淺談幾何證明中添加輔助線的規(guī)律(yongyong)

1、淺談幾何證明中添加輔助線的規(guī)律浙江省奉化市錦屏中學 李洪波幾何證明中添加輔助線,其作用主要在于溝通 “ 條件 ” 和 “ 結(jié)論 ” .具體來說,就是 把分散的條件集中,使隱蔽的條件顯露,將復雜的問題化簡,為推證創(chuàng)造條件, 促成問題的最終解決.一、 證明邊或角的不等關(guān)系,擬作平行線,把要比較的邊或角平移集中到 一個三角形中來例 1 如圖 1, 已知 AD 是 Rt ABC 的中線, BAD > DAC, 求證:AC >AB .分析:由于有關(guān)不等量關(guān)系的定理都是就同一個三角形來 說的,而條件 BAD 、 DAC 不在同一個三角形中,為 了把分散的條件集中在同一個三角形中, 不妨過 B

2、作 AC 的平行線 BE , BE 和 AD 的延長線交于 E .于是 E = DAC .由于 BAD > DAC ,即 BAD > E ,所以 BE >AB .而 AC =BE 容易從 BED CAD 證得,從而 AC >AB .二、證明線段之間的和差關(guān)系,擬在較長線段上截取相等的一段或伸長較 短線段成較長線段,再作比較例 2 如圖 2, 已知 AB 是等腰 Rt ABC 的斜邊, AD 是 A 的平分線,求證:AC+CD=AB.分析:先在 AB 上截取 AE=AC, 連 DE , 只要 BE=DC,即問題獲證.由于 ADC ADE ,所以 DE=DC,且DE AB

3、,由條件 B=45º,從而 BE=CD成立. (本題也可以過 D 作 DE AB ,由于 DE=DC, DE=BE,故只要證明 AE=AC即可. 三、有關(guān)梯形的證明問題,過上底的端點作下底的垂線或作腰及對角線的 平行線,往往可以奏效例 3 如圖 3,已知等腰梯形 ABCD , BE=a , DBA=45º, A=60º,求該梯 形的面積.圖 1EBAACDE圖 2分析 1:由于求梯形面積時必須有梯形高的 要素,不妨過 D 、 C 作 AB 的垂線,垂足為 E 、 F , 易得DE=2,AE= 6, DC=EF=EB-FB=EB-AE= 2a-6,于是 1( 2A

4、B C D S A B D C D E =+梯形 211222a a=. 分析 2:如圖 4,連 AC ,過 D 作 DE AC 交 BA 的延長線于 E ,易得四邊形 ACDE 為平 行 四 邊 形 , AE=DC, 于 是 E B D A B C D S S = 梯 形 ( DEA 與 DCB 等底等高 , 又 BD=AC=ED, 則 E=45º,于是有 EDB=90º, 由 212Rt EBD S a=,即 212A B C D S a=梯 形 .四、等積形在證明中的獨特作用例 4 如圖 5,在平行四邊形 ABCD 的邊 AD 、 CD 上分別取 F 、 E 亮點,使

5、 AE=CF, 且 AE 、 CF 交于 G , 求證:BG 平分 AGC .分析:在平行四邊形和 AE=CF的條件下, 要 證明 BG 平分 AGC , 條件與結(jié)論之間的聯(lián)系較難 發(fā)現(xiàn).此類問題往往就會估形湊線,想從全等三 角形方面尋找出路,而誤入歧途.如果從分析法 入手,即欲證 BG 平分 AGC ,只要證 B 到 AG 、CG 的 距離 相等. 而由 于 AE=CF,只 須證 BFC ABE S S = ,于是 連 AC ,則B F C A B CB A ES S S =,于是命題得證.本題看似與面積無關(guān),但由于角平分線的性質(zhì)以及條件 AE=CF,自然有引 用等級三角形的必要. 于是輔助

6、線 BE 和 BF 應運而生, 但要確定 BFC 與 BAE 等積, 只要證明它們都等于平行四邊形面積之半即可, 而連 AC 就使要求得到滿 足.2F圖 5例 5 如圖 6,在平行四邊形 ABCD 中, EF BD ,求證:AD F ABE S S = . 分析: ADF 與 ABE 沒有同底或等高的條 件,似乎沒有直接關(guān)系,為溝通兩者的關(guān)系,分別 找等積形方能奏效.由于 AD BC ,以 DF 為底, 連 FB ,則 BDF ADF S S = .同樣, AD BC ,以 BE 為底連 DE ,則有 D BE ABE S S = ,而 BDF 與 DBE這兩個三角形有同底 BD , F 、

7、E 又在平行于底 BD 的線上,因此面積相等,從而AD F ABE S S = .五、等積式證明的兩種轉(zhuǎn)化(移形和化比例式例 6 如圖 7, A 、 B 交于 P 、 Q , B 過 A 點, 過 P 作 B 的直徑 PC 并延 長交 A 于 D ,求證:22PC PD AD =.分析:要使 P C P D 與 22AD 直接聯(lián)系起來是困難 的,如果把 AD 移到適當位置,可能易于建立它們間的 聯(lián)系.由于 AD 是 A 的半徑,連 AP ,則 AP =AD .同 樣連 AB 有 BA =BP ,所以 1= 2= 3.這樣, PA 以 看作是 ABD 外接圓的切線,而 PBD 是這個圓的割線(或

8、有 ABP DAP , 有 2PA PB PD =, 參考結(jié)論應有 222PA PB PD =, 所以22PC PD AD=.例 7 如圖8,以正方形 ABCD 的頂點 D 為圓心,以 DA 為半徑, 在正方形內(nèi)畫A C , 又以 BC 為直徑畫半 圓與A C 交于正方形內(nèi)一點 P ,直線 AP 交 BC 于E點, 求證:2PA PB PC =.分析:要證明 2PA PB PC =只要證P A P C P BP A=,可從證明 PAB PCA 入手,于是連接 AC ,由條件可知 1= 2, 3= 4, 4= 5,則 5= 3,問題得證.E圖 6CBAD 圖 7A 圖 8BDE六、線段計算問題一般從圓內(nèi)比例線段和相似三角形入手 例8 如圖9, AD 是 ABC 的 A 的平分線, 求證:2AD AB AC =-B D C D .2AD AB AC BD CD=-分析:從結(jié)論來看,問題屬于線段的計算,這 類問題常與圓內(nèi)比例線段和相似三角形有關(guān). 故作 ABE ADC ,本題的結(jié)論就容易證明,不再贅 述.除了以上各種題型添輔助線外,如題目條件中涉及到圓的弦