5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、2011.04.30必修五 2.5 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和第1頁(yè)共 5 頁(yè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)目標(biāo)：掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路； 會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān) 等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。重點(diǎn)、難點(diǎn)：等比 數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)，靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問(wèn)題國(guó)際象棋起源于印度，相傳國(guó)王要獎(jiǎng)勵(lì)國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他想要什么，發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第第1格放1粒麥，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，以后每格是前一格粒數(shù)的2倍。國(guó)王覺(jué)得這個(gè)要求不高，答應(yīng)了。如果千粒重40克，目前世界年度小麥產(chǎn)量6億噸，判斷國(guó)王能滿(mǎn)足他的要求嗎？如果把各格所放的麥粒數(shù)看成是一個(gè)數(shù)列，我們可以得到

2、一個(gè)等比數(shù)列，它的首項(xiàng)是1,公比是2,求第一個(gè)格子 到第64個(gè)格子各格所放的麥粒數(shù)總合就是求這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和。般地，設(shè)等比數(shù)列a!,a2,a3, an它的前n項(xiàng)和是Sna!a2a3an根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ann 1ae，上式可以寫(xiě)成Sna1ae2aqn 2aqn 1兩邊乘公比q，可得qSnag2aq3aqn 1a1兩式相減，得(1q)Sna1nag當(dāng)q 1時(shí)，Sna1(11qn)q(q 1)，因?yàn)閍naN1a1anq，有Sn1 n(q 1)1 q例1 (1)求等比數(shù)列的丄,丄，丄，丄前8項(xiàng)和.2 4 8 161111求等比數(shù)列的一,一,一，一前n項(xiàng)和2 4 8 16當(dāng)q=1時(shí)，Sn

3、na1有了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，就可以解決剛才的問(wèn)題。由a11,q2,n64可得Sn印(1 qn)=1 (1 264)“64.= =2 1。1 q1 21.84 1019。國(guó)王不能實(shí)現(xiàn)他的諾言。這個(gè)數(shù)很大，超過(guò)了例2某商場(chǎng)今年銷(xiāo)售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果平均每年的銷(xiāo)售量比上一年的銷(xiāo)售量增加10%那么從1 11 1求等比數(shù)列的一，一，一，丄前n項(xiàng)和2 48 16(4)a1=27,a9=1/243,q2)的運(yùn)用，然后回答定義.得SnSn-1=kankan-1(n2)Sn1= 1+ kan-1(常數(shù))(n2),kan是公比為的等比數(shù)列.k 1(2)解：.S1=a1=1+ka1, a1=)nkn1(n

4、r1k21解： an中a1=,q=,an為首項(xiàng)為( -1k k 1k-)11當(dāng)k=1時(shí)，等比數(shù)列an2的首項(xiàng)為一，公比為41.222- a1+a2+an=2,公比為(止)2的等比數(shù)列.k 1A (1)n2=44114(丄)n4評(píng)述:S3+S= 2S9，求數(shù)列的公比q;已知S是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列， 求證：a2,a8,a5成等差數(shù)列.分析： 由題意可得Ss+S=2S,要證a2,a8,as成等差數(shù)列，只要證a2+a5=2a&即可.證明：TS3,S9,S6成等差數(shù)列，S3+S6= 2S若q=1,貝US3=3ai,Se=6ai,S9=9ai，由等比數(shù)列中，ai豐0

5、得S3+S5M2S),與題設(shè)矛盾q豐1, 369ai(1 q)ai(1 q )ai(1 q)日a1(1 q3) a1(i q6) 2a1(1 q9)S3,S6,S91 q1 q1 q1 q 1 q1 q整理得q3+q6=2q9，由qz0得1+q3=2q6又/a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3),a2+a5=a1q2q6=2a1q7=2a8,a2,a8,a5成等差數(shù)列.例6設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分別求出an及bn的前10項(xiàng) 的和S10及0。例7設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a,2a2,3a3,，na：的前n項(xiàng)和；1(1)a=0時(shí)，S=

6、0; (2)a豐0時(shí)，若a=1，則Sn=1+2+3+n=n(n 1)2若az1,S-aSn=a(1+a+an-1-nan),Sn=a_1 (n1)annan 1(1 a)例8求數(shù)列2X2,3X3,4X4,nxn,的前n項(xiàng)和.分析：可以通過(guò)錯(cuò)位相減的方法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題解：(1)當(dāng)X=0時(shí)，Sn=0.1(2)當(dāng)X=1時(shí)，S=2+3+4+(n+1)=n(n+3).2(3)當(dāng)Xz1時(shí)，S=2x2+3x3+4x4+(n+1)Xn+1345n+1n+2廠(chǎng)、xSn=2x+3x+4x +nx +(n+1)X一得：(1X)S=2x2+x3+x4+ n+1X(n+1)X3 “n+2 2X (1=2X+1

7、n 1 X )X(n+1)Xn+2U2X2 Sn=3X(n 2)xn 2(1 x)2(nn 31)X又當(dāng)X=1時(shí)，Sn=0適合】n(n2 s=23)(X1)3X(n 2)xn2(nn 31)X(X 1)(1 x)2例9 (1)國(guó)家汽車(chē)產(chǎn)業(yè)振興規(guī)劃的政策極大地刺激了小排量汽車(chē)的銷(xiāo)售，據(jù)分析預(yù)測(cè)，某地今年小排量Z型車(chē)每月的銷(xiāo)量將以10%勺增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，小排量R型車(chē)的銷(xiāo)量每月遞增20輛，已知該地今年1月份 銷(xiāo)售Z型車(chē)和R型車(chē)均為60輛，據(jù)此推測(cè)，該地今年這兩款車(chē)的銷(xiāo)售總量能否超過(guò)3000輛？(參考數(shù)據(jù)：1.1 =3.1)解：設(shè)該地今年第n月Z型車(chē)和R型車(chē)的銷(xiāo)量分別為an輛和bn輛.依題意an，bn分別

8、是a1=60,2011.04.30必修五 2.5 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和第 4 頁(yè)共 5 頁(yè)2011.04.30必修五 2.5 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和第9頁(yè)共 5 頁(yè)公比q=1.1的等比數(shù)列，和bi=60,公差d=20的等差數(shù)列，設(shè)an的前n項(xiàng)和為0bn的的前n項(xiàng)和為T(mén)n,260 1212(121)2綜上所述：可推測(cè)該地區(qū)今年這兩款車(chē)的總銷(xiāo)量能超過(guò)3000輛(2)一個(gè)球應(yīng)從100米高處自由下落，每次著地后又跳回到原高度的一半落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，共經(jīng) 過(guò)了多少米？思維分析：數(shù)列建模過(guò)程中，關(guān)鍵是建立遞推關(guān)系式，然而求出解：球第一次著地時(shí)經(jīng)過(guò)了100米，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)，一上一下共經(jīng)過(guò)了2100100米2因此球第十次著地時(shí)共經(jīng)過(guò)的路程為100 100100100丁222100281001100 -119(訥2300米2(3)一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲(chǔ)蓄a元，一年定期，若年利潤(rùn)率為r，保持不變，且每年到期時(shí)，存款(含利息)自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩 子18歲上大學(xué)時(shí)，將所有存款(含利息)全部取回，則取回總錢(qián)數(shù)為多少？S, S121