復(fù)變函數(shù)與積分變換五套試題及答案(共21頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 復(fù)變函數(shù)與積分變換試題（一）一、填空（3分×10）1的模 ，幅角 。2-8i的三個單根分別為： ， ， 。3Lnz在 的區(qū)域內(nèi)連續(xù)。4的解極域為：。5的導(dǎo)數(shù)。6。7指數(shù)函數(shù)的映照特點(diǎn)是：。8冪函數(shù)的映照特點(diǎn)是：。9若=F f(t)，則= F 。10若f（t）滿足拉氏積分存在條件，則L f(t)=。二、(10分)已知，求函數(shù)使函數(shù)為解析函數(shù)，且f(0)=0。三、（10分）應(yīng)用留數(shù)的相關(guān)定理計算四、計算積分（5分×2）1 2 C：繞點(diǎn)i一周正向任意簡單閉曲線。五、（10分）求函數(shù)在以下各圓環(huán)內(nèi)的羅朗展式。12六、證明以下命題：（5分×2）（

2、1）與構(gòu)成一對傅氏變換對。（2）七、（10分）應(yīng)用拉氏變換求方程組滿足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y(t)。八、（10分）就書中內(nèi)容，函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析的具體判別方法有哪幾種。復(fù)變函數(shù)與積分變換試題答案（一）一、1，2.-i2i-i3.Z不取原點(diǎn)和負(fù)實軸4. 空集5.2z607.將常形域映為角形域8.角形域映為角形域9.10.二、解：（5分）f(0)=0c=0（3分）（2分）三、解：原式=（2分）（2分）=0原式=（2分） =四、1解：原式（3分）z1=0z2=1=0（2分）2解：原式=五、1解：（2分）2解：（1分）（2分）六、1解：（3分）結(jié)論成立（2）解：（2分）與1構(gòu)成傅氏對（

3、2分）七、解：（3分）S（2）-（1）：（3分）八、解：定義；C-R充要條件Th；v為u的共扼函數(shù)10分復(fù)變函數(shù)與積分變換試題（二）一、填空（3分×10）1函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)是f(z)在D內(nèi)解析的（）條件。2w=z2在z=-i處的伸縮率為（）。3的指數(shù)表示式為（）。4Ln(-1)的主值等于（）。5函數(shù)ez以（）為周期。6設(shè)C為簡單閉曲線，則=（）。7若z0為f(z)的m級極點(diǎn)，則（）。8若F f(t)（）。9與（）構(gòu)成一個付立葉變換對。10已知L ，則L （）。二、計算題(7分×7)1求p，m，n的值使得函數(shù)為解析函數(shù)。2計算3已知調(diào)和函數(shù)，求解析函數(shù)使得。4把函數(shù)

4、在內(nèi)展開成羅朗級數(shù)。5指出函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上所有孤立奇點(diǎn)并求孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。6計算7利用留數(shù)計算積份三、積分變換（7分×3）1 設(shè)（為常數(shù)），求F f(t)。2設(shè)f(t)以為周期，且在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為求L f(t)。3求方程滿足條件的解。（L e-t=）。 復(fù)變函數(shù)與積分變換試題答案（二）一、1充要條件2.23.4.5.6.原式=7 8.9.10.二、1.解：（3分）3m=p（1分）2原式=（25分）3原式=（2分）（2分）（2分）（1分）4解：（2分）（2分）（3分）5解：（2分）（2分）（2分）（1分）6解：原式（3分）（1分）7解：原式=（2分）=（1分）=（1分）=（2

5、分）=（1分）三、1解：F f(t)（3分）（4分）2.解：L f(t)=（2分）（2分）=（2分）（1分）=3解：F=Fe-t（1分）（2分）=（2分）=（2分）復(fù)變函數(shù)與積分變換試題答案（三）1.（5分）請依次寫出的代數(shù)、幾何、三角、指數(shù)表達(dá)式和的3次方根。：2. （6分）請指出指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)的解析域，并說明它們的解析域是哪類點(diǎn)集。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)的解析域分別為：整個復(fù)平面,無界開區(qū)域；除去原點(diǎn)及負(fù)半實軸，無界開區(qū)域，；除去點(diǎn)，無界開區(qū)域。3.（9分）討論函數(shù)的可導(dǎo)性，并求出函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。另外，函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)解析嗎？是或否請說明理由。解：，可微所以時函數(shù)可導(dǎo)，

6、且。因為函數(shù)在可到點(diǎn)的任一鄰域均不可導(dǎo)，所以可導(dǎo)點(diǎn)處不解析。4. （6分）已知解析函數(shù)的實部，求函數(shù)的表達(dá)式，并使。解：5.（6×2）計算積分：（1）, 其中為以為圓心,為半徑的正向圓周, 為正整數(shù)； （2）。解 （1）設(shè)的方程為,則 所以 （當(dāng)時） （當(dāng)時）。（2） .6.（5×2）分別在圓環(huán) （1），(2) 內(nèi)將函數(shù)展為羅朗級數(shù)。解：（1） , .(2) , .7. （12）求下列各函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。(1) ; (2) ; (3) .解：（1） 為的可去奇點(diǎn), ;（2） 為的三階極點(diǎn), 為的一階極點(diǎn), ,;（3） 為的本性奇點(diǎn), , 。8.（7）分式線性函數(shù)、指數(shù)

7、函數(shù)、冪函數(shù)的映照特點(diǎn)各是什么。分式線性函數(shù)具有保角性、保圓性、保對稱性的映照特點(diǎn)，指數(shù)函數(shù)具有將帶形域映照為角形域的映照特點(diǎn)，冪函數(shù)具有將帶形域映照帶形域的映照特點(diǎn)。9.（6分）求將上半平面 保形映照成單位圓 的分式線性函數(shù)。解：10.（5×2）（1）己知 F，求函數(shù)的傅里葉變換；（2）求函數(shù)的傅里葉逆變換。 解 （1） F, F;（2） F-1F-1,11.（5×2）（1）求函數(shù)的拉普拉斯變換；（2）求拉普拉斯逆變換L-1。解 （1） LL;（2）L-1= L-1=L- =L-12L-1 =（）。12.（6分）解微積分方程：。解：, 。復(fù)變函數(shù)與積分變換試題及答案（四）

8、一、填空題：（每題3分 共21分）1的三角表達(dá)式 。2 。3設(shè) 則 1 。4冪級數(shù)的和函數(shù)的解析域 空集 。5分式線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的映照特點(diǎn)分別是： 保角性、保圓性、保對稱性、 保伸縮性 ， 將帶形域映照為角形域 。6若L， 則L 。二、簡答題：（每題6分 共18分）1敘述函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的幾種等價定義。答 （1）區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，則稱在區(qū)域內(nèi) (2分)（2）若的實部、虛部均為內(nèi)的可微函數(shù)，且柯西黎曼方程成立，則稱為在內(nèi)的解析函數(shù)。 (2分)（3）若的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)，則稱在區(qū)域內(nèi)解析。 (2分)2若分別為及的階及階零點(diǎn)，則在具有什么性質(zhì)。答 若，則為的階零點(diǎn)； (2分)若，則為的可去奇點(diǎn)

9、； (2分)若，則為的階極點(diǎn)； (2分)3敘述將上半平面保形映照為單位圓盤且將映照為的分式線性函數(shù)產(chǎn)生的關(guān)鍵步驟。答（1）映照為，映照為，有 (3分)（2）當(dāng)時，有 (2分)（3）使得映為 (1分)三、計算題：（每題7分 共49分）解 1求的解析點(diǎn)； , ， ， ， 僅在處成立 (5分) 處處不解析。 (2分)2求在時的羅朗級數(shù)；解 3求積分 為沿單位圓的左半圓從到的曲線。解 4求積分 。解 5求積分 解 6、求函數(shù)的傅里葉變換.解 FF F F 7求函數(shù)的拉普拉斯逆變換。解 L-1 四、證明及解方程（每題6分 共12分）1證明：。證明 2解方程：。解 復(fù)變函數(shù)與積分變換試題及答案（五）一、填

10、空題（每題4分，共20分）1、2、 0 3、冪級數(shù)的收斂半徑 2 4、5、設(shè)，則付氏變換F二、單項選擇題（每題4分，共20分）1、是函數(shù)的 A 極點(diǎn)， B.本性奇點(diǎn)， C.可去奇點(diǎn)， D.一級零點(diǎn) 【B】2、 函數(shù)在復(fù)平面上的所有有限奇點(diǎn)處留數(shù)的和：A. 1 B. 4 C. 1 D. 2 【A】3、設(shè)C為正向圓周，則積分等于A24， B， C.0， D. 【D】4、設(shè)，則為.A1， B2， C0， D。 【C】5、設(shè)，則拉氏變換L為A， B. ， C. ，D. 。 【A】三、解答下列各題（1-2每小題6分，3-6每小題7分，共40分）1、 設(shè)是實數(shù)，函數(shù)在復(fù)平面解析，求。解：2、 映射把圓周變成什么曲線？寫出曲線的方程。答：變成圓 3、 求積分，其中。解：4、求積分，其中。解：5、求函數(shù)的Fourier變換。解：6、求函數(shù)的Laplace變換。解：四、解答下列各題（1、3每小題7分，2小題6分