第一章第節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)ppt課件

1、質(zhì)質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性第十節(jié)第十節(jié)一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理二、介值定理二、介值定理三、小結(jié)及作業(yè)三、小結(jié)及作業(yè)一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定義定義.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0

2、min y, 1max y定理定理1(1(最值定理最值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意 1.1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), , 定理也不一定理也不一定成立定成立. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一

3、定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則則有有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)故故baxf二、介值定理定理定理 3(3(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號(hào)異號(hào)( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個(gè)零的一個(gè)零點(diǎn)點(diǎn), ,即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) )(ba ，使，使0)( f. . 定義定義.)(,)(的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為

4、函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx0000.),()(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在或方程或方程baxf0ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy 定定理理4 4( (介介值值定定理理) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba, 上上連連續(xù)續(xù)，且且在在這這區(qū)區(qū)間間的的端端點(diǎn)點(diǎn)取取不不同同的的函函數(shù)數(shù)值值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那那末末，對(duì)對(duì)于于A與與B之之間間的的任任意意一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) C，在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)至至少少有有

5、一一點(diǎn)點(diǎn) ，使使得得Cf )( )(ba . . xyo)(xfy 幾何解釋幾何解釋MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB ,)()(0ba 因因由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 故故.)(至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)與與水水平平直直線線連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧Cyxfy推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.

6、)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),( 10 , 0)( f, 01423 即即.),( 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方方程程故故1001423 xxMm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba

7、 , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即例3例3有有界界。證證明明存存在在，內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且在在設(shè)設(shè))()(lim),()(xfxfxfx證明證明,)(limAxfx設(shè)設(shè),)(, AxfXxX時(shí)，恒有時(shí)，恒有當(dāng)當(dāng)則則00,)( AxfA即即）上連續(xù)，）上連續(xù)，在（在（又又)(xf上連續(xù)，上連續(xù)，在在所以所以)(XXxf使使和和由由最最值值定定理理，必必存存在在mM,)(Mxfm,max0mMAAM 取取),(x故故,)(0Mxf必有必有）上有界。）上有界。，在（在（即即)(xf例4例4,0),(),()(iitbaxbaxf內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，在在設(shè)設(shè)), 2 , 1(n

8、i）（試證至少存在一點(diǎn)試證至少存在一點(diǎn)且且batnii, 11 ).()()()(2211nnxftxftxftf 使使證證明明,min1knkxx記記,max1knkxx 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在由由),()(baxf上上連連續(xù)續(xù)，在在得得,)(xxxf 有有使使故故存存在在,xxxmM ,)(Mxfm), 2 , 1(0,nitxxxii 由于由于,)(MMtxftmtmniiiniinii111所所以以),(,baxx 從從而而，至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)).()()()(2211nnxftxftxftf 使使三、小結(jié)四個(gè)定理四個(gè)定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的

9、存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法: :先利用最值定理先利用最值定理, ,再利用介值定理再利用介值定理; ;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),F(x),再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理; ;作業(yè)作業(yè)73101P習(xí)題73P總習(xí)題一.,),(,),(1210963284423. 4, 2, 1思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)必必有有零零點(diǎn)點(diǎn).思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數(shù)例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)無無零零點(diǎn)點(diǎn).一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個(gè)正根，并且它不超過少有一個(gè)正根，并且它不超過ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，bxxxan 2