以路徑積分求易行相變模型的解析解

1、以路徑積分求易行相變模型的解析解吳明佳中央研究院物理研究所e-mail: .tw摘 要傳統(tǒng)求易行模型的解析解多採用所謂的轉(zhuǎn)移矩陣（transfer matrix）方法，過程相當(dāng)複雜冗長，並且有其實(shí)質(zhì)上的應(yīng)用侷限。本文將介紹一種新的方法，稱為格拉施曼路徑積分法（Grassmann path integral approach）。這個(gè)方法可以有系統(tǒng)的求解一系列平面晶格上的易行模型，其過程較傳統(tǒng)方法簡化許多。 283 物理雙月刊（廿四卷二期）2002年4月在臨界現(xiàn)象的研究中，易行模型（Ising model）一直是物理學(xué)家很感興趣的一個(gè)模型。主要的原因之一，是因

2、為它的微觀交互作用模式非常簡單，卻能呈現(xiàn)出類似真實(shí)物理系統(tǒng)的相變行為；而對它的研究，不僅可以用來預(yù)測系統(tǒng)的行為，也可以增進(jìn)對真實(shí)物理系統(tǒng)相變機(jī)制的了解。關(guān)於易行模型的歷史，清華大學(xué)林克瀛教授曾於本刊之1984年八月號統(tǒng)計(jì)物理專輯系列中作過介紹，本文不再詳述。本文將著重於易行模型的解析解，尤其是介紹一種新的求解方法。關(guān)於二維易行模型的解析解，最早是由Onsager用李代數(shù)（Lie algebra）的方法解出來的 1。原來的方法相當(dāng)複雜，並且僅適用於正方形無限大晶格的情況。後來Kaufman使用自旋子表示法（spinor representation）將其簡化，並進(jìn)一步適用於有限大小的圓環(huán)面（to

3、rus）2。接著，Schultz、Mattis與Lieb以轉(zhuǎn)移矩陣（transfer-matrix）方法的架構(gòu)，給出明確的費(fèi)米處理3。另一方面，Kac與Ward4則發(fā)展組合方法（combinatorial method），並由Hurst與Green5嚴(yán)格地?cái)⑹龆S易行模型為自由費(fèi)米子場（free fermionic field）。雖然此後仍有許多方法被發(fā)展出來，但求解易行模型的解析解大部分仍採用轉(zhuǎn)移矩陣的方法。最近，俄國物理學(xué)家Plechko引進(jìn)一種新的方法6，利用格拉施曼變量（Grassmann variables）的反對易（anticommuting）性質(zhì)及其代數(shù)關(guān)係，以比較起來簡化許多的

4、推導(dǎo)，重覆Onsager 長方形無限晶格及後來Kaufman 的長方形有限晶格的解析解；他的方法也可以進(jìn)一步推廣到特定系列的平面晶格7,8，例如三角形、六邊形，與裝飾型（Decorated）的晶格 7-12。由於這個(gè)方法是一個(gè)相當(dāng)有系統(tǒng)的方法，已知對求解特定晶格模型的解析解很有效，但是目前僅應(yīng)用在相關(guān)晶格模型的研究上，也少為學(xué)者所熟知；因此，我們希望在本文中介紹這個(gè)方法，如此對於相關(guān)研究，甚至其他領(lǐng)域的研究的學(xué)者，也許可以提供一些新的想法。在本文中，我們除了將介紹這套方法的構(gòu)想之外，也將以格拉施曼路線積分方法為架構(gòu)，有系統(tǒng)地求解二維易行模型在一系列晶格的解析解。所謂的格拉施曼變量（Grassm

5、ann variables），是反對易的費(fèi)米變量，也就是說，一組格拉施曼變量，滿足下列反對易關(guān)係13： () 根據(jù)這個(gè)關(guān)係，任意格拉施曼變量的平方或更高次方為零， ()而任意格拉施曼變量的函數(shù)則可表示成有限項(xiàng)之和 ()其中f是普通的數(shù)字，而是1或0。格拉施曼變量的複數(shù)共軛定義為 ()而其共軛之共軛則定義為 ()在這個(gè)定義下，我們有下列關(guān)係 ()另外，格拉施曼變量的積分滿足移動(dòng)不變的性質(zhì)，亦即： ()其中為任意格拉施曼函數(shù)，為任意格拉施曼向量的任意分量。以格拉施曼積分求解二維易行模型的方法，又稱為格拉施曼路徑積分法（Grassmann path integral approach）。這個(gè)方法是根

6、據(jù)反對易格拉施曼變量的積分、線性排序分解（linear-ordering factorization）與鏡像排序分解（mirror-ordering factorization）的原理，而引進(jìn)格發(fā)施曼變量基本上是利用費(fèi)米分解（fermionic factorization）程序中數(shù)學(xué)上的等價(jià)，將耦合的自旋變量分離開來，然後再利用格拉施曼變量的反對易代數(shù)關(guān)係，找出晶格上易行自旋變量的循環(huán)關(guān)係，以簡化分配函數(shù)中自旋變量的求和計(jì)算。以這個(gè)方法求解二維易行模型解析解的程序大致上可以由下式來說明： ()系統(tǒng)配分函數(shù)（partition function）的原始形式係由自旋變量所寫成，經(jīng)由對每一個(gè)連結(jié)（l

7、ink）引進(jìn)一對格拉施曼變量，可以將原先耦合在一起的自旋變量分離開來，並將配分函數(shù)改寫成自旋變量與格拉施曼變量的混合表示；接著利用格拉施曼變量的代數(shù)關(guān)係與線性排序與鏡像排序規(guī)則，將表達(dá)式中的格拉施曼因子（Grassmann factor）重新排序，使得相同的自旋變量收集在一起，然後對這些變量取自旋平均，而得到一個(gè)完全由格拉施曼變量表示的配分函數(shù)；最後再對這些格拉施曼變量作傅立葉轉(zhuǎn)換（Fourier transform），便可求出系統(tǒng)配分函數(shù)與自由能的解析表達(dá)式。為了具體說明這個(gè)方法，以下我們實(shí)際求解定義於長方形、三角形與六邊形上的易行模型。由於這三種晶格可以寫成一個(gè)通式，我們將把三種晶格合併起

8、來討論，如此可以比較容易了解三種晶格的相似與差異之處。首先，我們考慮二維易行模型的配分函數(shù) ()其中為溫度的倒數(shù)，是是自旋耦合強(qiáng)度，是晶格點(diǎn)i上的自旋變量，符號表示所有自旋變量，符號表示晶格間僅有鄰近交互作用。根據(jù)波茲曼權(quán)重（Boltzmann weight）等式 ()其中，配分函數(shù)可以改寫成 ()其中為晶格點(diǎn)總數(shù)，為自旋變量平均值，其定義為 ()因此， ()如此一來，問題便簡化成簡約的配分函數(shù)（reduced partition function）的計(jì)算 ()接下來，我們?yōu)槊恳粋€(gè)連結(jié)引進(jìn)一對格拉施曼變量?；旧希窭┞兞康囊M(jìn)必須考慮晶格的對稱性。舉例來說，對於長方形晶格，我們對引進(jìn)兩組

9、格拉施曼變量，以分別處理橫向與縱向的自旋交互作用。對於三角形與六邊形的晶格，則引進(jìn)三組格拉施曼變量，以處理其三個(gè)方向的自旋交互作用。利用格拉施曼變量的反對易性質(zhì)，我們可以將局部鍵結(jié)的波茲曼權(quán)重（local bond Boltzmann weight）做費(fèi)米分解 ()其中 ()滿足下列規(guī)則 ()引進(jìn)格拉施曼變量之後，我們可以得到以格拉施曼變量與自旋變量混合表示的簡約配分函數(shù)，即： ()根據(jù)上述方法，對於之長方形、三角形與六邊形的平面晶格，如圖1所示，其配分函數(shù)可以寫成以下通式： ()其中是晶格的配位數(shù)（coordination number），對於正方形與三角形晶格，與的關(guān)係為 ，而對於六邊形晶

10、格，其關(guān)係則為。另外，稱為波茲曼因子（Boltzmann factors），其形式為：其中是晶格結(jié)構(gòu)的函數(shù)，具體的形式由下列等式?jīng)Q定：長方形：三角形：六邊形：在以格拉施曼變量與自旋變量混合表示配分函數(shù)的表達(dá)式中，波茲曼權(quán)重被分成包含不同自旋之波茲曼因子的乘積，每一個(gè)波茲曼因子具有一個(gè)格拉施曼變量。接下來，利用格拉施曼變量的反對易性質(zhì)，將波茲曼因子重新排序。排序的方法主要有兩種，即線性排序分解與鏡像排序分解，兩者皆利用成對波茲曼因子可互相交換次序的性質(zhì)。所謂的線性排序分解，是將波茲曼因子按順序排列，結(jié)果可以將成對的格拉施曼因子當(dāng)成一個(gè)單元，以符號表示，則為鏡像排序分解係利用逐次將一對波茲曼因子插

11、入另外一對波茲曼因子中間的程序來獲得，以符號表示，則為這些排序方法可以有系統(tǒng)地使相同自旋的波茲曼因子集中在一起，方便在隨後的自旋變量求和程序中，消除自旋的自由度。事實(shí)上，這個(gè)程序是格拉施曼方法求解過程中最重要與關(guān)鍵的步驟。值得注意的是，在上述的排序分解過程中，將波茲曼因子重新排序成線性或鏡像成對的形式，必須將每一個(gè)方向中的晶格點(diǎn)頭尾相接，因此必須設(shè)定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，如週期邊界條件（periodic boundary condition）或反週期邊界條件（anti-periodic boundary condition）。所謂的週期邊界條件，是指晶格在單一方向上頭尾相連，尾端晶格點(diǎn)上的自旋變量與

12、下一個(gè)晶格點(diǎn)上的自旋變量耦合時(shí)，下一個(gè)晶格點(diǎn)上的自旋變量與頭端晶格點(diǎn)上的自旋變量方向相同；而所謂的反週期邊界條件，則是尾端晶格點(diǎn)上的自旋變量與下一個(gè)晶格點(diǎn)上的自旋變量耦合時(shí)，下一個(gè)晶格點(diǎn)上的自旋變量與頭端晶格點(diǎn)上的自旋變量方向相反。以格拉施曼積分方法處理邊界問題基本上是比較簡單的，只需要找出自旋與格拉施曼變量在邊界上的關(guān)係即可。舉例來說，在週期邊界條件的情況中，我們要求第1個(gè)晶格點(diǎn)上自旋與第個(gè)晶格點(diǎn)上的自旋必須相同，亦即，而在格拉施曼路徑積分方法中，為了保持排序的規(guī)則，我們必須要求。結(jié)果，線性排序分解可以進(jìn)一步寫成： ()而鏡像排序分解則表示成 或 ()其中箭頭的方向表示波茲曼因子乘積的順序。

13、如此一來，原先自旋上的邊界條件變成加諸在格拉施曼變量上的邊界條件，而且兩者在符號的正負(fù)上剛好是相反的。包含邊界條件處理的線性排序分解與鏡像排序分解，可以進(jìn)一步推廣並應(yīng)用到二維的情況，但是排序的過程會(huì)遇到更多移動(dòng)格拉施曼變量的步驟，因此必須考慮格拉施曼變量的反對易代數(shù)關(guān)係，也因此情形會(huì)稍微複雜一些。其中，邊界波茲曼因子的處理會(huì)使簡約分配函數(shù)包含四個(gè)項(xiàng)，分別對應(yīng)到四種不同的邊界格拉施曼變量，亦即 ()其中表示週期週期邊界條件，表示週期反週期邊界條件，表示反週期週期邊界條件，則表示反週期反週期邊界條件，其中每一個(gè)均包含簡約配分函數(shù)的形式，而個(gè)別的之間，差別僅在於邊界上所設(shè)定的邊界格拉施曼變量關(guān)係。對

14、於這個(gè)關(guān)係，從推導(dǎo)過程來看，僅是含格拉施曼變量的邊界波茲曼因子的交換，由於反對易關(guān)係要求的結(jié)果，目的是為了和隨後的傅立葉轉(zhuǎn)換要求相符。但是事實(shí)上，從晶格場論的觀點(diǎn)來看，包含四個(gè)項(xiàng)有其他的含意 14。由於四種邊界條件的簡約配分函數(shù)所包含的組成波茲曼因子都一樣，我們可以僅計(jì)算其中一種情況，最後再做代換。不過，即使如此簡化，整個(gè)過程仍然相當(dāng)冗長，在此我們僅將結(jié)果寫下來，有興趣的讀者可以參考參考文獻(xiàn) 6,9,10,11,13。經(jīng)過處理之後，等式（22）中簡約配分函數(shù)的第四項(xiàng)可以寫成： ()在這個(gè)表示式中，所有包含相同自旋的波茲曼因子都集中在一起，因此可以直接計(jì)算自旋平均值。結(jié)果，便得到下式：()其中

15、()等式（22）中的其他三項(xiàng)，具有與相同的形式。在這個(gè)表達(dá)式中，配分函數(shù)已經(jīng)完全以格拉施曼變量來表示。這個(gè)表達(dá)式對研究對應(yīng)的場論非常方便，僅需要適當(dāng)?shù)囟x格拉施曼變量所對應(yīng)的費(fèi)米子場，便可以用來證明二維易行晶格所對應(yīng)的自由費(fèi)米子場論。由於簡約配分函數(shù)中格拉施曼變量互相耦合，為了獲得解析解，我們進(jìn)一步使用傅立葉轉(zhuǎn)換的技巧，來計(jì)算格拉施曼積分。我們定義： ()其中分別表示格拉施曼變量與。整個(gè)積分過程包含六個(gè)變量的積分，因此比較複雜，但是過程中有許多對稱性可以依循，所得的結(jié)果也非常簡潔。下列是計(jì)算結(jié)果： ()其中分別為：長方形：三角形：六邊形：依據(jù)等式（22），將等式（27）設(shè)定成對應(yīng)到四種邊界格拉

16、施曼變量的值，然後代入原始配分函數(shù)（22），便可得到兩邊都是週期邊界條件的解析解 ()其中 ()對於其他邊界條件，結(jié)果為： () () ()由於熱力學(xué)函數(shù)可以從配分函數(shù)導(dǎo)出，因此解出配分函數(shù)的解析解便可得到所有導(dǎo)出量，包括系統(tǒng)的自由能、內(nèi)能與比熱。其中，均向耦合（isotropic coupling）、週期邊界條件情況的有限晶格的比熱圖形如圖2所示。另外，臨界溫度係由無限大系統(tǒng)的自由能零點(diǎn)所決定，我們可以經(jīng)由計(jì)算滿足下列條件的耦合常數(shù)來決定臨界溫度， ()所得的結(jié)果為長方形： 三角形：六邊形：至此，我們已經(jīng)利用格拉施曼路徑積分方法求出二維易行模型的解析解。從求解的過程可以發(fā)現(xiàn)，以這個(gè)方法求解易

17、行模型主要是利用格拉施曼變量的反對易性質(zhì)與波茲曼因子的排序分解原理。對於一維與二維的易行模型，這種反對易關(guān)係可以將原先對自旋變量的求和平均，轉(zhuǎn)換成對格拉施曼變量的代數(shù)與積分計(jì)算。至於三維晶格的情況，自旋變量耦合化成波茲曼因子分解的代數(shù)，並不是單純的反對易關(guān)係，這個(gè)方法尚未應(yīng)用到三維的易行模型。另外，在利用這個(gè)方法求解解析解的過程中，我們利用格拉施曼變數(shù)的代數(shù)簡化求和的計(jì)算，使原先複雜的自旋耦合求和，變成相同自旋變量集中在一起的自旋平均計(jì)算，在這方面使得求解的問題簡化許多，但是付出的代價(jià)則是必須考慮波茲曼因子分解，與線性、鏡像排序分解的原則，以及最後的傅立葉轉(zhuǎn)換積分，其中仍有相當(dāng)多的代數(shù)推導(dǎo)與複

18、雜的計(jì)算。所以嚴(yán)格說起來，這個(gè)方法最有效益的應(yīng)該是它可以提供一套有系統(tǒng)的求解架構(gòu)，只要符合限制條件，並依據(jù)規(guī)則逐步推導(dǎo)，就可以將解析解解出。致謝筆者經(jīng)由中原大學(xué)物理系黃敏章教授的指導(dǎo)學(xué)習(xí)這套方法，學(xué)習(xí)過程中獲得中央研究院計(jì)算中心廖聰明博士與V. N. Plechko教授的協(xié)助，在此表示感謝。另外，中央研究院物理研究所胡進(jìn)錕教授指導(dǎo)筆者對相關(guān)課題作進(jìn)一步的研究，在此也一併表示感謝之意。 參考資料1.L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944)2.B. Kaufman, Phys. Rev. 76, 1232 (1949)3.T. D. Shultz, D. C. Mattis and E. H. Lieb, Phys. Rev. E 60, 2716 (1964)4.M. Kac and J. C. Ward, Phys. Rev. 88, 1332 (1952)5.H. S. Green and C. A. Hurst, Order-disorder phenomena (New York: Interscience, 1964)6.V. N. Plechko, Theor. Math. Phys. 64, 748 (1985)7.V. N. Plechko, Physica A 152, 51 (1988)8.V. N. Plechko and