流體力學(xué)教案第12章氣體的二維超聲速速流動(dòng)

1、第十二章 氣體的二維超聲速流動(dòng) 在航空和動(dòng)力工程等實(shí)際問(wèn)題中，除已討論過(guò)的一維流動(dòng)問(wèn)題外，還常遇到三維流動(dòng)問(wèn)題。一般說(shuō)來(lái)，三維流動(dòng)問(wèn)題的分析和處理是比較困難的。因此，往往通過(guò)對(duì)二維流動(dòng)的研究來(lái)進(jìn)一步了解可壓縮流體流動(dòng)的主要現(xiàn)象和特征，為處理三維流動(dòng)問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。本章主要討論超聲速流動(dòng)的馬赫波、膨脹波和斜激波等可壓縮流體流動(dòng)的最重要的物理現(xiàn)象，并研究其特征和處理方法，這在氣體動(dòng)力學(xué)中具有典型意義。§12-1 空間流場(chǎng)中微弱擾動(dòng)波的傳播 圖12-1 微弱擾動(dòng)在流場(chǎng)中的傳播4a3a2aaO=0(a)4a3a2aaO<a234(b)4a3a2aaO>a234馬赫錐AB(d)4a3

2、a2aaO=a234馬赫錐AB(c)通過(guò)對(duì)不同速度的流場(chǎng)中微弱擾動(dòng)波的傳播情況說(shuō)明超聲速流動(dòng)和亞聲速流動(dòng)的差別。1靜止流場(chǎng) 在靜止流場(chǎng)中，空間某點(diǎn)存在一微弱擾動(dòng)源，它所產(chǎn)生的擾動(dòng)波以聲速a向四周傳播，形成以擾動(dòng)源所在位置O為中心的同心球面波，如圖12-1a所示。如果不考慮擾動(dòng)波的傳播過(guò)程中的損失，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，擾動(dòng)必將傳遍整個(gè)流場(chǎng)。2均勻亞聲速流場(chǎng) 在均勻亞聲速流場(chǎng)中，處于某一固定點(diǎn)上有一小擾動(dòng)源，它所產(chǎn)生的擾動(dòng)波如圖12-1b所示。由于流體本身以速度V運(yùn)動(dòng)，故擾動(dòng)波傳播的絕對(duì)速度應(yīng)是兩個(gè)速度的矢量和。由于V<a，故擾動(dòng)波面是由一串不同心的球面所組成。 顯然，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，擾動(dòng)也可以

3、傳遍整個(gè)流場(chǎng)。3均勻聲速流場(chǎng) 在均勻速流場(chǎng)中，處于某一固定點(diǎn)的一個(gè)小擾動(dòng)源所產(chǎn)生的擾動(dòng)波如圖12-1c所示 。由于V=a，故擾動(dòng)波是與擾動(dòng)源相切的一系列球面?？梢钥闯?，任何擾動(dòng)只能在擾動(dòng)源所在的垂直平面的下游半空間傳播，永遠(yuǎn)不可能傳播到上游半空間。4均勻超聲速流場(chǎng) 在均勻超聲速流場(chǎng)，擾動(dòng)波的傳播情況如圖12-1d所示，由于V>a，擾動(dòng)波面由自擾動(dòng)源點(diǎn)出發(fā)的錐面的一系列內(nèi)切球面所組成。通常稱此錐為馬赫錐。顯然，擾動(dòng)只能在馬赫錐內(nèi)傳播，永遠(yuǎn)不會(huì)傳播到馬赫錐以外的空間。 馬赫錐的半頂角稱為馬赫角，用表示。由圖可容易看出，它與馬赫數(shù)的關(guān)系為： (1)馬赫錐通常也稱為馬赫波。馬赫波就是超聲速氣流受

4、到微弱擾動(dòng)時(shí)，所形成的已受擾動(dòng)影響和未受擾動(dòng)影響的分界面。三維流場(chǎng)形成錐形波面；二維流場(chǎng)則形成相交的平面波，而不呈錐形，故稱馬赫波比馬赫錐具有更廣泛的意義，穿過(guò)馬赫波，氣流狀態(tài)參數(shù)發(fā)生微變化，其變化過(guò)程為等熵過(guò)程。§12-2 超聲速氣流的小角折轉(zhuǎn)流動(dòng) 均勻超聲速氣流沿平壁流動(dòng)，在O點(diǎn)折轉(zhuǎn)一小角度，如圖12-2所示，由于壁面存在折角，必然對(duì)氣流產(chǎn)生擾動(dòng)，折角即為一擾動(dòng)源。根據(jù)上節(jié)討論的超聲速氣流中擾動(dòng)傳播特征，擾動(dòng)將在由折轉(zhuǎn)點(diǎn)O所發(fā)生的馬赫波的下游區(qū)域內(nèi)傳播，馬赫波上游的區(qū)域不受擾動(dòng)的影響。經(jīng)馬赫波，氣流的速度由V變?yōu)閂+，氣流的方向也由水平方向折轉(zhuǎn)一個(gè)小角度，沿平行于折轉(zhuǎn)后的壁面的方

5、向流動(dòng)。dqmOVV+dV圖12-2超聲速氣流的小角折轉(zhuǎn)流動(dòng) 為求出折角與速度變化量之間的關(guān)系，我們建立沿馬赫波方向的動(dòng)量方程 (1)式中，為穿過(guò)馬赫波每單位面積上的質(zhì)量流量。展開(kāi)上式，考慮到，故，并略去高階小量，得 由于，故，代入式中，得 (2) 因?yàn)槌曀倭鲃?dòng)，M>1，根號(hào)下的值永遠(yuǎn)為正，故當(dāng)>0時(shí)，dV>0，即繞凸鈍角流為加速流動(dòng)，或膨脹性流動(dòng)，對(duì)應(yīng)的馬赫波為膨脹性馬赫波。若<0，則dV <0，即繞凹鈍角的流動(dòng)為減速流動(dòng)，或壓縮性流動(dòng)，對(duì)應(yīng)的馬赫波為壓縮性馬赫波。 利用能量方程、馬赫數(shù)的表達(dá)式等，可消去上式中的V和dV，得到與dM的關(guān)系式 (3) 此式即為超

6、聲速氣流小角折轉(zhuǎn)計(jì)算式，它描述了折角與馬赫數(shù)變化之間的關(guān)系。式中折角以弧度計(jì)，膨脹性折轉(zhuǎn)(外折)的符號(hào)為正；壓縮性折轉(zhuǎn)(內(nèi)折)為負(fù)。見(jiàn)圖122。§12-3 膨脹波 超聲速氣流沿平壁流動(dòng)時(shí)，遇到微小折角會(huì)產(chǎn)生一道馬赫波，經(jīng)過(guò)馬赫波，氣流速度的大小和方向均發(fā)生微小變化，如果壁面發(fā)生一系列折角如圖12-3a所示，則在每個(gè)折角處產(chǎn)生一道馬赫波。因?yàn)槭桥蛎浾坜D(zhuǎn)，dq為正，經(jīng)波后氣流馬赫數(shù)增大，即dM為正，故馬赫波與水平方向的夾角越來(lái)越小。這來(lái)自兩個(gè)原因：一是馬赫角減小，一是氣流也在偏轉(zhuǎn)。若壁面連續(xù)地折轉(zhuǎn)，相當(dāng)于流過(guò)平滑曲線壁面，如圖12-3b所示，則會(huì)形成一個(gè)連續(xù)變化的擾動(dòng)區(qū)。當(dāng)壁面的彎曲部分

7、收縮為一點(diǎn)，即在一點(diǎn)集中產(chǎn)生一個(gè)有限大的折角時(shí)，如圖12-3c所示，則擾動(dòng)區(qū)中的所有馬赫波均由此點(diǎn)出發(fā)，形成一個(gè)扇形擾動(dòng)區(qū)，氣流通過(guò)擾動(dòng)區(qū)連續(xù)變化，直到通過(guò)最后一道馬赫波達(dá)到與壁面平行為止。在此應(yīng)注意，壁面是集中一次折轉(zhuǎn)了q角，但所引起的氣流的膨脹卻是在擾動(dòng)區(qū)內(nèi)連續(xù)發(fā)生，而不是“突躍”變化，也就是說(shuō)，這些馬赫波雖自一點(diǎn)發(fā)生，但并不會(huì)疊加在一起，而是呈發(fā)散狀，形成一個(gè)扇形的變化區(qū)，其原因正如上面所述，即m在逐步減小，氣流也在不斷偏轉(zhuǎn)。 前節(jié)推導(dǎo)的(3)式適用于上述各種情況下的任一馬赫波，若將該式積分，便可求得超聲速氣流的馬赫數(shù)與折角q 的關(guān)系式： (4)式中M1為折轉(zhuǎn)前氣流的馬赫數(shù)，M2為折轉(zhuǎn)后

8、的馬赫數(shù)。這里必須指出，折轉(zhuǎn)角q只要是使超聲速氣流發(fā)生膨脹性折轉(zhuǎn)即可應(yīng)用此式求之，而不必考慮它是左旋還是右旋。 若起始馬赫數(shù)M1=1，上式可寫(xiě)成： (2)它表示起始馬赫數(shù)M1=1的氣流沿壁面折轉(zhuǎn)膨脹時(shí)，折轉(zhuǎn)角q與折轉(zhuǎn)后馬赫數(shù)的關(guān)系。q是M數(shù)的函數(shù)，故寫(xiě)成q =q(M)。該函數(shù)稱為普朗特一麥耶(Prandtl-Mayer)函數(shù)。實(shí)用中將此函數(shù)的計(jì)算結(jié)果列成表格以備查用。 由式(2)還可以求出由M1=1膨脹到M=¥時(shí)的最大折轉(zhuǎn)角qmax，即 (3)對(duì)于空氣，k=1.4 qmax=130°27圖12-3dqdqdqdqM1M2M1M2qM1M2(a)(b)(c)§12-

9、4 斜激波一、斜激波的形成超聲速氣流遇到壓縮性小角折轉(zhuǎn)時(shí)，將產(chǎn)生壓縮性馬赫波，如圖12-4a所示。超聲速氣流在A點(diǎn)遇到一微小折角的擾動(dòng)，則由A點(diǎn)起產(chǎn)生一道馬赫波，經(jīng)馬赫波后，氣流的方向?qū)⑵D(zhuǎn)一微小角度，氣流的速度及壓強(qiáng)、密度等均發(fā)生一微小變化，由于是壓縮性折轉(zhuǎn)，波后氣流馬赫數(shù)小于波前馬赫數(shù)。如果氣流再發(fā)生角的折轉(zhuǎn)(如圖12-4b)，則又會(huì)產(chǎn)生壓縮性馬赫波，馬赫波的斜率將大于前一馬赫波的斜率。這是由于M數(shù)的減小使馬赫角增大，再加上氣流也向內(nèi)折轉(zhuǎn)了之故，若壁面繼續(xù)折轉(zhuǎn)，則后面所形成的波的斜率就會(huì)越來(lái)越大，致使這些波會(huì)相遇而疊加起來(lái)(圖12-4b的上邊部分)形成一道強(qiáng)壓縮擾動(dòng)波，即為激波。如果由A到

10、D的逐次折轉(zhuǎn)中，使D無(wú)限接近A點(diǎn)，則這些波將在A點(diǎn)疊加成一道與氣流夾角為的斜激波,氣流在A點(diǎn)一次折轉(zhuǎn)角。因激波面與來(lái)流方向呈傾斜狀態(tài)，故稱斜激波。頭部呈尖角形的物體的氣體中以超聲速運(yùn)動(dòng)時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)斜激波，見(jiàn)圖12-5。斜激波和正激波一樣，都是突躍壓縮波，具有相同的基本特性。(d)qM1M2(c)M1(b)ABCDdqM1M2(a)AM1>1圖12-4 物體頭部的斜激波M2二、斜激波前后氣流參數(shù)的關(guān)系平面超聲速氣流中存在一固定斜激波(見(jiàn)圖12-6)。激波前氣流參數(shù)分別為、和，激波后為、和。將激波前后的速度分解為與波面垂直的分速度和，以及與波面平行的分速度和。圖12-6斜激波前后的速度 由于

11、通過(guò)激波波面的流量與沿波面的切向分速度和無(wú)關(guān)，故連續(xù)方程為 (1)切向動(dòng)量方程為 (2)由上述兩方程可得 (3) 該式表明，斜激波前后的切向速度相同。這樣，當(dāng)氣流穿過(guò)激波時(shí)，只有法向速度發(fā)生突變。因此，可以將斜激波看成是法向速度的正激波，波前速度,波后速度為。以M1sin代替正激波關(guān)系式，便可得斜激波前后氣流參數(shù)間的關(guān)系 (4) (5) (6) (7) (8) (9) 斜激波前后的馬赫數(shù)關(guān)系類似正激波，但需以M2n=M2sin(-)和M1n=M1sin分別代替式中的M2和M1而得到 (10) 對(duì)于蘭金一雨貢鈕式，因其中不包含馬赫數(shù)，也不包含激波傾角，所以對(duì)正激波和斜激波都適用。三、激波傾角與氣

12、流折角的關(guān)系 由圖12-6的幾何關(guān)系知 ， 又知，故可得到 利用(5)式，得 整理后，可以得到 (11) 為便于應(yīng)用，將關(guān)系式(11)繪成曲線，如圖12-7所示，由圖可以看出，曲線為雙值函數(shù)。 (1) 在下面兩種情況下，氣流折角： 當(dāng)，即時(shí)，也就是激波傾角等于馬赫角時(shí)，激波強(qiáng)度為無(wú)限小，激波成為馬赫波。當(dāng)ctg=0，即=時(shí)，這是正激波情況。 可見(jiàn)，馬赫波和正激波都是斜激波的兩種極限情況。 (2) 對(duì)于每一個(gè)給定的馬赫數(shù)M1，氣流偏轉(zhuǎn)角都存在一個(gè)極大值。 (3) 對(duì)于每一個(gè)給定的馬赫數(shù)M1，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)有兩個(gè)值。小值對(duì)應(yīng)于較弱的激波，大值對(duì)應(yīng)于較強(qiáng)激波。 (4) 波后的氣流馬赫數(shù)M2，可能小于1，

13、也可能大于1，它取決于激波傾角，氣流折角和馬赫數(shù)M1。四、脫體激波 由圖12-7可以看出，對(duì)于確定的來(lái)流馬赫數(shù)M1，對(duì)應(yīng)一個(gè)最大的偏轉(zhuǎn)角，當(dāng)壁面偏轉(zhuǎn)角時(shí)，在圖中的曲線上沒(méi)有交點(diǎn)，在楔尖處不存在斜激波，而是在前部一定距離處形成一道曲線形激波，如圖12-8所示。這就是脫體激波。脫體激波的形狀和位置取決于物體的幾何形狀、下游條件和來(lái)流馬赫數(shù)。脫體波的中間部分為正激波，經(jīng)正激波后的流動(dòng)為亞聲速流動(dòng)。由中間向兩側(cè)延伸的激波逐漸傾斜，激波傾角逐漸減少，激波強(qiáng)度逐漸減弱。故脫體激波為非等強(qiáng)度激波。超聲速氣流中的鈍頭物體(如圖12-8c所示)，只要來(lái)流馬赫數(shù)大于1，必然在其前方出現(xiàn)脫體激波。§12-5 拉伐爾噴管的非設(shè)計(jì)工況流動(dòng)分析 在變截面流一節(jié)中，已討論過(guò)氣體在拉伐爾噴管中按設(shè)計(jì)工況流動(dòng)時(shí)，背壓必須等于計(jì)算出口壓強(qiáng),否則，得不到予計(jì)的超聲速氣流(見(jiàn)圖12-9)。若時(shí)，噴管內(nèi)為完全亞聲速流動(dòng)。 下面我們討論當(dāng)背壓在和之間的情況。 當(dāng)出口背壓略低于，如為時(shí)，在喉部下游某處產(chǎn)生一正激波，激波后氣流為亞聲速，隨通道截面的擴(kuò)張而減速、增壓，在出口壓強(qiáng)達(dá)到。隨著背壓的降低，激波向下游移動(dòng)，直到當(dāng)時(shí)，激波移動(dòng)到管口處，若管口壓強(qiáng)再降低，激波將逐步