復變函數(shù)及其代數(shù)運算1-4ppt課件

1、第四節(jié) 區(qū) 域一、區(qū)域的概念二、單連通域與多連通域三、典型例題四、小結(jié)與思考2一、區(qū)域的概念一、區(qū)域的概念1. 鄰域鄰域:. : )( , 000的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)部部的的點點的的集集合合稱稱為為的的圓圓為為半半徑徑任任意意的的正正數(shù)數(shù)為為中中心心平平面面上上以以zzzz 說明說明. , 0 , 點的鄰域點的鄰域稱為無窮遠稱為無窮遠其中實數(shù)其中實數(shù)所有點的集合所有點的集合的的且滿足且滿足包括無窮遠點自身在內(nèi)包括無窮遠點自身在內(nèi) MMz32.去心鄰域去心鄰域:. 0 00的的去去心心鄰鄰域域集集合合為為所所確確定定的的點點的的稱稱由由不不等等式式zzz 說明說明. . , , zMMz可以表示為可

2、以表示為域域稱為無窮遠點的去心鄰稱為無窮遠點的去心鄰的所有點的集合的所有點的集合僅滿足僅滿足內(nèi)內(nèi)不包括無窮遠點自身在不包括無窮遠點自身在43.內(nèi)點內(nèi)點:. , , . , 000的內(nèi)點的內(nèi)點稱為稱為那末那末于于該鄰域內(nèi)的所有點都屬該鄰域內(nèi)的所有點都屬的一個鄰域的一個鄰域存在存在如果如果中任意一點中任意一點為為為一平面點集為一平面點集設設GzGzGzG4.開集開集: 假如假如 G 內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,那末那末G 稱稱為開集為開集.55.區(qū)域區(qū)域: 如果平面點集如果平面點集D滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件,則稱它則稱它為一個區(qū)域為一個區(qū)域.(1) D是一個開集；是一個開集；

3、(2) D是連通的是連通的,就是說就是說D中任何兩點都可以用中任何兩點都可以用完全屬于完全屬于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來.6.邊界點、邊境邊界點、邊境: 設設D是復平面內(nèi)的一個區(qū)域是復平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點如果點 P 不屬不屬于于D, 但在但在 P 的任意小的鄰域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點中的點,這樣的這樣的 P 點我們稱為點我們稱為D的邊界點的邊界點.6D的所有邊界點組成的所有邊界點組成D的邊界的邊界.說明說明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的的點所組成的. (2) 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域與它的邊界

4、一起構(gòu)成閉區(qū)域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C7以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點邊界點邊境邊境7.有界區(qū)域和無界區(qū)域有界區(qū)域和無界區(qū)域:. , , 0, , 界界的的否否則則稱稱為為無無稱稱為為有有界界的的那那末末點點都都滿滿足足使使區(qū)區(qū)域域的的每每一一個個即即存存在在為為中中心心的的圓圓里里面面點點可可以以被被包包含含在在一一個個以以原原如如果果一一個個區(qū)區(qū)域域DMzMD 8(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習課堂練習判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形

5、域角形域:;arg0 z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo9二、單連通域與多連通域二、單連通域與多連通域1. 連續(xù)曲線連續(xù)曲線:. , )( ),( , )( , )( )( 稱為連續(xù)曲線稱為連續(xù)曲線表一條平面曲線表一條平面曲線代代那末方程組那末方程組是兩個連續(xù)的實變函數(shù)是兩個連續(xù)的實變函數(shù)和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲線的復數(shù)表示平面曲線的復數(shù)表示:)().()()(btatiytxtzz 102. 光滑曲線光滑曲線:.0, )( )( , , )( )( , 22稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的那末那末有有的

6、每一個值的每一個值且對于且對于都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. .xyoxyo113. 簡單曲線簡單曲線:. )( )( , )()( :的的起起點點和和終終點點分分別別稱稱為為與與為為一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線設設CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的的重重點點稱稱為為曲曲線線點點時時而而有有當當與與的的對對于于滿滿足足Ctztztzttttbtabta 沒有重點的曲線沒有重點的曲線 C 稱為簡單曲線稱為簡單曲線(

7、或若爾或若爾當曲線當曲線).12. , )( )( , 為簡單閉曲線為簡單閉曲線那末稱那末稱即即的起點和終點重合的起點和終點重合如果簡單曲線如果簡單曲線CbzazC 換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡單任意一條簡單閉曲線閉曲線 C 將復平面將復平面唯一地分成三個互唯一地分成三個互不相交的點集不相交的點集.xyo內(nèi)部內(nèi)部外部外部邊境邊境13課堂練習課堂練習 判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線?答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉 )(az)(bz )(az)(bz )(a

8、z)(bz )(az)(bz 144. 單連通域與多連通域的定義單連通域與多連通域的定義: 復平面上的一個區(qū)域復平面上的一個區(qū)域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一條簡單閉曲線條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為就稱為單連通域單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為就稱為多連通域多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域15三、典型例題三、典型例題例例1 1 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是有界的還是無界的是無界的,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的. 111)5(; 411)4(; 31)3

9、(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(時時當當iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).163arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圓的外部的圓的外部半徑為半徑為是以原點為中心是以原點為中心無界的多連通域無界的多連通域. 17411)4( zz表示到表示到1, 1的距離之的距離之和為定值和為定值4的點的軌跡的點的軌跡, 是橢圓是橢圓,411 zz ,411表表示示該該橢橢圓圓內(nèi)內(nèi)部部 zz

10、有界的單連通域有界的單連通域.18111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz邊邊界界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也也稱稱雙雙紐紐線線是是雙雙葉葉玫玫瑰瑰線線 r ,111是其內(nèi)部是其內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域.19例例2 2解解 滿足下列條件的點集是什么滿足下列條件的點集是什么, 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域?, 3Im)1( z是一條平行于實軸的直線是一

11、條平行于實軸的直線, -3-2-1123x123456y不是區(qū)域不是區(qū)域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直線不包括直線為左界的半平面為左界的半平面以以單連通域單連通域.20, 210)3( iz, 2 , )1( 的的去去心心圓圓盤盤為為半半徑徑為為圓圓心心以以i 是多連通域是多連通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端點不包括端點的半射線的半射線斜率為斜率為為端點為端點以以不是區(qū)域不是區(qū)域.21,4arg0)5( iziz , 時時當當iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx22, 0)1( 22 yx因因為為 , 12, 01, 02 2222yxxyxx于是于是 . 2)1(, 1, 0 2222yxyxx, 2)1( 22集集部且屬于左半平面的點部且屬于左半