微積分基本定理教案)

1、1.6 微積分基本定理一：教學目標知識與技能目標通過實例，直觀了解微積分基本定理的內(nèi)容，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分過程與方法通過實例探求微分與定積分間的關(guān)系，體會微積分基本定理的重要意義情感態(tài)度與價值觀通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學生 辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。二：教學重難點重點：通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系，使學生直觀了解微積分基本定理 的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。難點：了解微積分基本定理的含義三：教學過程：1、 知識鏈接：定積分的概念：用定義計算的步驟：2、 合作探究：導數(shù)與積分的關(guān)系；我們講過

2、用定積分定義計算定積分，但其計算過程比較復雜，所以不是求定積分的一般 方法。有沒有計算定積分的更直接方法，也是比較一般的方法呢？下面以變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系為例：設一物體沿直線作變速運動，在時刻 t 時物體所在位置為 S(t),速度為 v(t) (v(t)_ o)，則物體在時間間隔衛(wèi)內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為Lv(t)dto汀1另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S (t )在T,T2上的增量S(TJ-S(T2)來表達，即?v(t)dt=S(T!S(T2)T1而S(t)二v(t)o說出你的發(fā)現(xiàn)微積分基本定理對于一般函數(shù)f(x)，設F (x) = f (x)，是否也有bf

3、 (x)dx = F (b) - F (a)?a若上式成立， 我們就找到了用f(x)的原函數(shù)(即滿足F&)二f(x)的數(shù)值差F(b)-F(a)來計算f(x)在a,b上的定積分的方法。設F (x)二f(x)則在a,b上，/ y=F(b) _F(a)將a,b分成 n 等份，在第 i 個區(qū)間x“,xi上，記/ yi=F(Xi)-F(xi),則/y二刀/yi如下圖，因為/ hi=f(x-1)/x 而/yihi所以/hi二刀 f(XM) /x 故/ y=lim 刀/ h 二刀 f(x1)即I f(x)dx=F(b) F(a)所以有微積分基本定理： 函數(shù)，則(此處并不要求學生理解證明的過程)為了方

4、便起見，還常用F(x)|：表示F(b)-F(a)，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓一萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學與積分學之間聯(lián)系的橋 梁。它不僅揭示了導數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的 作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發(fā)展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果。應用舉例 例 1.計算下列定積分：2131(1)/ -dx；(2)1(2x-p)dx。1x1x解：(1)因為(Inx)=1，x所以1dx = In x

5、I：= In 2In1 = In 2。1x(2) )因為(x2)=2x,(1)=-丄，x x31331所以(2x -p)dx =：12xdx-dx1x11x2 313122= x2|；|卜(9-1)七-“二丁。x331練習：計算x2dx解：由于1x3是x2的一個原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓一萊布尼茲公式有31213 1_ 1313_1Ix dx x |0=1003333例 2.計算下列定積分：0sinxdx,sinxdx,0sin xdx由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因為(-cosx)二sinx，所以 sin xdx二(-cosx) |0= (-cos二)-(-

6、cos0) = 2，2二2-_ sin xdx=(-cosx) (-cos2二)-(-cos二)=-2，2:二2 _osin xdx二(-cosx) |0= (-cos2二)(cos0) = 0.可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0:(I )當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時(圖 1.6 一 3 )，定積分的值取正值，且等b/ x=a f (x)dx如果函數(shù)F(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)的任意一個原于曲邊梯形的面積；圖 1 . 6 一 3 ( 2)(2)當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時(圖 1 . 6 一 4 )，定積分的值取負值， 且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；(3

7、 )當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時， 定積 分的值為 0 (圖1 . 6 一 5 )，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方 的曲邊梯形面積.例 3.汽車以每小時 32 公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度a=1.8 米/秒2剎車，問從幵始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車幵始到停車經(jīng)過了多少時間。當t=0 時，汽車速度vo=32 公里/小時二32 1000米/秒 8.88 米/秒,剎車后汽車減速行駛，其速度為v(t)二v0- at=8.88-1.8t當汽3600車停住時,速度v(t)=0,故從v(t)=8.

8、88-1.8t=0解得t=聖”4.93秒1.8于是在這段時間內(nèi)，汽車所走過的距離是4.934.9312=v(t)dt = (8.88 1.8t)dt=(8.881.8江?t2)21.90 米才能停住.微積分基本定理揭示了導數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系， 同時它也提供了計算定積分的 一種有效方法微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發(fā)展起來, 成為一門影響深遠的學科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝 煌的成果.課堂練習課本 p55 練習-四：課堂小結(jié)：本節(jié)課借助于變速運動物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積 分的簡便方法， 運用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導 數(shù)的知識比較熟練，希望，不明白的同學，回頭來多復習！五：教學后記：從教以來，一直困惑于一個問題：課堂上如何突出重點并突破難點。當然，理論方面自 己早已爛