第2章 2.1.1 第1課時　歸納推理

1、教育精選2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理第1課時歸納推理1.了解歸納推理的含義，能用歸納推理進(jìn)行簡單的推理.(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.體會歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用，歸納推理結(jié)論的真假.(易錯點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理歸納推理閱讀教材P31P33“練習(xí)”以上部分，完成下列問題.1.推理從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理.2.歸納推理的特點(diǎn)(1)歸納推理的定義 ：從個別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理.(2)歸納推理的思維過程如圖：.3.歸納推理(1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的

2、范圍.(2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn).(3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.1.判斷正誤：(1)由個別到一般的推理為歸納推理.()(2)由歸納推理得出的結(jié)論一定正確.()(3)從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，這種估計(jì)屬于歸納推理.()【答案】(1)(2)×(3)2.如圖2­1­1所示，第n個圖形中，小正六邊形的個數(shù)為_. 【導(dǎo)學(xué)號：97220009】圖2­1­1【解析】a17，a27512，a312517，an75(n-1)5n2.【答案】5n2質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑

3、問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型數(shù)與式的歸納(1)已知2·，3·，4·，2014·，則_.(2)觀察下列等式：123nn(n1)；136n(n1)n(n1)(n2)；1410n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)；可以推測，1515n(n1)(n2)(n3)_.【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合數(shù)與式子的特征，提煉結(jié)論.【自主解答】(1)由已知的3個等式知一般式為(n1)·.所以m2014，n20143-1，所以1.(2)根據(jù)式子中的規(guī)律可知，等式右側(cè)為n(n1)(n2)(n3)(n4)n(

4、n1)(n2)(n3)(n4).【答案】(1)1(2)n(n1)(n2)(n3)(n4)進(jìn)行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律(1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；(2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論.再練一題1.已知，推測猜想一般性結(jié)論為_.【解析】每一個不等式的右邊是不等式左邊的分子、分母分別加了相同的正數(shù)，因此可猜測：(a，b，m均為正數(shù)，且ab).【答案】(a，b，m均為正數(shù)，且ab)圖形中的歸納推理(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖2­1­2

5、的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是_.圖2­1­2(2)根據(jù)圖2­1­3中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個圖形中線段的條數(shù)為_.圖2­1­3【精彩點(diǎn)撥】(1)觀察圖案知，每多一塊白色地面磚，則多5塊黑色地面磚，從而每個圖案中白色地面磚的塊數(shù)，組成首項(xiàng)為6，公差為5的等差數(shù)列.(2)先求出前4個圖形中線段的數(shù)目，再歸納.【自主解答】(1)觀察圖案知，從第一個圖案起，每個圖案中黑色地面磚的個數(shù)組成首項(xiàng)為6，公差為5的等差數(shù)列，從而第n個圖案中黑色地面磚的個數(shù)為6(n-1)×55n1.(2)圖形到中線段的條數(shù)分別

6、為1,5,13,29，因?yàn)?22-3,523-3,1324-3,2925-3，因此可猜想第8個圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為29-3509.【答案】(1)5n1(2)509歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理.解答該類問題的一般策略是：再練一題2.如圖2­1­4，第n個圖形是由正n2邊形“擴(kuò)展”而來(n1,2,3，)，則第n個圖形中的頂點(diǎn)個數(shù)為_.圖2­1­4【解析】第一個圖形共有123×4個頂點(diǎn)，第二個圖形共有204×5個頂點(diǎn)，第三個圖形

7、共有305×6個頂點(diǎn)，第四個圖形共有426×7個頂點(diǎn)，故第n個圖形共有(n2)(n3)個頂點(diǎn).【答案】(n2)(n3)探究共研型歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用探究1數(shù)列的通項(xiàng)an與序號n是一種什么關(guān)系？【提示】是一種對應(yīng)關(guān)系，也是一種特殊的函數(shù)關(guān)系.探究2如何尋求an與n的關(guān)系？【提示】利用遞推式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)化為統(tǒng)一的形式，再觀察解決.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn.求出a1，a2，a3，a4，并推測an.【精彩點(diǎn)撥】由遞推關(guān)系寫出前4項(xiàng)，化為統(tǒng)一形式，觀察即可.【自主解答】Sn，a1，a1.又an>0，a11；a1a2，即1a2，a2-1；a1a2a3，即

8、a3，a3-；a1a2a3a4，a4，a42-；觀察可得，an-.數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和.(1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；(3)運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式.再練一題3.已知數(shù)列an中，a26，n.(1)求a1，a3，a4；(2)猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【解】(1)由a26，1，得a11.由2，得a315.由3，得a428.故a11，a315，a428.(2)由a111×(2×1-1)；a262×(2×2-1)；a

9、3153×(2×3-1)；a4284×(2×4-1)，猜想ann(2n-1).構(gòu)建·體系1.已知f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn-1(x)，則f2 014(x)_.【解析】f1(x)cos x，f2(x)f1(x)-sin x，f3(x)f2(x)-cos x，f4(x)f3(x)sin x，f5(x)f4(x)cos x，再繼續(xù)下去會重復(fù)出現(xiàn)，周期為4，f2 014(x)f2(x)-sin x.【答案】-sin x2.已知數(shù)列an中，a11，an1(aN*)，則可歸納猜想an的通項(xiàng)公式為_.【解析】由已知得a11，a2，a3，a4，由此可猜想an.【答案】an3.已知ann，把數(shù)列an的各項(xiàng)排成如下的三角形：【導(dǎo)學(xué)號：97220010】a1a2a3a4a5a6a7a8a9記A(s，t)表示第s行的第t個數(shù)，則A(11,12)_.【解析】每行對應(yīng)的元素個數(shù)分別為1,3,5，那么第10行最后一個數(shù)為a100，則第11行的第12個數(shù)為a112，即A(11,12)a112112.【答案】1124.當(dāng)x>0時，x22，x33，x44，根據(jù)上述不等式，在x>0的條件下，可歸納出一個一般性的不等式為_(直接寫結(jié)論).【解析】根據(jù)已知的3個不等