第一章第節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)ppt課件

1、質(zhì)質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性第十節(jié)第十節(jié)一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理二、介值定理二、介值定理三、小結(jié)及作業(yè)三、小結(jié)及作業(yè)一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定義定義.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于在區(qū)間對于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0

2、min y, 1max y定理定理1(1(最值定理最值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意 1.1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, , 定理也不一定理也不一定成立定成立. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一

3、定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則則有有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)故故baxf二、介值定理定理定理 3(3(零點定理零點定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個零的一個零點點, ,即至少有一點即至少有一點 )(ba ，使，使0)( f. . 定義定義.)(,)(的的零零點點稱稱為為

4、函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx0000.),()(內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根在在或方程或方程baxf0ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點位于端點位于的兩個的兩個連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy 定定理理4 4( (介介值值定定理理) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba, 上上連連續(xù)續(xù)，且且在在這這區(qū)區(qū)間間的的端端點點取取不不同同的的函函數(shù)數(shù)值值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那那末末，對對于于A與與B之之間間的的任任意意一一個個數(shù)數(shù) C，在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)至至少少有有

5、一一點點 ，使使得得Cf )( )(ba . . xyo)(xfy 幾何解釋幾何解釋MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB ,)()(0ba 因因由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 故故.)(至至少少有有一一個個交交點點與與水水平平直直線線連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧Cyxfy推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.

6、)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),( 10 , 0)( f, 01423 即即.),( 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方方程程故故1001423 xxMm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba

7、 , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即例3例3有有界界。證證明明存存在在，內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且在在設(shè)設(shè))()(lim),()(xfxfxfx證明證明,)(limAxfx設(shè)設(shè),)(, AxfXxX時，恒有時，恒有當當則則00,)( AxfA即即）上連續(xù)，）上連續(xù)，在（在（又又)(xf上連續(xù)，上連續(xù)，在在所以所以)(XXxf使使和和由由最最值值定定理理，必必存存在在mM,)(Mxfm,max0mMAAM 取取),(x故故,)(0Mxf必有必有）上有界。）上有界。，在（在（即即)(xf例4例4,0),(),()(iitbaxbaxf內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，在在設(shè)設(shè)), 2 , 1(n

8、i）（試證至少存在一點試證至少存在一點且且batnii, 11 ).()()()(2211nnxftxftxftf 使使證證明明,min1knkxx記記,max1knkxx 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在由由),()(baxf上上連連續(xù)續(xù)，在在得得,)(xxxf 有有使使故故存存在在,xxxmM ,)(Mxfm), 2 , 1(0,nitxxxii 由于由于,)(MMtxftmtmniiiniinii111所所以以),(,baxx 從從而而，至至少少存存在在一一點點).()()()(2211nnxftxftxftf 使使三、小結(jié)四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的

9、存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點不滿足上述定理不一定成立這兩點不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法: :先利用最值定理先利用最值定理, ,再利用介值定理再利用介值定理; ;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),F(x),再利用零點定理再利用零點定理; ;作業(yè)作業(yè)73101P習(xí)題73P總習(xí)題一.,),(,),(1210963284423. 4, 2, 1思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)必必有有零零點點.思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數(shù)例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)無無零零點點.一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個正根，并且它不超過少有一個正根，并且它不超過ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，bxxxan 2