，這極大地妨礙了極限運(yùn)算的實(shí)施?？磥?lái)，最一般的無(wú)限維賦范空間已經(jīng)超出了人類的認(rèn)知能力。3.4.2. Banach空間由于泛函分析的主要目的是求解算子方程，因此研究重點(diǎn)是完備的賦范空間。為了紀(jì)念波蘭數(shù)學(xué)家Banach在泛函分析領(lǐng)域的卓越貢獻(xiàn)，后人就將這類空間稱為Banach空間。定義3.4.1. 完備的賦范空間稱為Banach空間。圖3.4.1. 泛函分析之父，波蘭數(shù)學(xué)家Banach下面的實(shí)例充分表明：常用的賦范空間都具有完備性，都是Banach空間。例3.4.1. 有限維賦范空間是Banach空間。例3.4.2. 設(shè)是緊度量空間，則是Banach空