多元函數(shù)的極值及最值ppt課件

1、多元函數(shù)的最值應(yīng)用多元函數(shù)的最值應(yīng)用一、最值應(yīng)用問題一、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點且只有一個極值點P 時時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )根據(jù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 求最值的一般方法：求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即較，其中最大者即為最大值，最小者即

2、為最小值為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.1 1、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點點，xyo6 yxDD如圖如圖,yxyxyxfz4,2解解方方程程組組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點點)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf,yxyxyxfz4,2xyo6 yxD在在

3、邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為為最最小小值值.xyo6 yxDyxyxyxfz4,2, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點得駐點)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為

4、，最小值為21 .因為因為01lim22 yxyxyx無條件極值：對自變量除了限制在定義無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件域內(nèi)外，并無其他條件. 例3：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要兩種原料A、B.單價分別為 2萬元/噸 和 1萬元/噸。已知該產(chǎn)品產(chǎn)量Q單位：噸與A、B兩種原料的投入量 x, y有如下關(guān)系： 且該產(chǎn)品的出售價為5萬元/噸，試確定兩種原料A、B 的投入量，使獲得利潤最大。解：解： 設(shè)所獲得利潤為設(shè)所獲得利潤為L，yyxxQ52102022yyxxyxQL24104851002522收入收入本錢本錢 02420yLy04810 xLx8 . 4x2 . 1y有問題的實際

5、意義可知最大值一定存在，又求的唯一有問題的實際意義可知最大值一定存在，又求的唯一駐點。所以函數(shù)在駐點處取得最大值。駐點。所以函數(shù)在駐點處取得最大值。最大利潤為：最大利潤為：L4.8 1.2）=229.6 萬元萬元yyxxyxQL24104851002522例例3.3.解解: 設(shè)水箱長設(shè)水箱長,寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA

6、因此可斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 （無條件極值）（無條件極值）例例4. 有一寬為有一寬為 24cm 的長方形鐵的長方形鐵板板 ,把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 cos24xcos22x0)sin(cos22

7、2x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點, 故此點即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0)

8、,(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2 2求條件極值的方法求條件極值的方法（1 1代入法：將條件代入函數(shù)，化為無條件極代入法：將條件代入函數(shù)，化為無條件極 值問題來解。值問題來解。 （這對于一類其條件的表達形式較簡單（這對于一類其條件的表達形式較簡單的問題，是方便的）的問題，是方便的）（2 2LagrangeLagrange乘數(shù)法：構(gòu)造輔助函數(shù)，化為無乘數(shù)法：構(gòu)造輔助函數(shù)，化為無 條件條件極值問題。極值問題。LagrangeLagrange乘數(shù)法求乘數(shù)法求z=f(x,y)z=f(x,y)在滿足條件在滿足條件(x,y)=0(x,y)=0時的極值，方法為：

9、時的極值，方法為：步驟步驟 構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù) （為待定為待定常數(shù)）常數(shù)）步驟步驟 解方程組解方程組 求出實數(shù)解求出實數(shù)解(x0,y0)(x0,y0)和和 ; ;步驟步驟 判別求出的點判別求出的點(x0,y0)(x0,y0)是否為極值點是否為極值點( (通常由實通常由實際問際問 題的實際意義判定題的實際意義判定) )，并求出極值，并求出極值 z0=f(x0,y0)z0=f(x0,y0)( , , )( , )( , )F x yf x yx y( ,)( ,)0( ,)( ,)0( ,)0 xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y注記：以上方法步驟，也適用于三元以上的以上方法步驟，也

10、適用于三元以上的多元函數(shù)，以及多個條件的情形。多元函數(shù)，以及多個條件的情形。例例5 求表面積為求表面積為a2，而體積為最大的長，而體積為最大的長 方體的體積，及長、寬、高的尺寸。方體的體積，及長、寬、高的尺寸。解：解：x xy yz z22()Sxyyzzxa( , , )VV x y zxyz解得唯一駐點 ，由題意，知矩形的長寬高各為 時，其體積最大。666(,)666aaa66a2 ()0Fxzxzy2 ()0Fxyxyz22()0 xyyzzxaF=令2 ( , , , )2()F x y zxyzxyyzzxa設(shè)2 ()0Fyzyzx22()Sxyyzzxa( , , )VV x y

11、zxyz,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF機動 目錄 上頁 下頁 返回

12、完畢 推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6. 要設(shè)計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所

13、用材料最??？的長方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 得唯一駐點,2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因而 , 當(dāng)高為,340Vxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 考慮考慮:1) 當(dāng)水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知利用對稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .

14、例例 7 7 將將正正數(shù)數(shù) 12分分成成三三個個正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使得得zyxu23 為為最最大大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u那那么么故故最最大大值值為為內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日