傳遞函數(shù)矩陣的狀態(tài)空間最小實現(xiàn)

1、淺談傳遞函數(shù)矩陣最小實現(xiàn)方法降階法120090080 何姍 電院人們在設(shè)計復(fù)雜系統(tǒng)時，總是希望在構(gòu)造系統(tǒng)之前用模擬計算機或數(shù)字計算機對所設(shè)計的系統(tǒng)進行仿真，以檢查系統(tǒng)性能是否達到指標要求。給定嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣，為尋找一個維數(shù)最小的（A,B,C）,使，則稱該（A,B,C）是的最小實現(xiàn)，也稱為不可約實現(xiàn)。最小實現(xiàn)是系統(tǒng)實現(xiàn)的一種非常重要的實現(xiàn)方式，關(guān)于最小實現(xiàn)的特性，有下列幾個重要結(jié)論：（1）（A,B,C）為嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣的最小實現(xiàn)的充要條件是（A,B）能控且（A,C）能觀測。（2）嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣的任意兩個最小實現(xiàn)（A,B,C）與之間必代數(shù)等價，即兩個最小實現(xiàn)之間由非奇異線性變換陣T使得

2、式子成立。（3）傳遞函數(shù)矩陣的最小實現(xiàn)的維數(shù)為的次數(shù)，或的極點多項式的最高次數(shù)。為了尋求傳遞函數(shù)矩陣的最小實現(xiàn)，就意味著要把系統(tǒng)中不能控和不能觀測的狀態(tài)變量消去而不至于影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。求最小實現(xiàn)的方法有三種：1、降階法。根據(jù)給定的傳遞函數(shù)矩陣，第一步先寫出滿足的能控型實現(xiàn)，第二步從中找出能觀測子系統(tǒng)；或者第一步先寫出滿足的能觀測型實現(xiàn)，第二步從中找出能控子系統(tǒng)，均可求得最小實現(xiàn)。2、直接求取約當型最小實現(xiàn)的方法。若諸元容易分解為部分分式形式，運用直接求取約當型最小實現(xiàn)的方法是較為方便的。3用漢克爾矩陣法求取最小實現(xiàn)的方法。下面主要研究降階法（先求能控型再求能觀測子系統(tǒng)的方法）并舉例說明。先

3、求能控型再求能觀測子系統(tǒng)的方法設(shè)（p×q）傳遞函數(shù)矩陣，且pq時，優(yōu)先采用本法。取出的第j列，記為，是至的傳遞函數(shù)矩陣，有=記為,的最小公倍式，則=設(shè)=則 ， 在此是q個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分，由單輸入-多輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)可知，能用能控規(guī)范型的、實現(xiàn)，由的諸系數(shù)確定，這時的實現(xiàn)為 令，便可得的實現(xiàn)為 當pq時，顯見A、B、C的維數(shù)均較小，且有。上述實現(xiàn)一定能控，但不一點能觀測，需要找出能觀測部分，為此需要判別（A,C）的能觀測行。若（A,C）能觀測，則（A,B,C）為最小實現(xiàn)；若則從中選出個線性無關(guān)行，記為S；在附加（）個任意行（通常為單位矩陣的任意行），記為，即, 構(gòu)造的非奇異變換

4、陣T，引入變換，由能觀測性的結(jié)構(gòu)分解可知 其中能觀測子系統(tǒng)即為所求的最小實現(xiàn)。有如下簡化求法：記為由， 有由， 有由，有由 ， 有于是由能控型化為能控能觀測型的簡化步驟可歸結(jié)為：1.構(gòu)造S陣（從中選出個線性無關(guān)行）；2.由，求出U陣；3.計算最小實現(xiàn)。， ， 。由于S選擇的任意性及求解U的任意性，最小實現(xiàn)不唯一，但最小實現(xiàn)的維數(shù)是唯一的，且系統(tǒng)都是能控能觀測的。下面舉例說明該法。例1、已知傳遞函數(shù)矩陣，求最小實現(xiàn)。解: 化為嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣求的最小實現(xiàn)。 令，其能控規(guī)范型實現(xiàn)為 的能控型實現(xiàn)為 (A,C)的能觀測性判別：由于即(A,C)能觀測。（A,B,C）能控且能觀測，即為的最小實現(xiàn)。的最小實現(xiàn)為（A,B,C,D）。例2、求下列的最小實現(xiàn)維數(shù)及最小實現(xiàn)解（1）確定最小實現(xiàn)維數(shù)：所有的一階子式的最小公分母為；二階子式只有一個0，其分母為任意常數(shù)。故所有子式的最小公分母仍為，有=2。（2） 令，其能控規(guī)范型實現(xiàn)為, (A,C)的