平面向量的概念及線性運(yùn)算練習(xí)題

1、 5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算、選擇題1.已知兩個(gè)非零向量 a, b 滿足|a+b|=|a b|，則下面結(jié)論正確的是（）A.a/ bB.a 丄 bC.0,1,3D.a+b=a b【解析一】由|尹血匸冷-乩 平方可得“冋所以江鬲故選E.【解析二】根據(jù)向壘加袪、誠(chéng)法的幾何意丈可知|刊|與|葉川分知対以向量&b為鄰邊勵(lì) 平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，因?yàn)槎L乩 所以康平行四邊形甘拒形，所以4瓦 故選B.答案 B2對(duì)于非零向量 a, b, “ a+ b= 0”是“ a /b”的（）.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若 a+ b= 0,則 a= b

2、. a / b；若 a / b,貝 U a=Xb, a+ b= 0 不一定成立.答案 A3.設(shè) P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC+ BA= 2BP,則（）.B.PC+ PA= 0D.PA+PBTPC=0答案 B4.已知向量 a=(X, 2) ,b= (3，- 1)，若(a+ b) / (a 2b)，則實(shí)數(shù) x 的值為()A. 3 B . 2C . 4D. 6A.PA+Pfe= 0C.PB+PC=0解析 如圖，根據(jù)向量加法的幾何意義,BC+ BA 匕 2BP? P 是 AC 的中點(diǎn),解析因?yàn)?a+ b) / (a 2b) , a+ b= (x + 3,1) , a 2b= (x 6,4)

3、, 4(x + 3) (x 6) 0, x= 6.答案 D5. 在四邊形 ABC中，AB=a+ 2b,BC=-4a b,Ct-5a 3b,則四邊形 ABCD的形狀是().A.矩形B.平行四邊形C.梯形D.以上都不對(duì)解析 由已知 At= AB+ BC+CD= 8a 2b = 2( 4a b) = 2BC At/ BC,又 AB 與 Ctf 平行，四邊形 ABCD 是梯形.答案 C6. 已知 ABC 和點(diǎn) M 滿足族祜呢 0,若存在實(shí)數(shù) m 使得 AB+ 屆 mX成立，則 ().A. 2B . 3C . 4D . 5解析Tlt+ MBMC= 0,A點(diǎn)皿是厶 ABC 的重心,二 AB+ AC= 3A

4、 二 m= 3.答案 B7.已知點(diǎn) OABC 外接圓的圓心，且OA+OB+CO=0,則厶 ABC 的內(nèi)角 A等于()A. 30.60D. 120解析：由OA+OB+CO= 0 得OA+OB=OCC. 90， 由 0 為厶 ABC 外接圓的圓心, 結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形 OACB菱形，且/ CA360.答案：A、填空題8.已知平面上不共線的四點(diǎn) O, A, B, C,若OA解析：由OA 3BA二2CB，于是國(guó)二2-OB+ 20C= 0,得答案：29.給出下列命題:1向量AB的長(zhǎng)度與向量sA 的長(zhǎng)度相等；2向量 a 與 b 平行，則 a 與 b 的方向相同或相反；3兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的

5、向量，其終點(diǎn)必相同；4兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；5向量 AB 與向量 Ct是共線向量，則點(diǎn)AB C D 必在同一條直線上.其中不正確的個(gè)數(shù)為_.解析中，向量AE 與 BA 為相反向量， 它們的長(zhǎng)度相等，此命題正確.2中若 a 或 b 為零向量，則滿足 a 與 b 平行，但 a 與 b 的方向不一定相同或相反，此命題錯(cuò)誤.3由相等向量的定義知，若兩向量為相等向量，且起點(diǎn)相同，則其終點(diǎn)也必定相 同，.該命題正確.4由共線向量知，若兩個(gè)向量?jī)H有相同的終點(diǎn)，則不一定共線，.該命題錯(cuò)誤.5共線向量是方向相同或相反的向量，.若 AB 與 CD1 共線向量，則 A，B，C, D 四點(diǎn)不一定在一條

6、直線上，二該命題錯(cuò)誤.答案 310. 已知向量a,b夾角為45，且a l/tJ10；則_.”丄 |一 =麗 0(2一斎=10 0 4+1* 行 cm 亦=100=3 邁 解析I 丨答案3J23i11.若 MABC 內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 AU 4AB+ AC,則厶 ABC 的面積之比為_.解析 由題知 B M C 三點(diǎn)共線，設(shè) BU 入 BC 貝 U： AM-AB=入(AC-AB， AM=（1-入）AB+入 ACSAABM1SAABC4答案 14入14,112若點(diǎn) 0 是 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|OB-OC= |霽OC-2OA，則 ABC 的形狀為_.解析 (等價(jià)轉(zhuǎn)化法)0并OC- 2OA=

7、OB- OA 0C-百AAB+ AC,OB- 0C= CB= AB- AC,/. | Afe+ AC=| AB- AC|.故 A, B, C 為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)， ABC 為直角三角形.答案直角三角形【點(diǎn)評(píng)】 本題采用的是等價(jià)轉(zhuǎn)化法，將 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化到相應(yīng)矩形中， 從而判斷三角形形狀.本題也可用兩邊平方展開得出結(jié)論.三、解答題13如圖所示， ABC 中, AA|AB, DE/ BC 交 AC 于 E, AM 是 BC 邊上的中線，交 DE 于 N 設(shè) AB= a , AC= b,用 a, b 分別表示向量O O O OAM AN221解析=|b,=b-a,走|(b-a), DN= |(

8、b-a),14設(shè) a, b 是兩個(gè)不共線的非零向量，若 a 與 b 起點(diǎn)相同，t R, t 為何值時(shí),1a, tb, |(a+ b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上？1解析 設(shè) a t bXa | a + b (X R),2 1化簡(jiǎn)整理得|X- 1 a+ t |Xb 0, a 與 b 不共線，.由平面向量基本定理有233 入-1 ，入2,12.1 1故 t = 2 時(shí)，a, t b, 3(a+ b)的終點(diǎn)在一條直線上.15.如圖所示，在厶 ABC 中, D、F 分別是 BC AC 的中點(diǎn),=3AD,AB= a,AC用 a, b 表示向量AD、AE、AF、BE、BF; 求證：B、E、F 三點(diǎn)共線.解析：

9、延長(zhǎng) AD 到 G,使AD=1AG,連結(jié) BG CG 得到？ABGC所以AG a+ b,AD1AGAE2ADAC-為，二 2(a+b),二 3(a+ b)，BEAEAB1(a+ b) a 3(b 2a),BF=AF-TB=2b-a2(b2a). 證明：由可知BE2BF,所以 B、E、F 三點(diǎn)共線.16.已知 O, A, B 三點(diǎn)不共線，且 OP mid+ nOB (m, n F).若 m+ n1,求證：A, P, B 三點(diǎn)共線；若 A, P, B 三點(diǎn)共線，求證：n 1.證明m n R,且仲 n= 1, OP=m6/Vn6B= mO/V（1n）OB,即 OP OB= n（OA O,.mA 而 BA 子 0,且 m R.故 BP 與 BA 共線，又BP, BA 有公共點(diǎn) B. A, P, B 三點(diǎn)共線. 若 A, P, B 三點(diǎn)共線，