錄像機計數器的用途

1、§2 錄 像 機 計 數 器 的 用 途問題的提出老式的錄像機上都有計數器，而沒有計時器，一些錄音機也有類似的情況這種計數器有什么用呢，讓我們從這樣一個問題開始：一盤標明180分鐘的錄像帶從頭轉到尾，用時184分鐘，計數器讀數從0000變到6061在某一次使用中錄像帶已經轉過大半，計數器讀數為4450，問剩下的一段還能否錄下一小時的節(jié)目 如果計數器讀數隨著錄像帶的轉動是均勻增加的，那么由于4450已經顯著地超過6061的三分之二，即錄像帶已經轉過兩小時多，所以顯然不能再錄一小時的節(jié)目但是，只要你耐心地觀察一下就會發(fā)現(xiàn)，讀數并非均勻增長，而是先快后慢，這樣，回答上面的問題就需要知道計數

2、器讀數與錄像帶轉過的時間之間的關系本節(jié)的目的是要建立表述這個關系的數學模型問題的分析 計數器的讀數是怎樣變化的，它的增長為什么先快后慢，回答這些問題需要了解計數器的簡單工作原理(圖1) 錄像帶有兩個輪盤，一開始錄像帶纏滿的那個輪盤不妨稱為左輪盤，另一個為右輪盤計數器與右輪盤的軸相連，其讀數與右輪轉動的圈數成正比開始時右輪盤是空的，讀數為0000，隨著帶子從左向右運動，右輪盤半徑增加，使得轉動越來越慢，計數器讀數的增長也就越來越慢 在錄像帶的轉動過程中，與微型電機相連的主動輪的轉速當然是不變的，錄像帶靠壓輪壓在主動輪上，所以錄像帶的運動速度(線速度)為常數(想想看，如果錄像帶通過磁頭時的速度不是

3、常數，我們看到的畫面會是怎樣的)，而右輪盤隨著半徑的增加，其轉速當然越來越慢 我們要找出計數器讀數(記作)與錄像帶轉過時間(記作)之間的關系，即建立一個數學模型模型的假設 根據以上分析作如下的假設： 1錄像帶的線速度是常數； 2計數器讀數與右輪盤轉的圈數(記作)成正比，為比例系數；3錄像帶的厚度(加上纏繞時兩圈間的空隙)是常數，空右輪盤半徑為； 4初始時刻時，。模型的建立 圖2 時間t與計數器讀數n的關系建立與之間的關系有多種途徑，一種很自然的想法是計算纏繞在右輪盤上的錄像帶的長度當右輪盤轉到第圈時其半徑為，周長為，圈的總長度恰等于錄像帶轉過的長度，即考慮到比小得多，并代人容易算出 （2）這就

4、是我們需要的數學模型另一種更簡單的辦法是考察右輪盤面積的增加，它應該等于錄像帶轉過的長度與厚度的乘積，即由此同樣可以得到(2)式 讀者還可以考慮如何用微積分的辦法得到(2)式 思考 對(1)，(3)式仔細推算一下，會發(fā)現(xiàn)由(1)得到的結果與(2)式有微小差別，你能解釋這個差別嗎? 要利用模型(2)由計算，必須先確定其中的參數一種確定參數的辦法是進行測量或調查，你能設計測量的辦法嗎?實際上，從建模的目的看，我們并不需要知道這4個參數的每一個，如果把 (2)式改記作 那么只需要確定兩個參數即可進行，和之間的計算 (4)式表明，和的關系不是線性的(這是通過觀察和分析就知道的)，而是二次的(這只能通過

5、數學建模確定)與的這種函數關系可描繪成圖2的曲線，直觀地表明隨著時間的增加，計數器讀數的增長是越來越慢的參數估計 理論上，有兩組數據就能算出(題目中已經給出一組：，所以再測試一組數據即可)而實際上，由于測試有誤差，一般應該用足夠多的測試數據作擬合為此，用這盤錄像帶測得了一組數據，如表2我們用其中一部分數據()按照最小二乘法估計算出，得到，代人(4)式即得到需要的數學模型 模型的檢驗 上面得到的模型除了要用參與擬合的數據作統(tǒng)計檢驗外(統(tǒng)計檢驗將在第10章作簡單介紹)，還應該用未參加建模的數據(如用表2中的另一部分數據)進行檢驗可以發(fā)現(xiàn)，結果也相當好 模型的應用 對于本節(jié)開始提出的問題，當n=4450時，由(4)式算出分鐘，剩下的一段帶子尚可錄下分鐘的節(jié)目當然，這個問題由上面的實測數據就能回答()時不到120分鐘，顯然還可錄下1小時節(jié)目)，但是建立數學模型(4)式的意義在于，不僅在使用這盤錄像帶時，對于任意的計數器讀數可以算出時間，而且揭示了“與之間呈二次函數關系”這個普遍規(guī)律當錄像帶型號改變(或其它因素變化)時，只需再測量一批數據來估計參數，模型(4)式仍然能用評注 從提出日常生活中的一個實際問題人手，通過觀察計數器讀數先快后