lry-偏微分方程的推導(dǎo)課件

1、lry-偏微分方程的推導(dǎo)1第第2章章 偏微分方程偏微分方程2.1引言引言lry-偏微分方程的推導(dǎo)2n方程的階數(shù)：方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。n線性方程：方程經(jīng)過(guò)有理化并消去分式后，若方程中沒(méi)有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng)。n非線性方程：方程經(jīng)過(guò)有理化并消去分式后，若方程中有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng)。n擬線性方程：在非線性方程中，若僅對(duì)未知函數(shù)的所有最高階導(dǎo)數(shù)是線性的。lry-偏微分方程的推導(dǎo)3n自由項(xiàng)：在線性方程中，不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)。n齊次方程：自由項(xiàng)為零。n非齊次方程：自由項(xiàng)不為零。222222222( , )( , )( , )( , )()0( , )

2、zza x yb x yc x yxyuua x yxyuuf x yxy一階、線性、非齊次二階、擬線性、齊次二階、非線性、非齊次lry-偏微分方程的推導(dǎo)4在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函數(shù)。2222222222()0(),sin(),4 ()cos()xyzf xyyzxzfzxyzxyzxyxy是的通解，其中 是任意函數(shù)。如：都是該方程的特解。22222222,cos ,ln()0 xuuuxy uey uxyxy都滿足：22cos ,sinttuuuex uextx都是方程的通解。lry-偏微分方程的推導(dǎo)5結(jié)論：n偏微分方程的通解包含有任意函數(shù)，或者說(shuō)其通解形式是不確定的。 因此

3、解偏微分方程，一般不是先求通解，后由定解條件確定特解（只有少數(shù)情況例外），而是直接求特解。n一個(gè)特定形式的偏微分方程可以描述許多物理現(xiàn)象的共性規(guī)律，它可以有很多不同形式的特解。所以可稱為泛定方程。lry-偏微分方程的推導(dǎo)62.2二階偏微分方程的分類( , )( , , ,)0 xyxxxyyyu x yF x y u u u uuu只討論兩個(gè)自變量的二階線性方程。若未知函數(shù)與它的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)存在關(guān)系式：22222,20, , , , ,xyxxxyyyxxxyyyxyuuuuuuuuuuxyxx yyAuBuCuDuEuGufA B C D E G fx y 其中：具體表示為：若都只是的函

4、數(shù) 則上式稱為線性二階偏微分方程。( , )( , )0ff x yf x y若系數(shù)為常數(shù)，則稱為常系數(shù)線性二階方程，其中為已知函數(shù)，即自由項(xiàng)。當(dāng)，方程為齊次的，反之為非齊次方程。lry-偏微分方程的推導(dǎo)72, ,( , )10,0 xxxyA B CMM x yMBACuu方程中系數(shù)的取值決定二階線性方程的分類：為方程中自變量域內(nèi)的任意一點(diǎn)。（)若在點(diǎn)有：則方程在該點(diǎn)處為雙曲線型的。例如：220,0yxxMBACuu（ )若在點(diǎn) 有：則方程在該點(diǎn)處為拋物線型的。例如：230,0 xxyyMBACuu（ )若在點(diǎn)有：則方程在該點(diǎn)處為橢圓型的。例如：lry-偏微分方程的推導(dǎo)8, ,A B Cx

5、yM由于可以是的函數(shù) 所以同一方程，對(duì)于不同區(qū)域的點(diǎn)可以是不同類型的方程。2200 xxyyxyxuyuyuxuBACxyxy 例如：000 xyxyxy當(dāng)時(shí)，雙曲線型；當(dāng)時(shí)，拋物線型；當(dāng)時(shí)，橢圓型。lry-偏微分方程的推導(dǎo)922() () 0 ttxxyyzztxxyyzzxxyyzzua uuuua uuuuuu雙曲線型：波動(dòng)方程拋物線型：熱傳導(dǎo)方程橢圓型：拉普拉斯方程或穩(wěn)態(tài)方程lry-偏微分方程的推導(dǎo)102.3 基本方程的導(dǎo)出基本方程的導(dǎo)出泛定方程的建立也就是把物理規(guī)律泛定方程的建立也就是把物理規(guī)律“翻譯翻譯”成數(shù)學(xué)物理方程。成數(shù)學(xué)物理方程。微元法：微元法：先選擇表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量

6、，再任取體系中的先選擇表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，再任取體系中的一個(gè)小部分，分析這一部分所受的作用，以及它在物理規(guī)律的一個(gè)小部分，分析這一部分所受的作用，以及它在物理規(guī)律的支配下所引起的運(yùn)動(dòng)變化情況，導(dǎo)出泛定方程。支配下所引起的運(yùn)動(dòng)變化情況，導(dǎo)出泛定方程。一、弦的橫振動(dòng)方程一、弦的橫振動(dòng)方程幾個(gè)條件：幾個(gè)條件： 均勻細(xì)繩：均勻細(xì)繩：為常數(shù)，作為一維空間來(lái)處理（細(xì)繩）；為常數(shù)，作為一維空間來(lái)處理（細(xì)繩）； 輕繩：輕繩：忽略重力影響；忽略重力影響； 柔軟：柔軟：橫截面方向上無(wú)應(yīng)力（無(wú)切變力），張力沿弦切線；橫截面方向上無(wú)應(yīng)力（無(wú)切變力），張力沿弦切線； 微小振動(dòng)：微小振動(dòng)：弦切線與弦切線與x軸夾角軸

7、夾角0 0或或 ； 橫向振動(dòng)：橫向振動(dòng)：弦上各點(diǎn)的振動(dòng)方向垂直于振動(dòng)的傳播方向弦上各點(diǎn)的振動(dòng)方向垂直于振動(dòng)的傳播方向.lry-偏微分方程的推導(dǎo)1112dxduds1T2Tx,u x txux dxu設(shè)弦的平衡狀態(tài)沿設(shè)弦的平衡狀態(tài)沿x方向，且在同一平方向，且在同一平面振動(dòng)面振動(dòng).2211coscos0 xTT 方方向向：由于是微振動(dòng)：由于是微振動(dòng)：120, 0, 2411112cos124cos1, cos1, ！略略去去高高于于一一次次方方的的各各就就有有同同理理210TT 21TTT lry-偏微分方程的推導(dǎo)12根據(jù)牛頓第二定律：根據(jù)牛頓第二定律：222112usinsinguTTdsdst

8、 方方向向：11222( , )(, ) sin, sin1tgu x tu xdx ttgtgxxtg 22(, )( , )u xdx tu x tuTgdxdxxxt21udsdxdxx 120, 0, 22(, )( , )( , )( , )u xdx tu x tu x tu x tdxdxxxxxx lry-偏微分方程的推導(dǎo)13222222( , )ux tuTg dxdxxtugt 弦弦振振速速度度化化很很快快，即即2222uuTdxdxxt 22220uTutx 222220,uutx T 令令弦的自由橫振動(dòng)方程弦的自由橫振動(dòng)方程2ttxxu -a u= 0或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑簂

9、ry-偏微分方程的推導(dǎo)14受迫振動(dòng)情況：受迫振動(dòng)情況：12dxduds1T2T,u x txux dxuFdx力密度力密度F (x,t)：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的弦所受的橫向外力單位長(zhǎng)度的弦所受的橫向外力. 2212,x dxxuuuTTF x t dxdxxxt 2222,uuTdxF x t dxdxxt lry-偏微分方程的推導(dǎo)15 2222,F x tuTutx 2222,uTufx ttx ,F x tfx t 單位質(zhì)量的單位質(zhì)量的弦所受的橫弦所受的橫向外力向外力f(x,t)u與無(wú) 關(guān) ,稱 為 自 由 項(xiàng) 。包 含 有 非 零 自 由 項(xiàng) 的 方 程 稱 為 非 齊 次 方 程 。自 由 項(xiàng) 恒

10、 等 于 零 的 方 程 稱 為 齊 次 方 程 。lry-偏微分方程的推導(dǎo)16（二）熱傳導(dǎo)方程（二）熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)：熱傳導(dǎo)：由于溫度不均勻，熱量從溫度高向溫度低的由于溫度不均勻，熱量從溫度高向溫度低的地方轉(zhuǎn)移地方轉(zhuǎn)移.熱流通量：熱流通量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積的熱量單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積的熱量.實(shí)驗(yàn)結(jié)果：實(shí)驗(yàn)結(jié)果： qk u ijkxyz 哈密頓算符哈密頓算符k導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)uuuqk ukikjkkxyz , , .xyzuuuqkqkqkxyz lry-偏微分方程的推導(dǎo)17 , , ,u x y z t為系統(tǒng)（為系統(tǒng)（x,y,z）點(diǎn)在）點(diǎn)在t時(shí)的溫度時(shí)的溫度xyz, ,x y

11、 z,xdx ydy zdzdzdxdyxxdxxxqxx dxqo單位時(shí)間沿單位時(shí)間沿x方向流入小六面體的熱量：方向流入小六面體的熱量：,xxxuqdydzkdydzx 單位時(shí)間沿單位時(shí)間沿x方向流出小六面體的熱量：方向流出小六面體的熱量：,xx dxx dxuqdydzkdydzx 單位時(shí)間沿單位時(shí)間沿x方向凈流入小六面體的熱量：方向凈流入小六面體的熱量：xx dxuuukdydzkdydzkdxdydzxxxx lry-偏微分方程的推導(dǎo)18, uukdxdydzkdxdydzyyzz同理，單位時(shí)間內(nèi)沿同理，單位時(shí)間內(nèi)沿y, z方向凈流入小六面體的熱量方向凈流入小六面體的熱量分別是：分別是

12、： uuukdxdydzkdxdydzkdxdydzxxyyzz 單位時(shí)間內(nèi)沿單位時(shí)間內(nèi)沿x, y, z方向凈流入小六面體的總熱量分方向凈流入小六面體的總熱量分別是別是:lry-偏微分方程的推導(dǎo)19單位時(shí)間內(nèi)小六面體熱量的增加是單位時(shí)間內(nèi)小六面體熱量的增加是:ucdxdydztt uuuuc dxdydzkdxdydzkdxdydzkdxdydztxxyyzz 1110uuuukkktcxxcyyczz 2222220ukuuutcxyz 在各向同性條件下：在各向同性條件下：lry-偏微分方程的推導(dǎo)2022222220,uuuutxyz kc 溫度傳導(dǎo)系數(shù)溫度傳導(dǎo)系數(shù)或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?0tuu

13、 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程一維空間：一維空間：20txxuu 二維空間：二維空間： 20txxyyuuu lry-偏微分方程的推導(dǎo)21 討論：討論：1、有熱源存在情況下、有熱源存在情況下.熱源強(qiáng)度熱源強(qiáng)度F (x,y,z,t)：?jiǎn)挝粫r(shí)間單位體積熱源放出的熱量。單位時(shí)間單位體積熱源放出的熱量。 , , ,uuuuc dxdydzkkkdxdydz F x y z t dxdydztxxyyzz 2222222, , ,F x y z tuuuutxyzc 2222222, , ,uuuufx y z ttxyz , , , , ,F x y z tfx y z tc 其其中中：f 0稱為熱源，稱為熱

14、源，f 0稱為熱匯稱為熱匯.lry-偏微分方程的推導(dǎo)222、穩(wěn)定的溫度分布、穩(wěn)定的溫度分布. , , 0,uuu x y zt 2fu 0u 泊松方程泊松方程拉普拉斯方程（拉普拉斯方程（f = 0）222222 xyz 其其中中拉拉普普拉拉斯斯算算子子lry-偏微分方程的推導(dǎo)232.4 數(shù)理方程的定解條件數(shù)理方程的定解條件一、初始條件一、初始條件初始條件：初始條件：給出某一初始時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)的已知條件給出某一初始時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)的已知條件 00, , 0tttu x txu x txxl 1、傳遞過(guò)程（擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)）、傳遞過(guò)程（擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)） 0, , , , , ,tu x y z tx y zx

15、 y zv 熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）問(wèn)題只須給出整個(gè)系統(tǒng)的初始溫度（濃度）分熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）問(wèn)題只須給出整個(gè)系統(tǒng)的初始溫度（濃度）分布，而振動(dòng)問(wèn)題必須給出整個(gè)系統(tǒng)的初始位移何初始速度。布，而振動(dòng)問(wèn)題必須給出整個(gè)系統(tǒng)的初始位移何初始速度。2、振動(dòng)過(guò)程（弦、桿的振動(dòng)）、振動(dòng)過(guò)程（弦、桿的振動(dòng)）從數(shù)學(xué)上來(lái)看，振動(dòng)方程中從數(shù)學(xué)上來(lái)看，振動(dòng)方程中u對(duì)時(shí)間求二次導(dǎo)數(shù)，而傳遞問(wèn)題對(duì)時(shí)間求二次導(dǎo)數(shù)，而傳遞問(wèn)題中中u或或N只對(duì)時(shí)間一次導(dǎo)數(shù)。只對(duì)時(shí)間一次導(dǎo)數(shù)。lry-偏微分方程的推導(dǎo)24（二）邊界條件（二）邊界條件邊界條件：邊界條件：給出系統(tǒng)的邊界在各個(gè)時(shí)刻的已知狀態(tài)給出系統(tǒng)的邊界在各個(gè)時(shí)刻的已知狀態(tài)1、第一類邊界條件：、第

16、一類邊界條件：給出邊界上給出邊界上u的值，的值，1）弦的橫振動(dòng)）弦的橫振動(dòng) 兩端固定兩端固定 0,0 0 xlu x tt x = 0端位移狀態(tài)已知端位移狀態(tài)已知 0, 0 xu x tf tt 2）桿的熱傳導(dǎo)）桿的熱傳導(dǎo) 兩端處于恒溫兩端處于恒溫uo 0, 0 .oxluut 兩端的溫度變化已知兩端的溫度變化已知 120, , 0 .xx luftuftt 總之，這類邊界條件直接規(guī)定了邊界上的數(shù)值（可以是隨時(shí)間總之，這類邊界條件直接規(guī)定了邊界上的數(shù)值（可以是隨時(shí)間變化的數(shù)值）變化的數(shù)值）.(, )( , )Mu M tf s t(, )( , )Mu M tf s tlry-偏微分方程的推導(dǎo)

17、2500 xuTx 2、第二類邊界條件：、第二類邊界條件：給出邊界上給出邊界上u的梯度值，的梯度值，(, )Muf M tn 1）桿的縱振動(dòng)（兩端自由）桿的縱振動(dòng)（兩端自由）00,x=ux 2）桿的熱傳導(dǎo)（兩端絕熱）桿的熱傳導(dǎo)（兩端絕熱）x = 0，單位時(shí)間內(nèi)流出小薄層的熱量為：，單位時(shí)間內(nèi)流出小薄層的熱量為：xxuqSkSx o lxxxq xx lq lo ll xxxYSu xx lYSu 0 x=lux 同同理理lry-偏微分方程的推導(dǎo)26000,x=uqx 令令：，得得 0 .t x lukSq Sx xl 在在端端，00,x=luqx 令令：，得得 0 .t 00 x=lux ，

18、0 .t 合并寫成：合并寫成：桿的熱傳導(dǎo)（兩端有熱流強(qiáng)度為桿的熱傳導(dǎo)（兩端有熱流強(qiáng)度為f (t)的熱流流出）的熱流流出）在在x = 0 端端 xukSftSx o lxxxq xx lq llry-偏微分方程的推導(dǎo)27 0,x=f tuxk 得得 0 .t 在在x = l 端端 x lukSf tSx ,x=lf tuxk 得得 0 .t 合并寫成：合并寫成： 0,x=lf tunk 0 .t 3、第三類邊界條件：、第三類邊界條件： nuhu 在這類邊界條件，即不直接規(guī)定邊界上的數(shù)值，也不直接規(guī)定在這類邊界條件，即不直接規(guī)定邊界上的數(shù)值，也不直接規(guī)定邊界上法向?qū)?shù)的數(shù)值，而是規(guī)定它們之間的某個(gè)

19、線性關(guān)系。邊界上法向?qū)?shù)的數(shù)值，而是規(guī)定它們之間的某個(gè)線性關(guān)系。xo lxxq xx lq l f t f tlry-偏微分方程的推導(dǎo)28桿的熱傳導(dǎo)（兩端按牛頓冷卻定律與外界進(jìn)行熱交換）桿的熱傳導(dǎo)（兩端按牛頓冷卻定律與外界進(jìn)行熱交換）牛頓冷卻定律：牛頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積與外界熱交換流單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積與外界熱交換流出的熱量為出的熱量為 ，H 牛頓冷卻系數(shù)，牛頓冷卻系數(shù)，u 系統(tǒng)邊界的溫度，系統(tǒng)邊界的溫度， 外界的溫度外界的溫度. Hu 0,x=ukHuHx 得得 0 .t 0,x=uhuhx ,Hhk 令令： 0 .t 0 xxukSH uSx 在在x = 0 端端

20、f tH u 將熱流強(qiáng)度將熱流強(qiáng)度f(wàn) (t)寫成牛頓冷卻定律寫成牛頓冷卻定律:xo lxxq xx lq l f t f tlry-偏微分方程的推導(dǎo)29在在x = l 端端 .x lx lukSH uSx 0,x=uhuhx 得得 0 .t 0 .t 0,x=luhuhn 合并寫成：合并寫成：齊次的邊界條件齊次的邊界條件給出的上述的值為零，則稱為是齊次的邊條件，即給出的上述的值為零，則稱為是齊次的邊條件，即f (t) =0.lry-偏微分方程的推導(dǎo)30220(4)4,( , )( )4( )AraAAraCCVa N Dtrra C a tCtaCCtN DdtVr 積分微分邊界條件lry-偏微分方程的推導(dǎo)3121111121122222222211221212112(5)1() 1() ( , 0)( )( , 0)( )