微分中值定理及其應(yīng)用

1、第六章 微分中值定理及其應(yīng)用一、 填空題1若均為常數(shù)，則_。2若，則_，_。3曲線在點(diǎn)處的曲率半徑_。4設(shè)，則曲線在拐點(diǎn)處的切線方程為_。5_。6設(shè)，則有_個(gè)根，它們分別位于_區(qū)間；7函數(shù)在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件的；8函數(shù)與在區(qū)間上滿足柯西定理?xiàng)l件的；9函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的；10函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；11函數(shù)的極大值點(diǎn)是_，極大值是_。12設(shè)，則函數(shù)在_處取得極小值_。13已知，在處取得極小值，則_，_。14曲線在拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)，則_。15設(shè)，是在上的最大值，則_。16設(shè)在可導(dǎo)，則是在點(diǎn)處取得極值的條件；17函數(shù)在及取得極值，則；18. 函數(shù)的極小值是;19函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

2、；20. 函數(shù)在上的最大值為，最小值為；21. 設(shè)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn),則;22. 曲線的下凹區(qū)間為,曲線的拐點(diǎn)為;23. 曲線的上凹區(qū)間為;24. 曲線的拐點(diǎn)為;25曲線在點(diǎn)_處曲率半徑最小。26曲線的漸近線為_。二.選擇填空1曲線的特點(diǎn)是( )。A.有極值點(diǎn)，但無拐點(diǎn) B.有拐點(diǎn)，但無極值點(diǎn)C.是極值點(diǎn)，是拐點(diǎn) D.既無極值點(diǎn)，又無拐點(diǎn)2奇函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，且，則( )。A. B. C. D.3已知方程確定為的函數(shù)，則( )。A.有極小值，但無極大值 B.有極大值，但無極小值C.即有極大值又有極小值 D.無極值4若在區(qū)間上二階可導(dǎo)，且， ，則方程在內(nèi)( )A.沒有實(shí)根 B.有兩個(gè)實(shí)根 C.有無

3、窮多個(gè)實(shí)根 D.有且僅有一個(gè)實(shí)根5已知在處某鄰域內(nèi)連續(xù)，則在處( )。A.不可導(dǎo) B.可導(dǎo)且 C.取得極大值 D.取得極小值6設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，且滿足條件，時(shí)，則在內(nèi)( )A必存在一點(diǎn)，使B必存在一點(diǎn)，使C單調(diào)減少 D. 單調(diào)增加7設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則( )A是的極大值 B.是的極小值C是曲線的拐點(diǎn)D不是的極值，也不是曲線的拐點(diǎn)8若和在處都取得極小值，則函數(shù)在處( )A必取得極小值 B.必取得極大值 C.不可能取得極值 D.是否取得極值不確定9設(shè)由方程確定，且，是駐點(diǎn)，則( )A. B. C. D.10曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )A.0 B.1 C.2 D.311是大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且，

4、則當(dāng)時(shí)有( )A B.C. D.12曲線的漸近線有( )A1條 B.2條 C.3條 D.4條13的O點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )A1 B.2 C.3 D.個(gè)數(shù)與有關(guān)14曲線則曲線( )A只有垂直漸近線 B.只有水平漸近線C無漸近線 D.有一條水平漸近線和一條垂直漸近線15設(shè)為的解，且，則有( )A的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加B的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少C處取得極小值D處取得極大值16. 羅爾定理中的三個(gè)條件;在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且是在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得成立的( ). 必要條件 充分條件 充要條件 既非充分也非必要17. 下列函數(shù)在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的是( ). ; ; ;18. 若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且是內(nèi)任意兩

5、點(diǎn),則至少存在一點(diǎn)使得下式成立( ). ; 19. 設(shè)是內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),是內(nèi)的任意兩點(diǎn),則( ) . 在之間恰有一個(gè),使得 在之間至少存在一點(diǎn),使得 對于與之間的任一點(diǎn),均有20.若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且對內(nèi)任意兩點(diǎn)恒有,則必有( ). (常數(shù))21. 已知函數(shù),則方程有( ).分別位于區(qū)間內(nèi)的三個(gè)根;四個(gè)根,它們分別為;四個(gè)根,分別位于分別位于區(qū)間內(nèi)的三個(gè)根;22. 若為可導(dǎo)函數(shù),為開區(qū)間內(nèi)一定點(diǎn),而且有,則在閉區(qū)間上必總有( ). 23. 若,則方程( ). 無實(shí)根 有唯一實(shí)根 有三個(gè)實(shí)根 有重實(shí)根 24. 若在區(qū)間上二次可微,且 (),則方程在上( ). 沒有實(shí)根 有重實(shí)根 有無窮多實(shí)根 有且

6、僅有一個(gè)實(shí)根25. 設(shè)為未定型, 則存在是也存在的( ). 必要條件 充分條件 充要條件 既非充分也非必要條件26. 指出曲線的漸近線( ). 沒有水平漸近線,也沒有斜漸近線; 為垂直漸近線,無水平漸近線; 既有垂直漸近線,又有水平漸近線; 只有水平漸近線.27 曲線的漸近線有( ). 1條 ; 2條 ; 3條 ; 4條 ;28 函數(shù)在取得極值，則（ ）。 0 ； ； 1 ； 2 。29 下列曲線集郵水平漸近線，又有垂直漸近線的是（ ）。 ； ； ； 。30 =（ ）。 1 ； ； ； 。三、計(jì)算題1. 試討論下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)是否存在一點(diǎn)使得f()=0：（1）f(x)=（2）f(x)=|x

7、|, |x|.2. 求下列不定式極根:(1); (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) .3. 求下列不定式極限:(1);(2);(3) (4) (5) (6) ;(7) ;(8) .4. 求下列函數(shù)在提定點(diǎn)處帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式:(1) f(x)=x3+4x2+5,在x=1處;(2) f(x)=在x=0處;(3) f(x)=cosx的馬克林公式.5. 求下列函數(shù)帶皮亞諾型余項(xiàng)的馬克勞林公式：（1）f(x)=arctgx到含x5的項(xiàng)；（2）f(x)=tgx到含x5的項(xiàng).6. 求下列極限:(1);(3).7

8、. 估計(jì)下列近似公式的絕對誤差:(1);(2)當(dāng)x0,1.8. 計(jì)算: (1)數(shù)e準(zhǔn)確到10-9;(2)lg11準(zhǔn)確到10-5.1. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1) f(x)=3x-x3; (2) f(x)=2x2-lnx;(3) f(x)=; (4) f(x)=.9. 求下列函數(shù)的極值.(1) f(x)=2x3-x4; (2) f(x)=; (3)f(x)=; (4) f(x)=arctgx-ln(1+x2).10. 求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值:(1) y=x5-5x4+5x3+1,-1,2;(2) y=2tgx-tg2x, 0,;(3) y=lnx, (0,+).11. 把長為

9、1的線段截為兩段, 問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積為最大?12. 一個(gè)無蓋的圓柱形容器, 當(dāng)給定體積為V時(shí), 要使容器的表面積為最小, 問底的半徑與容器的高的比例應(yīng)該怎樣?13. 設(shè)用某儀器進(jìn)行測量時(shí),讀得n次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為a1,a2, an.問以怎樣的數(shù)值x表達(dá)所要測量的真值，才能使它與這n個(gè)數(shù)之差的平方和為最?。?4. 求下列函數(shù)的極值:(1) f(x)=|x(x2-1)|; (2) f(x)=; (3) f(x)=(x-1)2(x+1)3.15. 設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1,x2=2處都取得極值;試定出a與b的值;并問這時(shí)f在x1與x2是取得極大值還是極小值?

10、16. 求正數(shù)a,使它與其倒數(shù)之和為最小.17. 要把貨物從運(yùn)河邊上A城運(yùn)往與運(yùn)河相距為BC=a千米的B城(見圖7-1).輪船運(yùn)費(fèi)的單價(jià)是元/千米.火車運(yùn)費(fèi)的單價(jià)是元/千米(>),試求運(yùn)河邊上的一點(diǎn)M,修建鐵路MB,使總運(yùn)費(fèi)最省.18. 確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點(diǎn):(1) y=2x3-3x2-36x+25; (2) y=x+;(3) y=x2+; (4) y=ln(x2+1);19. 問a和b為何值時(shí),點(diǎn)(1,3)為曲線y=ax3+bx3的拐點(diǎn)?四、證明題1. 證明： （1）方程x33x+c=0（這里C為常數(shù)）在區(qū)間0，1內(nèi)不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；（2）方程xn+px+q=0(n為自然

11、數(shù)，p，q為實(shí)數(shù))當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)至多有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)至多有三個(gè)實(shí)根。2. 證明：（1）若函數(shù)f在a，b上可導(dǎo)，且(x)m，則f(b)f(a)+m(b-a);(2)若函數(shù)f在a,b上可導(dǎo)，且|(x)|M，則|f(b)-f(a)|M(b-a)； （3）對任意實(shí)數(shù)x1,x2,都有|sinx1-sinx2|x1-x2|.3. 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：（1），其中0<a<b;（2）<arctgh<h，其中h>0.4. 設(shè)函數(shù)f在a,b上可導(dǎo)。證明：存在（a,b），使得2f(b)-f(a)=(b2-a2)().5. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)a具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。證明：.6

12、. 試討論函數(shù)f(x)=x2,g(x)=x3在閉區(qū)間-1，1上能否應(yīng)用柯西中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論，為什么？7. 設(shè)0<<<，試證明存在(a,b)，使得.8. 設(shè)h>0，函數(shù)f在a-h,a+h上可導(dǎo)。證明：（1），（0，1）；（2），（0，1）.9. 以S(x)記由（a,f(a)）,(b,f(b),(x,f(x)三點(diǎn)組成的三角形面積，試對S(x)應(yīng)用羅爾中值定理證明拉格朗日中值定理。10. 若函數(shù)f, g和h在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，證明存在實(shí)數(shù)(a,b)，使得=0.再從這個(gè)結(jié)果導(dǎo)出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。11. 設(shè)f為a,b上二階可導(dǎo)函數(shù)，且f(a)=

13、f(b)=0,并存在一點(diǎn)c（a,b）使得f(c)>0.證明至少存在一點(diǎn)(a,b),使得()<0.12. 證明達(dá)布定理：若f在a,b上可導(dǎo)，且(a)(b),k為介于(a)與(b)之間的任一實(shí)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得()=k.13. 設(shè)函數(shù)f在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且f單調(diào)。證明f在（a,b）內(nèi)連續(xù)。14. 證明：設(shè)f為n階可導(dǎo)函數(shù)，若方程f（x）=0有n+1個(gè)相異實(shí)根，則方程f(n)(x)=0至少有一個(gè)實(shí)根。15. 設(shè)p(x)為多項(xiàng)式，為p(x)=0的r重實(shí)根。證明 ：必定是p(x)=0的r-1重實(shí)根。16. 證明：（1）設(shè)f在（a,+）上可導(dǎo),若和都存在,則=0; (2)設(shè)f

14、在(a,+)上n階可導(dǎo).若和都存在,則=0,(k=1,2,n)。17. 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),試應(yīng)用羅比塔法則證明:18. 對函數(shù)f在區(qū)間0,x上應(yīng)用拉格朗日中值定理有f(x)-f(0)=f(x)x,(0,1).試證對下列函數(shù)都有;(1) f(x)=ln(1+x); (2) f(x)=ex.19. 設(shè)f(0)=0,f在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù),且f(0)=0.證明:.20. 證明定理6.5中情形時(shí)的羅比塔法則:若(i) (ii) 存在M0>0,使得f與g在(M0,+)內(nèi)可導(dǎo),且g(x)0;(iii) (A為實(shí)數(shù),也可為±或),則21. 證明:為有界函數(shù).22.

15、 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明下列不等式.(1) tgx>x-;(2) ; (3) 23. 設(shè).(1) 證明:x=0是函數(shù)f的極小值點(diǎn);(2)說明在f的極小值點(diǎn)x=0處是否滿足極值的第一充分條件或第二充分條件.24. 證明:設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f(x)在x=b連續(xù),則當(dāng)(x)0(a<x<b)時(shí),對一切x(a,b)有f(x)f(b),當(dāng)(x)0(a<x<b)時(shí),對一切x(a,b)有f(x)f(b).25. 證明:若函數(shù)f在點(diǎn)x0處有+(x0)<0(>0),_(x0)>0(<0),則x0為f的極大(小)值點(diǎn).26. 證明：若函數(shù)f,g在區(qū)間a

16、,b上可導(dǎo),且(x)>(x), f(a)=g(a),則在內(nèi)有f(x)>g(x).27. 證明: .28. 證明:(1) 若f為凸函數(shù),為非負(fù)實(shí)數(shù),則f為凸函數(shù);(2) 若f、g均為凸函數(shù)，則f+g為凸函數(shù)；(3)若f為區(qū)間I上凸函數(shù),g為Jf(I)上凸的遞增函數(shù),則gof為I上凸函數(shù).29. 設(shè)f為區(qū)間I上嚴(yán)格凸函數(shù).證明:若X0I為f的極小值點(diǎn),同x0為f在I上唯一的極小值點(diǎn).30. 應(yīng)用凸函數(shù)概念證明如下不等式:(1)對任意實(shí)數(shù)a,b,有;(2)對任何非負(fù)實(shí)數(shù)a,b, 有2arctgarctga+arctgb.31. 證明:若f.g均為區(qū)間I上凸函數(shù),則F(x)=maxf(x)

17、,g(x)也是I上凸函數(shù).32. 證明: (1)f為區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是對I上任意三點(diǎn)x1<x2<x3,恒有0. (2)f為嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是對任意x1<x2<x3,>0.33. 應(yīng)用詹禁不等式證明: (1) 設(shè)ai>0(i=1,2,n)，有. (2)設(shè)ai,bi>0(I=1,2,n),有， 其中P>0,q>0,=1.五、考研復(fù)習(xí)題1. 證明:若f(x)在有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且 ,則至少存在一點(diǎn)a,b),使()=0.2. 證明:若x>0,則(1),其中;(2).3. 設(shè)函數(shù)f在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且ab

18、>0.證明存在(a,b),使得.4. 設(shè)f在a,b上三階可導(dǎo),證明存在(a,b),使得.5. 對f(x)=ln(1+x)應(yīng)用拉格朗日中值定理,證明:對x>0有.6. 證明:若函數(shù)f在區(qū)間a,b上恒有(x)>0,則對(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,x2,都有,其中等號(hào)僅在x1=x2時(shí)才成立.7. 證明:第6題中對(a,b)內(nèi)任意n個(gè)點(diǎn)x1,x2,xn也成立，其中等號(hào)也僅在x1=x2=xn時(shí)才成立。8. 應(yīng)用第7題的結(jié)果證明：對任意n個(gè)正數(shù)x1,x2,xn恒成立，即算術(shù)平均值不小于幾何平均值。9. 設(shè)a1,a2,an為n個(gè)正實(shí)數(shù)，且證明：（i） （ii）10. 求下列極限：（1）；（2）；（3）.11. 證明:若函數(shù)f在點(diǎn)a二階可導(dǎo),且(a)0,則對拉格朗日公式f(a+h)-f(