213函數(shù)的簡單性質(zhì)---奇偶性

1、第第2章章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)2.1.3 2.1.3 函數(shù)的簡單性質(zhì)函數(shù)的簡單性質(zhì)-奇偶性奇偶性觀察下圖，思考并討論以下問題：觀察下圖，思考并討論以下問題：(1) 兩個(gè)函數(shù)圖兩個(gè)函數(shù)圖像從對稱角度考察像從對稱角度考察有什么共同特征嗎？有什么共同特征嗎？(2) 怎樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖像的這種對稱性？怎樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖像的這種對稱性？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 對于這兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量任取一對相反數(shù)時(shí)，它們對于

2、這兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量任取一對相反數(shù)時(shí)，它們的函數(shù)值相等。的函數(shù)值相等。 即即f(-x)=f(x),這時(shí)我們稱這樣的函數(shù)為這時(shí)我們稱這樣的函數(shù)為偶函數(shù)偶函數(shù).情景創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)觀察下圖，思考并討論以下問題：觀察下圖，思考并討論以下問題：(1) 兩個(gè)函數(shù)圖兩個(gè)函數(shù)圖像從對稱角度考察像從對稱角度考察有什么共同特征嗎？有什么共同特征嗎？(2) 怎樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖像的這種對稱性？怎樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖像的這種對稱性？情景創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)f(x)=xf(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2

3、) f(-1)=-1=-f(1) 對于這兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量任取一對相反數(shù)時(shí)，它們對于這兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量任取一對相反數(shù)時(shí)，它們的函數(shù)值也成相反數(shù)。的函數(shù)值也成相反數(shù)。 即即f(-x)=-f(x),這時(shí)我們稱這樣的函數(shù)為這時(shí)我們稱這樣的函數(shù)為奇函數(shù)奇函數(shù).f(x)=1/x ; )( ,functionevenxfyxfxfxxf是是數(shù)數(shù)函函稱稱么么那那有有都都的定義域內(nèi)的任意一個(gè)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)一般地一般地偶函數(shù) ; )( ,functionoddxfyxfxfxxf是是那么稱函數(shù)那么稱函數(shù)都有都有的定義域內(nèi)的任意一個(gè)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)奇函數(shù)

4、 .,1整體性質(zhì)整體性質(zhì)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的具有奇偶性具有奇偶性我們就說函數(shù)我們就說函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)、如果函數(shù)、如果函數(shù)xfxf注：注： 2 2、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則，則x也一定也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）數(shù)學(xué)構(gòu)建數(shù)學(xué)構(gòu)建3 3、奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即、奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即 若若f(x)f(x)為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則f(-

5、x)=-f(x)有成立有成立. . 若若f(x)f(x)為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則f(- -x)=f(x)有成立有成立. .5、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱. 反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么就稱這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)點(diǎn)對稱，那么就稱這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù).4、偶函數(shù)的圖象關(guān)于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱軸對稱. 反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，軸對稱，那么就稱這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)那么就稱這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù).說明說明：奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于：奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于： A、簡化函數(shù)圖象的畫法、簡化函數(shù)圖象的畫法.

6、B、判斷函數(shù)的奇偶性、判斷函數(shù)的奇偶性( )f x（1）若則是偶函數(shù)；）若則是偶函數(shù)；( 1)(1),ff( )f x（2）若對于定義域內(nèi)的一些，使）若對于定義域內(nèi)的一些，使 則是偶函數(shù)；則是偶函數(shù)；x()( ),fxf x( )f x（3）若對于定義域內(nèi)的無數(shù)個(gè)，使若對于定義域內(nèi)的無數(shù)個(gè)，使 則是偶函數(shù)；則是偶函數(shù)；( )f xx()( ),fxf x（4）若對于定義域內(nèi)的任意，使若對于定義域內(nèi)的任意，使 則是偶函數(shù)；則是偶函數(shù)；x()( ),fxf x( )f x（5）若則不是偶函數(shù)。）若則不是偶函數(shù)。( 1)(1),ff( )f x對于定義在對于定義在 上的函數(shù)，上的函數(shù)，R【練習(xí)【練習(xí)

7、1】判斷：】判斷： .14; |23;22;11122xxfxxfxxfxxf函函數(shù)數(shù)或或奇奇函函數(shù)數(shù)判判定定下下列列函函數(shù)數(shù)是是否否為為偶偶例例 .Rxxf的定義域是函數(shù)解112 ,xfxxxfRx1122都有因?yàn)閷τ谌我獾?.是偶函數(shù)函數(shù)所以12 xxf .Rxxf的定義域是函數(shù)22 ,xfxxxfRx22都有因?yàn)閷τ谌我獾?.是奇函數(shù)函數(shù)所以xxf2判斷定義域是否判斷定義域是否關(guān)于數(shù)原點(diǎn)對稱關(guān)于數(shù)原點(diǎn)對稱驗(yàn)證驗(yàn)證下結(jié)論下結(jié)論(1)、先看（求）定義域，看是、先看（求）定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；否關(guān)于原點(diǎn)對稱；(2)、驗(yàn)證、驗(yàn)證f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒

8、成立.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：(3)、下結(jié)論、下結(jié)論 .14; |23;22;11122xxfxxfxxfxxf函函數(shù)數(shù)或或奇奇函函數(shù)數(shù)判判定定下下列列函函數(shù)數(shù)是是否否為為偶偶例例 .|Rxxf的定義域是函數(shù)23 ,|,xfxxxfRx22都有因?yàn)閷τ谌我獾?.|是偶函數(shù)函數(shù)所以xxf2 .Rxxf的定義域是函數(shù)214 .,11114101ffffff所以因?yàn)?.,函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶可知函數(shù)根據(jù)函數(shù)奇偶性定義因此21xxf【練習(xí)【練習(xí)2】下列判斷是否正確】下列判斷是否正確) ( 12x-x(3)f(x) ( x1x1x)(1(2)f(x) ( 1)() 1

9、 (22是非奇非偶函數(shù)是非奇非偶函數(shù)是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)xxxxf【練習(xí)【練習(xí)3】、判斷下列函數(shù)的奇偶性：】、判斷下列函數(shù)的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf (1)解：定義域?yàn)榻猓憾x域?yàn)镽 f(-x)=(-x)4=f(x)即即f(-x)=f(x)f(x)偶函數(shù)偶函數(shù)(2)解：定義域?yàn)榻猓憾x域?yàn)镽 f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)即即f(-x)=-f(x)f(x)奇函數(shù)奇函數(shù)(3)解：定義域?yàn)榻猓憾x域?yàn)閤|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即即f(-x)=-f(x)f(x)奇函數(shù)奇函數(shù)(4)解：定義

10、域?yàn)榻猓憾x域?yàn)閤|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x)即即f(-x)=f(x)f(x)偶函數(shù)偶函數(shù) 3 , 1,)() 5 ( 2xxxf .523是是否否具具有有奇奇偶偶性性判判斷斷函函數(shù)數(shù)例例xxxf .Rxxxf的定義域是函數(shù)解53 ,xfxxxxxxxfRx555333都有因?yàn)閷τ谌我獾?.為奇函數(shù)函數(shù)所以xxxf53 .1513是是否否具具有有奇奇偶偶性性函函數(shù)數(shù)：變變式式xxxf .5224是是否否具具有有奇奇偶偶性性函函數(shù)數(shù)：變變式式xxxf .15324是是否否具具有有奇奇偶偶性性函函數(shù)數(shù)：變變式式xxxf f(2) 1f(-2)5bxaxf(x)2005則則，且且思思

11、考考、設(shè)設(shè)9思考題：思考題：1、函數(shù)、函數(shù)y5是奇函數(shù)還是偶函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù) ？2、函數(shù)、函數(shù)y0是奇函數(shù)還是偶函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù) ？YYYYxx偶函數(shù)偶函數(shù)是偶函數(shù)也是奇函數(shù)是偶函數(shù)也是奇函數(shù)例例3、已知函數(shù)、已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖軸右邊的圖象如下圖，畫出在象如下圖，畫出在y軸左邊的圖象軸左邊的圖象.xy0解：畫法略相等相等思考：思考：從圖像你有何發(fā)現(xiàn)？從圖像你有何發(fā)現(xiàn)？ab-a-b在對稱區(qū)間上奇函數(shù)單調(diào)性同在對稱區(qū)間上奇函數(shù)單調(diào)性同, ,偶函數(shù)單調(diào)性反偶函數(shù)單調(diào)性反本課小結(jié)1、兩個(gè)定義：對于、兩個(gè)定義：對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x, 如果都有如果都有f(x)=-f(x) f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù) 如果都有如果都有f(x)=f(x) f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)2、三個(gè)性質(zhì)：、三個(gè)性質(zhì)： 一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù) 它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù) 它的圖象關(guān)于它的圖象關(guān)于y軸對稱軸對稱在對稱區(qū)間上奇函數(shù)單調(diào)性同在對稱區(qū)間上奇函數(shù)單調(diào)性同, ,偶函數(shù)單調(diào)性反偶函數(shù)單調(diào)性反的解析式。并畫出圖像的