點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系及其論證

1、平面。知識(shí)要點(diǎn)：1點(diǎn)A在直線(xiàn)上，記作A a ；點(diǎn)A在平面:-內(nèi),記作Ah ；直線(xiàn)a在平面：.內(nèi)，記作a二器. 2.平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語(yǔ)言”、“符號(hào)語(yǔ)言”、“圖形語(yǔ)言”列表如下：公理1公理2公理3圖形 語(yǔ)言/ * ./%-C /文字 語(yǔ)言如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn) 在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條 直線(xiàn)在此平面內(nèi).過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有 且只有一個(gè)平面.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè) 公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條 過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn).符號(hào) 語(yǔ)言AI,B 乏1J 1 Uo（A乏口，B乏口 JA,B,C不共線(xiàn)二A,B,C確定平面aPSPE"tP I3.公理2的三條推論：推論1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直

2、線(xiàn)外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面;推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面；推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面【例1】如果一條直線(xiàn)與兩條平行直線(xiàn)都相交，那么這三條直線(xiàn)是否共面？ （P56 A組5題）練一練：1、求證：兩兩相交且不過(guò)同一個(gè)點(diǎn)的三條直線(xiàn)必在同一平面內(nèi)2、在正方體 ABCD -AB1C1D1中，（1）AA與CG是否在同一平面內(nèi)？ （2 ）點(diǎn)B,G,D是否在同一平面內(nèi)？（3）畫(huà)出平面 AG與平面BGD的交線(xiàn)，平面 ACD!與平面BDG的交線(xiàn).。知識(shí)要點(diǎn)：1.空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系:空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系共面直線(xiàn) 相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn); 八 " 平

3、行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).2平行公理：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行.a/b,c/b,則a/c作用：證明兩直線(xiàn)平行3. 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。方向相同則方向相反則/ 1 = / 2 / 1+ / 2 = 180作用：可以用來(lái)證明空間中的兩個(gè)角相等4.已知兩條異面直線(xiàn) a,b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn) 0作直線(xiàn)a7/a,b/b，把a(bǔ) ,b所成的銳角（或直角）叫異面 直線(xiàn)a,b所成的角（或夾角）.a ,b所成的角的大小與點(diǎn) 0的選擇無(wú)關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn) 0通常取在異面直 線(xiàn)的一條上；異面直線(xiàn)所成的角的范圍為（0,

4、90 ，如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，則叫兩條異面直線(xiàn)垂直，記作a_b.求兩條異面直線(xiàn)所成角的步驟可以歸納為四步：選點(diǎn)t平移t定角t計(jì)算【例1】如圖中，正方體 ABCABCD, E、F分別是AD AA的中點(diǎn).（1）求直線(xiàn)AB和CC所成的角的大??；（2）求直線(xiàn)AB和EF所成的角的大小直線(xiàn)與平面、平面與平面位置關(guān)系。知識(shí)要點(diǎn):1、線(xiàn)面位置關(guān)系:（1）（1）直線(xiàn)在平面內(nèi)（直線(xiàn)與平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）3 / 13（2） 直線(xiàn)和平面平行（直線(xiàn)與平面無(wú)任何公共點(diǎn)）：a/:（3） 直線(xiàn)與平面相交（直線(xiàn)與平面有唯個(gè)公共點(diǎn) ）：=A2、面面位置關(guān)系：平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）、相交（有一條公共直線(xiàn)）,分別記作= I.【

5、例1】已知空間邊邊形 ABC賂邊長(zhǎng)與【例2】在空間四邊形 ABCDK EAC BD= b,求 EG2 FHAB寸角線(xiàn)都相等，求異面直線(xiàn)AB AD的中點(diǎn)，DBFAB和CD所成的角的大小.F、G分別是CB CD勺中點(diǎn)，若 AC+ BD= a ,【例3】已知空間四邊形ABCD中, E、H分別是ABAD的中點(diǎn),F、G分別是BC CD上的點(diǎn),且 CF _CGCB 一 CD求證：（1） E、F、G H四點(diǎn)共面；（2）三條直線(xiàn) EF、GH AC交于一點(diǎn).直線(xiàn)與平面平行的判定。知識(shí)要點(diǎn)：1. 定義：直線(xiàn)和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)和平面平行2. 判定定理：平面外的一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平

6、面平行.符號(hào)表示為：a二一b二a/b二 a ：.圖形如右圖所示.。例題精講：【例1】已知P是平行四邊形 ABC斷在平面外一點(diǎn)，E、F分別為AB PD的中點(diǎn)，求證：AF/平面PEC【例2】在正方體 ABCDABCD中，E、F分別為棱 BC CD的中點(diǎn).求證：EF/平面BBDD.【例3】如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱AD、CD、BD、BC的中點(diǎn)，求證:AM /平面 EFG .【例4】如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M N分別是AB PC的中點(diǎn)*(1)求證：MN/平面PAD (2)若MN =BC =4 , PA =43，求異面直線(xiàn) PA與MN所成的角的大小平面與平面平行的判

7、定。知識(shí)要點(diǎn)： 面面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.。例題精講：【例1】如右圖，在正方體 ABCABCD中，M N P分別是CC BC、CD的中點(diǎn)，求證：平面 MN/平 面ABD【例2】正方體 ABCA1B1GD中.(1)求證：平面 ABD/平面 BDC;(2)若E、F分別是AA, CC的中點(diǎn)，求證：平面 EBD /平面FBDABDC1【例3】已知四棱錐 P-ABCD ,底面ABCD平行四邊形點(diǎn)M N Q分別在PA BD PD上,且PM MABNND=PQ QD求證：平面 MNQ平面PBC【例4】直四棱柱 ABCD ABGD1中，底面ABCD正

8、方形，邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱AA=3 , M N分別為AB、AD的中點(diǎn)，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)(1)求證：平面 AMN平面EFDB (2)求平面 AMh與平面EFDB的距離.直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)。知識(shí)要點(diǎn)：線(xiàn)面平行的性質(zhì)：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)alia平面相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行即：al = allb.o(ri p =b。例題精講：【例1】 經(jīng)過(guò)正方體 ABCDAiBCiD的棱BB作一平面交平面 AADD于EiE,求證：EiE/ BB【例 2】如圖，AB/，AC ii BD , C :. , D -，求證：AC =BD .【例3】平行四邊形 EFGH勺分別在空間

9、四邊形 ABCD各邊上，求證：BD/平面EFGH【例4】已知直線(xiàn)a /平面a，直線(xiàn)a /平面3，平面a平面3 = b，求證a/i b -平面與平面平行的性質(zhì)。知識(shí)要點(diǎn)：1. 面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行.用符號(hào)語(yǔ)言表示為：_：:/,-：a,b= a/b .2. 其它性質(zhì)：/二1二用 d ;/ 一1 .1匕二I _ 1 ;夾在平行平面間 的平行線(xiàn)段相等.。例題精講：【例1】如圖，設(shè)平面a /平面3 , AB CD是兩異面直線(xiàn)，M N分別是AB CD的中點(diǎn)，且A、C a , B、D 3 .求證：MN/ a .【例2】如圖，A, B, C, D四點(diǎn)都在平面

10、ot, B外，它們?cè)赼內(nèi)的射影A, B, G, D是平行四邊形的四個(gè)頂 點(diǎn)，在 炳的射影 A R, G, D在一條直線(xiàn)上，求證： ABCD是平行四邊形.【例3】如圖，在正三棱柱ABC-AiBiC中，E、F、G是側(cè)面對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)，且BE =CF =AG，求證：平面7 / 13【例4】如圖，已知正方體證：EF/平面ABCDEFG/ 平面 ABCABCD -ABiGDi，面對(duì)角線(xiàn) AR, BCi上分別有兩點(diǎn)直線(xiàn)與平面垂直的判定。知識(shí)要點(diǎn)：I與平面互相垂直，記作I _. Ii. 定義：如果直線(xiàn)I與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，則直線(xiàn)平面:-的垂線(xiàn)，：.直線(xiàn)I的垂面，它們的唯一公共點(diǎn) P叫做垂足.（線(xiàn)線(xiàn)垂

11、直線(xiàn)面垂直）2. 判定定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則這條直線(xiàn)與該平面垂直.符號(hào)語(yǔ)言表示為：若 I丄m , I丄n , m n n = B, m二* , n二x，貝U I丄：3. 斜線(xiàn)和平面所成的角，簡(jiǎn)稱(chēng)“線(xiàn)面角”，它是平面的斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影的夾角求直線(xiàn)和平面所成的角，幾何法一般先定斜足，再作垂線(xiàn)找射影，然后通過(guò)解直角三角形求解，可以簡(jiǎn)述為“作（作出線(xiàn)面角）7 證（證所作為所求）7 求（解直角三角形）”.通常，通過(guò)斜線(xiàn)上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂 線(xiàn)段，垂足和斜足的連線(xiàn)是產(chǎn)生線(xiàn)面角的關(guān)鍵。例題精講：【例1】四面體ABCD中，AC=BD,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，且EF二

12、弓C , BDC = 90，求證：BD _ 平面ACD .【例2】已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABC ABCD, E是AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AE與平面ABCD所成角的正弦值. 【例3】三棱錐P ABC中，PA丄BC, PB丄AC , PO丄平面ABC垂足為Q求證：O為底面 ABC垂心.【例4】已知Rt . ABC，斜邊BGZ平面，A三:z, AB AC分別與平面:成30 °和45°的角，已知 BC=6,求BC到平面:-的距離.平面與平面垂直的判定。知識(shí)要點(diǎn)：1. 定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角（dihedral angle ）.這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面

13、叫做二面角的面記作二面角:AB 1 .（簡(jiǎn)記P AB Q ）2. 二面角的平面角：在二面角：一I 一：的棱I上任取一點(diǎn)Q,以點(diǎn)Q為垂足，在半平面:內(nèi)分別作垂直于棱I的射線(xiàn)QA和OB，則射線(xiàn)QA和OB構(gòu)成的.AQB叫做二面角的平面角.范圍：0 ' 180 .3. 定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作.I .4.判定：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直 。例題精講：【例1】已知正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為1,分別取邊 BC CD的中點(diǎn)（線(xiàn)面垂直r面面垂直）E、F,連結(jié)AEEF、AF,以 AE EF FA為折痕，折疊使點(diǎn) B C D重合于一點(diǎn)

14、P.（1）求證：APL EF; （2）求證：平面 APEL平面 APFFGEB= DA,【例2】如圖，在空間四邊形 ABCDK AB=BC,E, F,G分別是CD,DA,AC的中點(diǎn)，求證：平是CG的中點(diǎn)，求證：E分別是側(cè)棱BB、CC上的1）截面與底面所成的面BEF _平面BGD .【例3】如圖，在正方體 ABCD -ABQP中，E 平面ABD丄平面BED .【例4】正三棱柱 ABC-ABC中，AA=2AB D 點(diǎn)，且 EGBO2BD過(guò) A D E作一截面，求： 角；（2）截面將三棱柱分成兩部分的體積之比.線(xiàn)面、面面垂直的性質(zhì)。知識(shí)要點(diǎn)：1. 線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行(線(xiàn)

15、面垂直 > 線(xiàn)線(xiàn)平行)2. 面面垂直性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直.用符號(hào)語(yǔ)言表示為：若 ：£.,:門(mén)一：=1， a二:二，a _丨，貝U a . |.(面面垂直 > 線(xiàn)面垂直)。例題精講：【例1】把直角三角板 ABC的直角邊BC放置于桌面，另一條直角邊 AC與桌面所在的平面：垂直，a是內(nèi) 一條直線(xiàn)，若斜邊 AB與a垂直，則BC是否與a垂直？【例2】如圖，AB是圓0的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PAL平面ABC(1) 求證：平面PACL平面PBC(2) 若D也是圓周上一點(diǎn)，且與 C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫(xiě)出圖中所有互相垂直的各對(duì)平面【例3】

16、三棱錐P ABC中，PA =PB =PC , P0丄平面ABC垂足為 0 求證：0為底面 ABC的外心.【例4】三棱錐P _ABC中，三個(gè)側(cè)面與底面的二面角相等，P0 _平面ABC垂足為0求證：0為底面 ABC的內(nèi)心.小結(jié):1、證明兩直線(xiàn)平行的主要方法是: 三角形中位線(xiàn)定理：三角形中位線(xiàn)平行并等于底邊的一半； 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行； 線(xiàn)面平行的性質(zhì)：如果一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面與這個(gè)平面相交,那么這條直線(xiàn)和它們的交線(xiàn)平行;D 平行線(xiàn)的傳遞性： 面面平行的性質(zhì)：如果一個(gè)平面線(xiàn)平行； 垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行;a/b, c/b= a/c與兩個(gè)平行平面相交

17、，那么它們的交2、證明兩直線(xiàn)垂直的主要方法: 利用勾股定理證明兩相交直線(xiàn)垂直； 利用等腰三角形三線(xiàn)合一證明兩相交直線(xiàn)垂直； 利用線(xiàn)面垂直的定義證明(特別是證明異面直線(xiàn)垂直)；即：線(xiàn)影垂直線(xiàn)斜垂直，反之也成立利用三垂線(xiàn)定理證明兩直線(xiàn)三垂PO亠OA是的在平“線(xiàn)面線(xiàn)又直線(xiàn)a二很,且a _0A垂”，“線(xiàn)斜垂=a _ PA 利用圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角，此外還有正方形、菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直等結(jié)論。3、空間角及空間距離的計(jì)算(1)異面直線(xiàn)所成角：使異面直線(xiàn)平移后相交形成的夾角，通常在在兩異面直線(xiàn)中的一條上條直線(xiàn)平行行與與b異面，b/b，直線(xiàn)a與直線(xiàn)b"的夾角為兩異 面直線(xiàn)a與b所成的角，異面直線(xiàn)

18、所成角取值范圍是(0，90 (2)斜線(xiàn)與平面成成的角：斜線(xiàn)與它在平面上的射影成的角。如圖：PA是平面的一條斜P(pán)A在平面上射影，PAO為線(xiàn)面角（3）二面角：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面形成的圖形 ，如圖為二面角： -丨- 一：，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分別在兩個(gè)半平面內(nèi)且角的兩邊與二面辰少如圖：在二面角a-i- B中, 0棱上一點(diǎn)，oau匕OBu P 角的棱垂直且0A丄l,OB丄I,則/AOB為二面角a-l - p的平面角。用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關(guān)鍵點(diǎn)是:明確構(gòu)成二面角兩個(gè)半平面和棱； 明確二面角的平面角是哪個(gè)?的平面角，關(guān)鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂

19、直。而要想明確二面角（求空間角的三個(gè)步驟是“一找” “二證”“三計(jì)算”4.異面直線(xiàn)間的距離：指夾在兩異面直線(xiàn)之間的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度。如圖PQ是兩異面直線(xiàn)間的距離（異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)是唯一的，指與兩異面直線(xiàn)垂直且相交的直線(xiàn)）5.點(diǎn)到平面的距離：指該點(diǎn)與它在平面上的射影的連線(xiàn)段的長(zhǎng)度。如圖：0為P在平面上的射影,線(xiàn)段0P的長(zhǎng)度為點(diǎn)P到平面的距離等體積法：就是將點(diǎn)到平面的距離看成是求法通常有：定義法和等體積法三棱錐的一個(gè)高。如圖在三棱錐V ABC中有：VS ABC - VA _SBC - VB _SAC = VC _SAB直線(xiàn)與平面平行的判定一、填空題1以下說(shuō)法（其中a，b表示直線(xiàn)，a表示平面）正確的個(gè)

20、數(shù)為. 若a/b,b?a,則a/a； 若a/a,b/a,貝Ua/b； 若a/b,b/a,貝Ua/a； 若a/a,b?a,則a/b.2.已知a, b是兩條相交直線(xiàn)，a/ a ,則b與a的位置關(guān)系是.3如果平面a外有兩點(diǎn)A、B ,它們到平面a的距離都是a,則直線(xiàn)AB和平面a的位置關(guān)4. 在空間四邊形 ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點(diǎn)，若 AE : EB= CF : FB= 1 : 3, 則對(duì)角線(xiàn)AC和平面DEF的位置關(guān)系是.5. 過(guò)直線(xiàn)I外兩點(diǎn)，作與I平行的平面，則這樣的平面為 .6. 過(guò)平行六面體ABCD AiBiCiDi任意兩條棱的中點(diǎn)作直線(xiàn)，其中與平面 DBB1D1平行的直線(xiàn)有 條.

21、7. 經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有平面與已知直線(xiàn)平行.8. 如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi的面中:/>1Cl(1) 與直線(xiàn)AB平行的平面是(2) 與直線(xiàn)AAi平行的平面是(3) 與直線(xiàn)AD平行的平面是15 / 13C的平面的位置9. 在正方體ABCD AiBiCiDi中，E為DDi的中點(diǎn)，貝U BDi與過(guò)點(diǎn)A，E，關(guān)系是.二、解答題ABio.如圖所示，在正方體ABCD AiBiCiDi中，E、F分別是棱BC、CiDi 的中點(diǎn).求證：EF/平面BDDiBi.ii .如圖所示，P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別在PA、BD 上, 且 PE : EA = BF : FD .求證：EF/平

22、面PBC.直線(xiàn)與平面平行的判定方法(i)利用定義：證明直線(xiàn) a與平面a沒(méi)有公共點(diǎn).這一點(diǎn)直接證明是很困難的，往往借助于反證法來(lái)證 明.利用直線(xiàn)和平面平行的判定定理：a? a a/，b? a，貝U a/a.使用定理時(shí)，一定要說(shuō)明“不在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行”，若不注明和平面內(nèi)的直線(xiàn)平行，證明過(guò)程就不完整.因此要證明a/平面a，則必須在平面a內(nèi)找一條直線(xiàn)b，使得a/，從而達(dá)到證明的目的.證明線(xiàn)線(xiàn)平行時(shí)常利用三 角形中位線(xiàn)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等.直線(xiàn)與平面平行性質(zhì)一、填空題1. 已知直線(xiàn)l /平面a,直線(xiàn)m? a，則直線(xiàn)l和m的位置關(guān)系是 .2 .若不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)A、B、

23、C到平面a的距離相等，且 A、B、CD/ a，則面ABC與面a的位置關(guān)系為.3. 若直線(xiàn)m不平行于平面 a,且m?a，則下列結(jié)論成立的是 (填序號(hào)). a內(nèi)的所有直線(xiàn)與m異面； a內(nèi)不存在與m平行的直線(xiàn)； a內(nèi)存在唯一的直線(xiàn)與 m平行； a內(nèi)的直線(xiàn)與m都相交.4如圖所示，長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F分別是棱AA i和BB i的中點(diǎn)， 過(guò)EF的平面EFGH分別交BC和AD于G、H，貝U HG與AB的位置關(guān)系是 5.直線(xiàn)a/平面a, a內(nèi)有n條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，則這 n條直線(xiàn)中與直線(xiàn) a平行的直 線(xiàn)條數(shù)為.6 .如圖所示，平面aCl p= 11, a Y= 12 , 3尸1 3, 11

24、 / 12,下列說(shuō)法正確的是（填序號(hào)）. li平行于13,且12平行于13； li平行于b,且12不平行于13； 1i不平行于13，且1 2不平行于13； li不平行于13，但12平行于13.7 .設(shè)m、n是平面a外的兩條直線(xiàn)，給出三個(gè)論斷：m/ n;m/ a；n / a.以其中的兩個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，構(gòu)造三個(gè) 命題，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： .（用序號(hào)表示）8.如圖所示，ABCD AiBiCiDi是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面的棱AiBi, B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱 AD上的一點(diǎn)，AP = 過(guò)P, M , N的平面交上底面于PQ, Q在CD上，貝U PQ=.9. 如圖

25、所示，在空間四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共 面，并且 AC /平面 EFGH , BD /平面 EFGH , AC = m, BD = n,當(dāng)四邊形 EFGH是菱 形時(shí)，AE : EB =.二、解答題10. ABCD是平行四邊形，點(diǎn) P是平面 ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在 DM 上取一點(diǎn) G ,過(guò)G和AP作平面交平面 BDM 于GH，求證：AP / GH .11.如圖所示，三棱錐 A BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH .求證：CD /平面EFGH .直線(xiàn)與平面平行判定定理和直線(xiàn)與平面平行性質(zhì)定理經(jīng)常交替使用，也就是通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行推出線(xiàn)面平行，再通過(guò)線(xiàn)

26、面平行推出新的線(xiàn)線(xiàn)平行，復(fù)雜的題目還可繼續(xù)推下去.可有如下示意圖:線(xiàn)線(xiàn)平行在平面內(nèi)作或找一直線(xiàn)線(xiàn)面平行經(jīng)過(guò)直線(xiàn)作I找平I線(xiàn)面平行 I面與平面相交的交線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)平行直線(xiàn)與平面垂直的判定一、選擇題1.下列命題中正確的是 （填序號(hào)）. 如果直線(xiàn)I與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，則I丄a； 如果直線(xiàn)I與平面a內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直，則Ila； 如果直線(xiàn)I不垂直于a,則a內(nèi)沒(méi)有與I垂直的直線(xiàn)； 如果直線(xiàn)I不垂直于a,則a內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與I垂直.2. 直線(xiàn)a丄直線(xiàn)b, b丄平面3,則a與B的關(guān)系是.3. 若a、b、c表示直線(xiàn)，a表示平面，下列條件中能使a丄a為 a 丄 b, b 丄 c, b? a, c? a;

27、a 丄 b, b /a;aA b = A, b? a, a丄 b : a / b, b±a.（填序號(hào)4. 如圖所示，定點(diǎn) A和B都在平面a內(nèi)，定點(diǎn)P?a, PB丄a, C是平面a內(nèi)異于 B的動(dòng)點(diǎn)，且 PC丄人。，則厶ABC的形狀為 三角形.5. 如圖所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿 SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體（如圖使Gi、G2、G3三點(diǎn)重合于一點(diǎn) G），則 下列結(jié)論中成立的有 （填序號(hào)）.SG丄面EFG :SD丄面EFG ;3GF丄面SEF;GD丄面SEF.6. A ABC的三條邊長(zhǎng)分別是 5、i2、i3，點(diǎn)

28、P到三點(diǎn)的距離都等于7,那么P到平面ABC的距離為 .7. 如圖所示，PA丄平面ABC , ABC中BC丄AC,則圖中直 角三角形的個(gè)數(shù)為.&在直三棱柱 ABC AiBiCi中，BC = CCi,當(dāng)?shù)酌鍭iBiCi滿(mǎn)足條件 你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況9如圖所示，在正方體則/ CiMN =ABCD AiBiCiDi 中,(?i時(shí)，有ABBCi（注：填上）.N分別是棱 AAi和AB上的點(diǎn)，若/ BiMN是直角,MPi二、解答題iO如圖所示，在正方體ABCD AiBiCiDi 中,E、:£fl/AF分別是棱BiCi、BiB的中點(diǎn).求證：CF丄平面EAB .ii

29、 .如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB , PC 的中點(diǎn)，PA = AD .求證：（i）CD丄PD; （2）EF丄平面 PCD.1 .直線(xiàn)和平面垂直的判定方法（1）利用線(xiàn)面垂直的定義.（2）利用線(xiàn)面垂直的判定定理.利用下面兩個(gè)結(jié)論：若 a/, a丄a,則b丄a;若a/3, a丄a,貝y a丄32 .在線(xiàn)面垂直的問(wèn)題中，通過(guò)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，可以證明直線(xiàn)與平面垂直；直線(xiàn)與平面垂直后，直線(xiàn)和平面內(nèi)的任何直線(xiàn)都垂直.這樣，就形成了線(xiàn)線(xiàn)垂直與線(xiàn)面垂直連環(huán)使用的思維形式，它對(duì)解題方法、策略乃至人們的思維，無(wú)疑都是一種提示.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)一、填空題1. 與兩條異面直線(xiàn)同時(shí)垂直的平面有 個(gè).2. 若m、n表示直線(xiàn)，a表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為 . m n召n丄a； m丄a”m± a ？ mln;n /a ”m 丄 a' ？ m / n;n丄a “ m / a ？ n丄a.m± n3.已知直線(xiàn)PG丄平面a于G,直線(xiàn)EF?且PF丄EF于F