電磁場與電磁波課后習題答案楊儒貴編著版

1、第五章 恒定磁場5-1 在均勻線性各向同性的非磁性導電媒質（即上出） 中，當存在恒定電流時，試證磁感應強度應滿足拉普拉 斯方程，即可2 B=0證在均勻線性各向同性的非磁性導電媒質中，由B = 4。H 及冋 xH =J，得、B二。J對等式兩邊同時取旋度，得7 :： E _ J7 : 7 ： E 二 、 J但是I J =0，考慮到恒等式 0yd xy2-0 J s0同理，當y ： 0時,d B 二 exJ0Js0ydx-x2 y223 / 1911 I那么，積分求得b0exB,y 0即H = *exH,y vO令y 0的區(qū)域中磁場強度為H2，那么，在y = 0的邊界上，ey H 2 -比二J s1

2、由此求得H-Js0，因此ex%J%Js0s0y 0y : 05-12 已知N邊正多邊形的外接圓半徑為a ,當通過的 電流為I時，試證多邊形中心的磁感應強度為B 二 en2 a N式中en為正多邊形平面的法線方向上單位矢量。若Nt嗆時，中心B值多大？解 如習題圖5-12所示，載流線圈每邊在中心0處產(chǎn)生的磁 感應強度為OBi=en也 COS円-COST24 二r習題圖5-12NN;； COS / 址 24iacos小丿所以，N條邊在中心0處產(chǎn)生的磁場為4NInB = N B! = e n tan2兀aNNlf兀、 I當 Nt 血時，B=en limoNI tanl = e/QINY 2中IN 丿2

3、a此結果即是半徑為a的電流環(huán)在中心處產(chǎn)生的磁感應強 度。5-13若表面電流J s位于x=V平面內(nèi)，試證 B = %Js(x-x)式中少(X _x) |為在x處取極值的一維叵函數(shù)。解 由安培環(huán)路定理得知，；B dI =二01因I = Jj d S，再利用斯托克斯定理得B d I 二 $ B d S由3函數(shù)的定義可知，一維5 (xx)函數(shù)的量綱為長度的倒數(shù)。因此，Js、：x_x，為體電流密度,即I = J d S = J s6(x-x)d Ss- B d S -%J S x-x，d S( B - % J s6(x xj)d S = 0上式對于任何表面都成立，因此被積函數(shù)為零，即 B 二 J s x

4、x5-14 若位于圓柱坐標系中(ro, o)處的無限長線電流的電流為I ,方向與正Z軸一致，試證磁感應強度為、 B=e zol、(r( - )ro解 由3函數(shù)的定義可知，0 一0為二維3函數(shù)在ro圓柱坐標系中的表示，其量綱為面積的倒數(shù)。因此，ezl-為位于ro,o處的z方向的電流密度。ro么RH由安培環(huán)路定律得知，-B d = %1，即oAzerod再利用斯托克斯定理， B d =評漢B)d S ,求得r-B-e 打一沙or0丿上式對于任何表面均成立，因此被積函數(shù)為零，即 r -r。- -05-15若無限長的半徑為a的圓柱體中電流密度分布函2 二r 2o d i r2 4r rdr求得Io48

5、r33l B d I 二 lr4r23當2 二 a=.0 dir2 4r r d r8a33B d I = %lo習題圖5-15求得丄a4 4a435-16證明矢量磁位A滿足的方程式2 A= 4。J的解為(提示：利用函數(shù)卜-V、2 A 空24兀V-在Z處的奇點特性)。V J-? dV=ez(r24r), r a，試求圓柱內(nèi)外的磁感應強度。取圓柱坐標系，如習題圖5-15所示。當r _ a時，通過半徑為r的圓柱電流為h = J ds = jez r2 4r ezds =已知=d (rr)r 一 r 1因此5-17已知空間y 0區(qū)域為空氣。試求：當空氣中的磁感應強度Bq =3x0.5 一 e y10

6、)mT時，磁性媒質中的磁感應強度B ;當磁性媒質中的磁感應強度B= (ex10 - e y0.5)mT時，空氣中的磁感應強度B0。解根據(jù)題意，建立的直角坐 標如圖5-17所示。設磁性媒質中的磁感應強度為B =exBxeyBy習題圖5-17已知在此邊界上磁感應強度的法向分量連續(xù)，磁場強度的切向分量連續(xù)因此By -10，Bx= Q.55000% 一 求得Bx二 2500，By-10B 二(ex 2500 - ey10) mT設空氣中的磁感應強度為BQ = exBQx ey B0y則由邊界條件獲知=誌，B廠0.5求得Box =0.002，Bq 0.5即Bo = (ex0.002 ey0.5)mT5-

7、18 已知均勻繞制的長螺線管的匝數(shù)為N ,長度為L , 半徑為a，電流為I，如習題圖5-18(a)所示。試求： 螺線管內(nèi)部中點o處的磁感應強度； 螺線管外部P點的磁感應強度，圖中|d L,d a4 zL丨 t.pd2a習題圖5-18(a)習題圖5-18(b)解 螺線管可看作是線密度為的圓柱面電流，如圖 L習題圖5-18(b)所示。由題5-9的結果得知，電流為 dz i L丿的電流環(huán)在中點o處產(chǎn)生的磁感應強度為%INa2 dz2L a2 y2那么，螺線管在中點o處產(chǎn)生的總磁感應強度為LB 二 ez _2 2L a2 y2%INa23dz 二ez2 1 . 2 勺* 4L 為了計算螺線管外的場強，

8、可將螺線管看作為由N 個同軸電流環(huán)組成。已知在xoy平面內(nèi)，單個電流環(huán)I在P r f |點產(chǎn)生的矢量磁位為I 22丿式中 R = 牛 +a2 2ra s B fco S* , dI = ead 。考慮到ra , 那么丄丄1 +R LIios%la 2A 卩二 e k71asin j cos cos d = re斗丁4r因此a la2歹 er 2cosve寸sin vTT當電流環(huán)位于xoy平面時，=:,r = d，那么，在叩瑋丿處產(chǎn)生的磁感應強度為= e-% la24d3考慮到d.L,對于P點而言，可以認為每個電流 環(huán)均處于xoy平面內(nèi)。因此，P點磁感應強度增加N倍， 即%Nla2B = N B

9、 P = e3-4d5-19根據(jù)式（5-2-9 b），證明 7 A = 0 o式（5-2-9 b）為上JdV4二rr dVVJ4 二dVVJ r4：利用高斯定理，同時考慮到J a)。試求：|r c a及|a c r c b|區(qū)域中的磁感應強度B，磁場強度H及磁化強度P m ;磁棒中的磁化電流密度 J及磁棒表面的表面磁化電流密度 J_解根據(jù)題意，螺線管中 磁棒位置如圖5-22所示。取 圓柱坐標系，且令螺線管的 軸線與z軸一致。作一個矩 形閉合回路，其中AB和CD 邊垂直于螺線管壁，AD邊緊 靠在螺線管外壁，BC邊平行2b 2aI -fl BC 習題圖5-22于螺線管內(nèi)壁，其長度為I。沿該矩形閉合

10、回路積分，由安培環(huán)路定律知；H dl 二 INI可以認為，螺線管中的磁場強度方向均與螺線管的軸線 平行，螺線管外附近無漏磁。那么當矩形回路的BC邊 位于磁棒內(nèi)時，若令磁棒內(nèi)的磁場強度為H i，則上述閉 合積分變?yōu)锽C H 1 d l 工 I NI 二 H J = ezIN因此，磁棒內(nèi)的磁場強度為 比=ezIN磁棒內(nèi)的磁感應強度為Bj =:e/IN磁棒內(nèi)的磁化強度為Rm =早一 H i 二 ez -1IN1 n若令磁棒與螺線管壁之間的磁場強度為H2，則上述 閉合積分變?yōu)锽C H 2 d l 工INI 二 H 2 工ezIN磁棒與螺線管壁之間的磁感應強度為B2 二ez%IN磁棒與螺線管壁之間磁化強

11、度為IN =0磁棒中的磁化電流密度為J 八 Rm 八-1)INez=0磁棒側面的表面磁化電流密度為Js 二 Pim en 二 ez -1 IN e eJ T IN5-22 已知半徑為a的鐵氧體球內(nèi)部的磁化強度 Pm =ezPm，試求：球內(nèi)磁化電流密度 J及球面的表面 磁化電流密度 JJ;磁化電流在球心處產(chǎn)生的磁感應強度B。解球內(nèi)磁化電流密度為J = Pm 八ezF0m =0球面的表面磁化電流密度為Js= P men=ez F0m=er cost- e_, sinF0m二 eF0m sin ：由題5-9的結果獲知，位于r處寬度為ad,的環(huán)行電 流Jsadr在球心產(chǎn)生的磁感應強度d B22a3PJ

12、 ；a（asin 日）d 日 d B =ez那么，整個球面上磁化電流在球心產(chǎn)生的磁感應強度為”n3G工亠寄)235-23 當磁矩為25Am 2的磁針位于磁感應強度B = 2T的均勻磁場中，試求磁針承受的最大轉矩。TT解 當磁矩方向與磁感應強度方向垂直，即夾角-時，磁針承受的轉矩最大，因此磁針承受的最大轉矩為mHTmax = Pm Bsin25 2 1 =50Nm23 25-24已知體積為1m的均勻磁化棒的磁矩為10Am ，若 棒內(nèi)磁感應強度B二ez0.02T, ez為軸線方向。試求棒內(nèi)磁場強度 解 由磁化強度定義，求得棒內(nèi)磁化強度為那么，棒內(nèi)磁場強度為BM弋一00.02沢10“-10 A ez1.59 104 A/m5-25已知位于坐標原點的磁化球的半徑為a，若球內(nèi)的 磁化強度M二ez(Az2 B)，式中A，B均為常數(shù)，試求球內(nèi)及球面上的磁化電流解球內(nèi)的磁化電流密度為jy= T 泊 ez Az2 B i=0因此