向量點(diǎn)乘內(nèi)積和叉乘外積向量積概念及幾何意義解讀

1、For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use概念向量是由 n 個(gè)實(shí)數(shù)組成的一個(gè) n 行 1 列（n*1）或一個(gè) 1 行 n 列（1*n）的有序數(shù) 組；向量的點(diǎn)乘，也叫向量的內(nèi)積、數(shù)量積，對(duì)兩個(gè)向量執(zhí)行點(diǎn)乘運(yùn)算，就是對(duì)這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)位一一相乘之后求和的操作，點(diǎn)乘的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量。點(diǎn)乘公式對(duì)于向量 a 和向量 b：3 = 0】衛(wèi)2勺a 和 b 的點(diǎn)積公式為：+a2b2+.+aJ

2、）n要求一維向量 a 和向量 b 的行列數(shù)相同。點(diǎn)乘幾何意義點(diǎn)乘的幾何意義是可以用來表征或計(jì)算兩個(gè)向量之間的夾角，以及在b 向量在 a向量方向上的投影，有公式：ab = a bcos6?推導(dǎo)過程如下，首先看一下向量組成：b = bb2.bn c =a-b定義向量:根據(jù)三角形余弦定理有：c2a1-b22a b cos0根據(jù)關(guān)系 c=a-b （a、b、c 均為向量）有:(a-b) = a +b2-2a h = a1+b 2a b cos0即:a b = a b cos0向量 a, b 的長度都是可以計(jì)算的已知量，從而有 a 和 b 間的夾角 0：6= arccos(-a &根據(jù)這個(gè)公式就可

3、以計(jì)算向量 a 和向量 b 之間的夾角。從而就可以進(jìn)一步判斷這 兩個(gè)向量是否是同一方向，是否正交（也就是垂直）等方向關(guān)系，具體對(duì)應(yīng)關(guān)系為:ab0 方向基本相同，夾角在 0到 90 之間a b=0正交，相互垂直a b0方向基本相反，夾角在 90到 180之間叉乘公式兩個(gè)向量的叉乘，又叫向量積、外積、叉積，叉乘的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)向量而不是一個(gè)標(biāo)量。并且兩個(gè)向量的叉積與這兩個(gè)向量組成的坐標(biāo)平面垂直。對(duì)于向量 a 和向量 b：a = (xyl7z)b =(心己，勺)a 和 b 的叉乘公式為：i J kaxb =兀X石 心y2z2=(yxz2一y2z一(xxz2一x2z)J + (xy2一x2yx)k其中

4、:i =(1 AO) j = 5 k = (0 A1)根據(jù) i、j、k 間關(guān)系，有：axb = (y1z2-y2zf-U,z2-x2z xy2-x2y叉乘幾何意義在三維幾何中，向量 a 和向量 b 的叉乘結(jié)果是一個(gè)向量，更為熟知的叫法是法向 量，該向量垂直于 a 和 b 向量構(gòu)成的平面。在 3D 圖像學(xué)中，叉乘的概念非常有用，可以通過兩個(gè)向量的叉乘，生成第三個(gè) 垂直于 a，b的法向量，從而構(gòu)建 X、丫、Z 坐標(biāo)系。如下圖所示：在二維空間中，叉乘還有另外一個(gè)幾何意義就是：aXb 等于由向量 a 和向量 b 構(gòu) 成的平行四邊形的面積。以下無正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For per

5、sonal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.以下無正文UCnO員B30BaTbCEBKOMMepqeckuxue貝EX.TO員BKOgA.nrogeHKO TOp

6、Menob3ymrnflCH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHM以下無正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.以下無正文Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.T