幾何畫板生成橢圓曲線八法

1、幾何畫板生成橢圓曲線八法浙江省上虞市春暉中學(xué) 張黎慶 312353 軟件幾何畫板可提供曲線的動態(tài)變化過程，便于我們觀察與驗證曲線，如果能制作出富于表現(xiàn)力的曲線動態(tài)效果的課件，可幫助學(xué)生理解抽象曲線的變化規(guī)律解、增強想象能力。下面介紹繪制橢圓曲線的八種方法與同行們商榷。一、定義法（到兩定點的距離和等于定長）選取“線段”工具，在繪圖板中作一線段AB（線段AB的長度為橢圓的長軸長2a）。用“點”工具在線段上任取一點C，按住shift鍵先后選中A，C點，選擇“變換”“標記向量 "AC"”。再用“點”工具再用點工具任取一點D，選中點D，選擇“變換”“平移”，選中“按標記的向量”，然后

2、確定，會得到點D'。 按住shift鍵，先后選中點D和D'，選擇“作圖”“以圓心和圓周上的點畫圓”，選中點D'，按Ctrl+H鍵將其隱藏。按住shift鍵，先后選中B，C點，選擇“變換”“標記向量 "BC"”。用點工具另作一點E，使其與D點的距離小于線段AB的長（線段DE的長為2c），選中點E，選擇“變換”“平移”，選中“按標記的向量”，然后確定，會得到點E'。圖1按住shift鍵，先后選中點E和E'，選擇“作圖”“以圓心和圓周上的點畫圓”，選中點E'，按Ctrl+H鍵將其隱藏。按住shift鍵，選中兩個圓的圓周，選擇“作圖”

3、“交點”（或按Ctrl+I鍵），作出交點F和G。以下可以分兩個方向進行：1.按住shift鍵，先后選中點F和點C，選擇“作圖”“軌跡”，作出橢圓的上半部分；同理先后選中點G和點C，作出橢圓的下半部分（如圖1）。2.按住shift鍵，先后選中點F，選擇“顯示”“追蹤點”，同樣選中點G和點C，選擇“顯示”“追蹤點”。按住shift鍵，先后選中點C和線段AB，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，彈出“匹配路徑”對話框，選擇“雙向”、“沿著線段j”、“慢慢地”，按“動畫”按鈕完成設(shè)置。這時，繪圖板上會出現(xiàn)一個“動畫”按鈕，雙擊“動畫”按鈕，就會自動畫出橢圓。完成，存盤退出。二、準線法（到定點的距離與到

4、定直線的距離之比為常數(shù)e）打開一個新的繪圖板，選擇“圖表”“建立坐標軸”。用“線段”工具作線段CD，在線段CD上任取一點E。同時選中點C和點E，選擇“度量”“距離”，量出CE的長。同樣量出CD的長。按住shift鍵，選中量出的CE和CD的距離，按鼠標右鍵彈出對話框，選擇“度量”“計算”。在打開的計算器中選擇“數(shù)值”“距離（C到E）”。選擇“/”“距離（C到D）”“確定”。在繪圖板上就會出現(xiàn)CE和CD的比值。用“文本工具”雙擊該值，彈出“度量值格式”對話框，選擇“T文本格式”。 將“距離（C到E）/距離（C到D）”改成“e”，確定，完成改變。選中點B，按Ctrl+H鍵隱藏，在X軸上取點F（F為橢

5、圓的一個焦點）。作線段GH，在其上取點I。用上面的方法量出GI的距離，并將其距離名稱改為c。選中c和e的值，打開計算器，將c除以e的值求出，并將其名改為a。選中a的計算值，選擇“圖表”“繪制度量值”，彈出“繪制度量值”對話框。選擇“H在橫(x)軸”，確定，作出垂直于x軸的一條直線。選中c的度量值，選擇“變換”“標記距離”，選中F點，選擇“變換”“平移”，彈出“平移”對話框，選擇“按標記的距離”，確定，作出點F平移后的點F'。圖2先后選中點F和點F'，選擇“作圖”“以圓心和圓周上的點畫圓”。選中該圓周和上面作出的垂直于x軸的直線，按Ctrl+I繪出交點J和K。 選中點J和點K，選

6、擇“顯示”“追蹤點”。選中點I和線段GH，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，彈出“匹配路徑”對話框，選擇“雙向”、“沿著線段n”、“慢慢地”，按“動畫”按鈕完成設(shè)置。這時，繪圖板上會出現(xiàn)一個“動畫”按鈕，雙擊“動畫”按鈕，就會自動畫出橢圓（如圖2）選中CE、CD、e、c和a的值，按Ctrl+H隱藏。完成，存盤退出。三、同心圓法。選擇“文件”“新繪圖”，選擇“圖表”“建立坐標軸”，用“圓”工具作兩圓心為原點的同心圓（外圓半徑長就是最終橢圓的長半軸長a，內(nèi)圓半徑長就是最終橢圓的短半軸長b），選中點B和圓周上的點C和D，按Ctrl+H鍵隱藏。圖3選擇“顯示”“線型”“虛線”，在外圓圓周上任取一點E

7、，按住shift鍵，同時選中點A和點E，按Ctrl+L作出線段AE，同時選中線段AE和內(nèi)圓圓周，按Ctrl+I鍵作出交點F。按住shift鍵，同時選中點E和縱坐標軸，選擇“作圖”“平行線”，作出一直線，再同時選中點F和橫坐標軸，選擇“作圖”“平行線”，作出另一直線。同時選中這兩條直線，按Ctrl+I鍵作出交點G。以下可以分兩個方向進行：1.選擇“顯示”“線型”“細線”，同時選中交點G和外圓圓周上的點E，選擇“作圖”“軌跡”就作出了橢圓（如圖3）。 完成，存盤退出。選擇“顯示”“線型”“細線”，選中點G，選擇“顯示”“追蹤點”。按住shift鍵，同時選中外圓圓周上的點E和外圓圓周，選擇“編輯”“

8、操作類按鈕”“動畫”，彈出“匹配路徑”對話框，選擇“單向”、“繞圓c2”、“快速地”，按下“動畫”按鈕確定。這時，繪圖板上會出現(xiàn)一個“動畫”按鈕，雙擊“動畫”按鈕，就會自動畫出橢圓。完成，存盤退出。四、單圓法（1）打開一個新的繪圖板，選取“圓”工具作一圓（圓的半徑長即2a），選中圓周上的點B，按Ctrl+H隱藏。在圓的內(nèi)部任選一點C（A，C即橢圓的交點）。在圓周上任取一點D，同時選中點C和點D，按Ctrl+L鍵作線段CD。選中線段CD，按Ctrl+M作出CD的中點E，再同時選中點E和線段CD，選擇“作圖”“垂線”，作出垂線k。同時選中點A和點D，按Ctrl+L鍵作線段AD。再同時選中垂線k和線

9、段AD，按Ctrl+I鍵作出交點F，想一想，點F到點A和點C的距離是不是定值。圖4選中點F，按Ctrl+T鍵追蹤點F。選中點D和圓周，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，彈出“匹配路徑”對話框，選擇“單向”、“繞圓c1”、“正常地”，按“動畫”按鈕完成設(shè)置。這時，繪圖板上會出現(xiàn)一個“動畫”按鈕，雙擊“動畫”按鈕，就會自動畫出橢圓（如圖4）。另外您也可以同時選中點F和點D，選擇“作圖”“軌跡”也可以作出該橢圓。完成，存盤退出五、單圓法（2）打開一個新的繪圖板，選擇“圖表”“建立坐標軸”，選中點B，按Ctrl+H鍵隱藏。用“圓”工具作一圓，圓心為原點A，圓周上的控制點為C，選中點C，按Ctrl+H

10、鍵隱藏。選中圓周和縱坐標軸，按Ctrl+I鍵作出交點D、E，在圓周上任取一點F。選擇工具箱里的“直線”工具（按下“線段”工具按鈕，向右拖動鼠標，就會看到“直線”工具按鈕），同時選中點E和點F，按Ctrl+L鍵作出過點E、F的直線。選中點F和縱坐標軸，選擇“作圖”“平行線”，作出平行于y軸的直線。選中該直線和橫坐標軸，按Ctrl+I鍵作出交點G。圖5同時選中點D和點G，按Ctrl+L鍵作出過點D、G的直線。同時選中直線EF和直線DG，按Ctrl+I鍵作出交點H。選中點H，選擇“顯示”“追蹤點”。同時選中點F和它所在的圓周，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，彈出“匹配路徑”對話框，設(shè)定為“單向”

11、、“繞圓c1”、“正常地”，按“動畫”按鈕確定，這時繪圖板上會出現(xiàn)“動畫”按鈕 此時雙擊“動畫”按鈕就會自動畫出橢圓（如圖5）。完成，存盤退出。六、三角形法。打開一個新的繪圖板，選擇“圖表”“建立坐標軸”，選中點B，按Ctrl+H隱藏。選取“線段”工具，作一任意長度的線段CD。在縱坐標軸上任取兩點E、F，使得該兩點到坐標原點A的距離都大于線段CD的長。選中點E、F，按Ctrl+L鍵作出線段EF。在縱坐標軸上取一點G，使得線段AG的長小于CD。選中點G和線段CD，選擇“作圖”“以圓心和半徑畫圓”。選中該圓周和橫坐標軸，按Ctrl+I鍵作出交點H和I。選中H點，按Ctrl+H鍵隱藏。選中點I和線段

12、CD，選擇“作圖”“以圓心和半徑畫圓”。選中兩個圓周，按Ctrl+I鍵作出交點K和J。選中點J，按Ctrl+H鍵隱藏。同時選中點G、I和K，按Ctrl+L鍵作出三角形。雙擊坐標原點A，將其標記為中心（也可按Ctrl+F鍵，還可選擇“變換”“標記中心 "A"”來完成該操作）。選中點K，選擇“變換”“旋轉(zhuǎn)”，彈出旋轉(zhuǎn)對話框。對話框中應(yīng)該顯示“關(guān)于中心原點A”，否則就是中心設(shè)得不正確。將框中的度數(shù)改為180，確定，就會的到點K'。同時選中點K和K'，選擇“顯示”“追蹤點”。圖6再同時選中點G和線段EF（選EF時需要注意：在線段EF上單擊是選中縱坐標軸，而非線段EF

13、，再單擊才是選中線段EF，然后需要單擊縱坐標軸上線段EF以外的地方來取消對縱坐標軸的選中，上述操作都需要按住shift鍵）。選擇“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，彈出匹配路徑對話框，設(shè)置為“雙向”、“沿著線段k”、“慢慢地”，按“動畫”按鈕完成設(shè)置。此時雙擊“動畫”按鈕就會自動畫出橢圓（如圖6）。 完成，存盤退出。另外，有兩點需要注意：1.只要是相交的兩條直線就可以作出橢圓，不一定要選擇坐標系的x軸和y軸。2.三角形GIK只要是固定形狀不變就可以了，不一定要選擇正三角形，選正三角形只是為了作圖的方便七、包絡(luò)線法。圖7打開一個新的繪圖板，用“圓”工具作一圓，圓心為A。在圓內(nèi)部任取一點C，在圓周上任

14、取一點D，連接AC和CD。選中線段CD，按Ctrl+M鍵作出線段CD的中點E，選中點E和線段CD。選擇“作圖”“垂線”作出一垂線。選中該垂線，選擇“顯示”“追蹤直線”。同時選中點D和它所在的圓周，選擇“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，彈出“匹配路徑”對話框，設(shè)定為“單向”、“繞圓c1”、“慢慢地”，按“動畫”按鈕確定，這時繪圖板上會出現(xiàn)“動畫”按鈕。此時雙擊“動畫”按鈕就會自動畫出橢圓（如圖7）。 完成，存盤退出。八、切線法。打開一個新的繪圖板，選擇“圖表”“建立坐標軸”，選中點B，按Ctrl+H鍵隱藏。用“圓”工具作一圓，圓心為原點A，圓周上的控制點為C，選中點C，按Ctrl+H鍵隱藏。選中圓周和橫坐標軸，按Ctrl+I鍵作出交點D、E。選中點D和橫坐標軸，選擇“作圖”“垂線”，作出垂線j，同樣的方法作出過E點垂直于橫坐標軸的直線k。圖8在圓周上任去一點F，同時選中點F和點A，按Ctrl+L鍵作出線段FA。再同時選中點F和線段FA，選擇“作圖”“垂線”作出該圓的切線。選中該切線和垂線j，按Ctrl+I鍵作出交點G，同樣的方法作出該切線和垂線k的交點H。連接點G和點E（同時選中兩點，按Ctrl+L鍵），