正余弦定理講義

1、培優(yōu)教育一對一輔導(dǎo)講義科目數(shù) 年級：高一姓名： 教師： 時間：課題正弦定理、余弦定理授課時間：備課時間：教學(xué)目標1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題2、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的 實際問題3、會運用三角公式進行簡單三角函數(shù)式化簡、求值和恒等式證明與解決有關(guān)實際 問題，會運用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函數(shù)的最值，會由已知三 件函數(shù)值求角重點、難點1、三角函數(shù)值域及最值的求法2、三角函數(shù)與向量、函數(shù)、不等式的綜合問題及生產(chǎn)生活中的實際問題考點及考試要求高考對正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化。三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)

2、角 的三角函數(shù)求值及三角恒等式的證明、立體幾何中的空間角及解析幾何中有關(guān)角等問題。今后的命題中仍會以正余弦定理為框架，以三角形為主要依托，來綜合考查三角形知識，題型一般是選擇題和填空題，也有可能是中檔難度的解答題，關(guān)注利用正余弦定理解決 實際問題三角函數(shù)的綜合應(yīng)用在高考中地位顯著，可以綜合考查對三角函數(shù)知識的掌握情況。 分析近幾年咼考，主要有以下幾種類型：1、 可轉(zhuǎn)化為y A sin( x)的形式，然后研究性質(zhì)22、可轉(zhuǎn)化為y a sin x bsinx c的形式，然后借助于二次函數(shù)求閉區(qū)間上的最值3、與向量、三角形知識結(jié)合的綜合題4、用三角函數(shù)知識解決生產(chǎn)生活中的實際問題教學(xué)內(nèi)容探究一：在直

3、角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎sinA = asinB = sinC=1即 c=abc.ccsin Asin Bsin C探究二：能否推廣到斜三角形（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）當 ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是 CD,根據(jù)三角函數(shù)的定義，有CD asinBab 廠ac.同理， _sin A si nBsi nA sinC探究三：你能用其他方法證明嗎1證明一：（等積法）在任意斜厶 ABC當中1 1 1G ABC=_absi nC _acsi nB -bcsi nA.2直角三角形中的正弦定理:（思考如何作高），從而上sin A si nB sinC兩邊同除以2

4、1 -abc即得：2sin A sin B sin C2 .證明二:（外接圓法）如圖所示，/ A=Z D,asin Aasin DCD 2R,同理=2R, = 2R. sinB si nCUULTAC，由3 .證明三：（向量法）過 A作單位向量j垂直于正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a bsin A sin BUUDUUIT UUL 一AC +CB = AB邊同乘以單位向量 j得.si： C =2R理解定理1公式的變形:(1)a 2Rsi nA,b2Rsin B, c 2Rsin C(2)si nA2R，sinB 2R，sinC 2R'(3)a : b : c

5、 sin A : sin B : sin C（4）三sin Ab asin B sin AsinC ' sin C sin B2正弦定理的基本作用為:已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊,bsin A sin B ；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sin A ¥sin B。b般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形3利用正弦定理解三角形使，經(jīng)常用到：1 ABC sin（A B） sin C,cos（A B） sinC S abc - absin C2三、教學(xué)例題：例 1 已知在 ABC 中，c 10, A 450,C 30

6、°,求a,b和 B .分析已知條件討論如何利用邊角關(guān)系示范格式小結(jié)：已知兩角一邊解:例 2 ABC 中，c , 6, A 45°,a 2,求 b和 B,C 解：例 3 在 ABC中，b , 3,B60°,c 1,求a和代C課后作業(yè)1 在 ABC 中，一sin Absin Bcsi nCk,則k為（）A2RBRC4R2在 ABC中，已知角B 451DR（R ABC外接圓半徑）4 34 3，則角A的值是（）3A.15B.75C.105D.75 或 1530 ,B60 ,則 a : b : c4、在 ABC 中，若 B 60，b 7 6, a 14，則 A=5、在 AB

7、C中，已知a3, b 2,B45，解三角形。探究一.在 ABC中，已知a,b,A，討論三角形解的情況b sin A分析：先由sin B 廠可進一步求出B;則 C 180° (A B)，從而 c1. 當A為鈍角或直角時，必須 aasin Csin Ab才能有且只有一解；否則無解。2 .當A為銳角時，如果a > b，那么只有一解;3如果a b，那么可以分下面三種情況來討論：(1 )若a bsin A,則有兩解；(2) 若a bsin A,則只有一解；(3) 若a bsin A，則無解。A為銳角且評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當 bsin A a b時，

8、有兩解；其它情況時則只有一解或無解。探究二 你能畫出圖來表示上面各種情形下的三角形的解嗎A為鈍角或直角圖形A込cC yAHA 甘 J* R?* 占關(guān)系式a b sinA解的個數(shù)M兩解一解三例題講解例1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1) a= 20, b= 28, A= 120° 無解(2) a= 28, b= 20, A= 45° 解(3) c= 54, b= 39, C= 115°； 一解 b= 11, a= 20, B= 30° ;兩解(1 )在ABC 中,已知a 80 ,(2 )在ABC 中,若a 1 , c(3 )在ABC 中,axcm,

9、b(答案:(1)有兩解彈；(2) 0 ；(例2.在ABC中，已知a隨堂練習(xí)1cosA212100,2cm,bcosBA 450，試判斷此三角形的解的情況。400，則符合題意的b的值有個。B 450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求c,判斷ABC的形狀.cosCx的取值范圍。隨堂練習(xí)22 2 2. ABC中，sin A sin B sin C ，則 ABC為(A )A直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形2. 已知 ABC滿足條件acosA bcosB，判斷 ABC的類型。答案： ABC是等腰或直角三角形1. 根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1)、a 14 , b 16 ,

10、 A 45 (2)、a 12 , c 15 , A 120(3)、a 8,b16 , A 30 (4)、b 18 ,c 20 , B 602. 在 ABC 中，a=15,b=10,A=60°,則 cosB2、22、2 c廠飛A B C -D 33333. 已知a,b,c分別是 ABC的三個內(nèi)角 A,B,C所對的邊，若 a=1 ,b= 3 , A+C=2B則sinC=.4根據(jù)條件解三角形：(1) c10 , A45 ,C30 ,求邊 a,b.(2)A30 , B120 ,b12 ,求邊 a,c.(3)a16 , b16 x3,A30 ,求角B , C和邊c(4)b13 , a26 ,

11、B 30 ,解這個三角形。(5) b40 , c20 ,C45 ,解這個三角形(6)c1, b3, B60，求 a, A , C。5.設(shè)銳角厶ABC的內(nèi)角 A、B、C的對邊分別為 a、b、c, a= 2bsinA. (1)求B的大??；(2)求cosA+ sinC的取值范圍.同步分層能力測試題(一)填空題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1 .在 ABC中若 a= 5 ,b= - 15 ,A=30°,則邊 c=2. 在厶 ABC中，已知 A=45° , B=60° , c =1,則 a=3. 在厶ABC中，已知a=5,b=12,c=13最大內(nèi)角為度。4. 在厶

12、 ABC中，已知 b=4,c=8,B=30° .則 a=。5. a,b,c是厶ABC的三邊，且B=1200,則a2+ac+c2-b2的值為6 .在 ABC 中，若 a=50，b=25 ;6 , A=45° 貝U B=7.在厶ABC中，有等式：asinA=bsinB； asinB=bsinA； acosB=bcosAsin Ab csinB si nC8 .在ABC中，a, b, c分別為三個內(nèi)角urA、B、C所對的邊，設(shè)向量pa c,b , q b a,c其中恒成立的等式序號為ir ra ，若向量p / /q，則角c的大小為。二解答題(本大題共4小題，共54分)9. 在厶

13、ABC 中，a=3，c=33，A=300,則角 C 及 b.10. 在 ABC中， 已知：acosB=bcosA試判斷 ABC形狀；求證:cos2A2acos2Bb21 1a2 b2(1)在銳角三角形中，邊a、b是方程x2 2蟲x+2=0的兩根，角A、B滿足2sin(A+B)護 =0,求角C的度數(shù)，邊c的長度.312.在厶ABC中，已知角 A、B、C對應(yīng)的邊分別為 a、b、c，.且 C=2A. cos A=4(1) 求cosC和cosB的值；27當BA? BC 時，求a、b、c的值.2余弦定理 a2= b2+ c2 2bc cosA， b2 = c2 + a2 2ca cosB， c2= a2

14、+ b2 2ab osC.(4) 余弦定理的變式b2+ c2 a2c2 + a2 b2a2+ b2 c2cosA= 2bc ；cosB=2ca ；cosC=2ab .正余弦定理考點考點一：利用正、余弦定理解三角形在厶ABC中，(1) 若 b =謔,c= 1, B = 45。，求 a 及 C 的值；(2) 若 A= 60° a= 7, b = 5,求邊 c.知識概括、方法總結(jié)與易錯點分析1 已知兩邊和一邊的對角解三角形時，可有兩解、一解、無解三種情況，應(yīng)根據(jù)已知條件判斷解的情況，主要 是根據(jù)圖形或由“大邊對大角”作出判斷.2 應(yīng)熟練掌握余弦定理及其推論解三角形時，有時可用正弦定理，也可

15、用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更 方便、簡捷.3 三角形中常見的結(jié)論(1) A + B+ C=n .(2) 在三角形中大邊對大角，反之亦然.(3) 任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.針對性練習(xí)在厶ABC中，已知a= 7， b= 3， c= 5，求最大角和 sinC.考點二：利用正、余弦定理判斷三角形形狀典型例題 ABC 中，已知 acosA= bcosB，則厶 ABC 為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形知識概括、方法總結(jié)與易錯點分析依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時，主要有如下兩種方法：1. 利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因

16、式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形 的形狀；2 利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從 而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用A+ B+ C-n這個結(jié)論.針對性練習(xí)：已知 ABC 中，sinC=sinA+ si nBcosA+ cosB，試判斷 ABC的形狀.證明：在-ABC中 f sinC- sin+siriB co&A+cosB 岔in乎壯朋乎/.sin (A+B )=一2 2A + B.a-b_a+b sin.-2-COS._2考點三：三角形面積公式的應(yīng)用.2cos|i-1=0/.cos (A+B ) =0A+B=

17、 .即 G二號.FABC是直角三角形.典型例題已知 ABC中，cosA= J, a, b, c分別是角 A、B、C的對邊.求 tan2A;若 sin(n + B)=2 ；23 ，c= 2 2，求 ABC的面積.知識概括、方法總結(jié)與易錯點分析1三角形面積公式的選取取決于三角形中的哪個角可求，或三角形的哪個角的正弦值可求.1 1 12 .在解決三角形問題中，面積公式S= 2absi nC= 2bcsi nA= 2acs inB最常用，因為公式中既有邊也有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.針對性練習(xí)：在厶ABC中，a, b, c分別是 A, B, C的對邊，且滿足(2a c)cosB= bcos

18、C.(1)求角B的大??；若b = .7, a + c= 4,求厶ABC的面積.考點四：正、余弦定理的綜合應(yīng)用典型例題：在厶ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的分別為a、b、c,且cos2A = 5, sinB=.(1)求A+ B的值；若 a b=p2 1，求 a、b、c 的值.知識概括、方法總結(jié)與易錯點分析(1) 正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題時要根據(jù)具體題目合理運用，有時還需要交替使用.(2) 條件中出現(xiàn)平方關(guān)系多考慮余弦定理，出現(xiàn)一次式，一般要考慮正弦定理.針對性練習(xí)：1、在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且滿足cosA=羋，ABAC= 3.25(1)

19、求厶ABC的面積；(2)若b+ c= 6，求a的值.2、設(shè)厶ABC是銳角三角形,a, b, c分別是內(nèi)角A, B, C所對邊長，并且2nn2sin2A= sin( 3 + B)sin( 3 B)+ sin2B.1) 求角A的值；2) 若AB Ac= 12, a = 2 7，求 b, c(其中 b<c).鞏固作業(yè)1. (2010北京高考)在厶ABC中，若b = 1, c=. 3, C=貝卩a=.2. (2010廣東高考)已知a, b, c分別是 ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊.若 a = 1,b= 3,A+C=2B,貝H sinC=.3. (2010江蘇高考)在銳角 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若；+ ：=6cosC,則的值是.4. 在厶ABC中，a, b, c分別為角 A, B, C的對邊，已知：b= 2, c= 4, cosA = 4.(1) 求邊a的值；(2) 求 cos(A B)的值.5. (2010 遼寧高考)在厶 ABC 中，a, b, c分別為內(nèi)角 A, B, C 的對邊，且 2a