講實數(shù)的若干性質和應用-初奧數(shù)教材

1、第三講實數(shù)的若干性質和應用實數(shù)是高等數(shù)學特別是微積分的重要基礎.在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地 介紹實數(shù)理論，是因為它涉及到極限的概念.這一概念對中學生而言，有 一定難度但是，如果中學數(shù)學里沒有實數(shù)的概念及其簡單的運算知識， 中學數(shù)學也將無法繼續(xù)學習下去了. 例如，即使是一元二次方程，只有有 理數(shù)的知識也是遠遠不夠用的.因此，適當學習一些有關實數(shù)的基礎知識， 以及運用這些知識解決有關問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學的學習打 基礎，而且也是初等數(shù)學學習所不可缺少的.本講主要介紹實數(shù)的一些基 本知識及其應用.形如：巴（nO）的數(shù)叫有理數(shù)，其中戲整數(shù).這種定義可n用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有

2、理數(shù)的和、差、積、商 還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對加、減、乘、除（零不能做除數(shù)）是封閉的.性質1任何一個有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)（整數(shù)可以看作小數(shù)點后面 為零的小數(shù)）或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然.證明循環(huán)2.61545454二2.6154是有理數(shù)分析要說明一個數(shù)是有理數(shù)，其關鍵要看它能否寫成兩個整數(shù)比的 形式.證設x = 2 6154 t 兩邊同乘以100得100z = 261 51 = 26154 54.-得99x=261.54-2.61=258.93，所以258939900既然梵能寫成兩個整數(shù)比的形式，從而也就證明了 261站是有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)有理數(shù)對四則運算是封閉的，而無理數(shù)

3、與無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù).例如，血為無理但 72-2=0是一個有理數(shù)；兀是無理數(shù)，籌=1是有數(shù)，理數(shù)，也就 是說，無理數(shù)對四則運算是不封閉的，但它有如下性質.性質2設a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則a+b，a-b是無理數(shù)；（2）當詳0時，a*bt ?是無理數(shù).b有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即有限小數(shù)實數(shù)（小數(shù)）”無限牛數(shù)摩里數(shù)循壞小數(shù)不循環(huán)小數(shù)一無理數(shù)9 / 9在實數(shù)集內，沒有最小的實數(shù)，也沒有最大的實數(shù)任意兩個實數(shù)， 可以比較大小.全體實數(shù)和數(shù)軸上的所有點是對應的. 在實數(shù)集內進 行加、減、乘、除（除數(shù)不為零）運算，其結果仍是實數(shù)（即實數(shù)對四則運 算的封閉性）.任一實數(shù)都可以開奇次方，

4、其結果仍是實數(shù)；只有當被開 方數(shù)為非負數(shù)時，才能開偶次方，其結果仍是實數(shù).例2求證是有理數(shù).分析要證明所給的數(shù)能表示成出Cm, ri為整數(shù)，詳0）的形式，關鍵 n是要證明歸J壘二勞是完全平方數(shù)（n-1） t ni證11-422.-25(n-l)T 唧-lo1 + 22-2X10 + 5 fn艸劇IO11-1 -1 皿 10n-l x IO1141 + 2Xx 10 + 5 99=1(10 ion+1 + 2 X IO11*1 -20 + 45)= 1(1q + 10X10k +25) =(1 儼+ 32所以13(VJ22-25 = 10n + 5因為?呼+T與鷗為整數(shù)，所以1;巧是有理數(shù)-例3

5、證明血是無理數(shù).分析要證明一個實數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事由于 有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實數(shù)集，且二者是矛盾的兩個對立面，所以， 判定一個實數(shù)是無理數(shù)時，常常采用反證法.證用反證法.假設旋不是無理數(shù)，所以血必為有理數(shù).設反二E 6小是互質的自然數(shù)）,兩邊平方有 qp2=2q3sffi所以p 一定是偶數(shù)設p=2m（m是自然數(shù)），代入得4托=2q2， q2 = 2ni,所以q也是偶數(shù).p3 q均為偶數(shù)和p與q互質矛盾，所以忑不是有理 數(shù)，于是密貶是無理數(shù).說明只要P是質數(shù)，血就一定是無理數(shù)，這個結論的證明并不 困難，請同學們自己完成.例4若ai+ba=a2+ba(其中a, a?, b,

6、b為有理數(shù)，a為無理數(shù))，則 ai=a2, b=b，反之，亦成立.分析設法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明.證 將原式變形為(bi-b)a=a2-ai.若b工b2,則a3 ai日因為次是無理數(shù)，而學二尋是有理數(shù)，尹盾.所以必有逬而 有町=禺.反之，顯然成立.說明 本例的結論是一個常用的重要運算性質.例5與b是兩個不相等的有理數(shù)，試判斷實數(shù)獰是有理數(shù)還無理數(shù)，并說明理由.解假i殳鼎是艇數(shù)，設其機，即整理得a4-V3=Ab+A/3由例4知a Ab, 1=A, 即辺=阮這與已知社尹b矛盾.所以原假設是有理數(shù)錯誤，故 掙無喊說明本例并未給出確定結論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結論.解這祥的問題

7、時，可以先找到一個立足點，如本例以二殍 為b + V3有理 數(shù)作為立足點，以其作為推理的基礎.例6已知a, b是兩個任意有理數(shù)，且avb,求證：a與b之間存在 著無窮多個有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性).分析 只要構造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明.證因為av b，所以2av a+bv 2b，所以alK2設珀學，衍顯然是有理數(shù)因為a, b為有理數(shù))因為衍乩 所以，同理可證設蘋幻顯悠也是有理數(shù) 依此類推，設砧二 嚀，口為任意自然數(shù).則有豕聽也一務 b,且兀為有理數(shù)，所以在詢b之間存在無窮多個有理數(shù).說明 構造具有某種性質的一個數(shù)，或一個式子，以達到解題和證明 的目的，是經(jīng)常運用的一種數(shù)學建模的

8、思想方法.例7已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且av b，問是否存在無理數(shù)a， 使得av a v b成立？解因為心忑-1山所以(42 - l)a (V2 - l)b,即72a (/2 - l)b + a 又因為ab =b +b -所以a + 72b-b72K(72-l)b+ab由，有72a(V2-l)b + aj2b, 所以 a+a b.2b + 血0 - b)2V2因為b, 畤是有理數(shù)，且畔 =0,所以b +呼龍是無理數(shù)我即.存在無理數(shù)a，使得aVaV b成立.例X己知數(shù)陽的小數(shù)部分是&求b4+12b3+37b2+6b-20的值.分析 因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個無理數(shù)的小 數(shù)部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計算題，往往是先 估計它的整數(shù)部分（這是容易確定的），然后再尋求其小數(shù)部分的表示方 法.解 因為91416, BP3/14-3 1415926,亠屁.2.