用OLS法得到的估計模型通過統(tǒng)計檢驗后

1、 異方差用OLS法得到的估計模型通過統(tǒng)計檢驗后，還要檢驗摸型是否滿足假定條件。由1.3 節(jié)知，只有模型的4個假定條件都滿足時，用OLS法得到的估計量才具有最佳線性無偏特性。當(dāng)一個或多個假定條件不成立時，OLS估計量將喪失上述特性。本節(jié)討論當(dāng)假定條件不成立時，對參數(shù)估計帶來的影響以及相應(yīng)的補救措施。以下討論都是在某一個假定條件被違反，而其他假定條件都成立的情況下進行。分為5個步驟。（1） 回顧假定條件。（2） 假定條件不成立對模型參數(shù)估計帶來的影響。（3） 定性分析假定條件是否成立。（4） 假定條件是否成立的檢驗（定量判斷）。（5） 假定條件不成立時的補救措施。1.5.1 同方差假定模型的假定條

2、件 給出Var(u) 是一個對角矩陣， Var(u) = s 2I = s 2 (5.1)且u的方差協(xié)方差矩陣主對角線上的元素都是常數(shù)且相等，即每一誤差項的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主對角線上的元素為零（非自相關(guān)假定），當(dāng)這個假定不成立時，Var(u) 不再是一個純量對角矩陣。 Var(u) = s 2 W = s 2s 2 I. (5.2) 當(dāng)誤差向量u的方差協(xié)方差矩陣主對角線上的元素不相等時，稱該隨機誤差系列存在異方差，即誤差向量u中的元素ut 取自不同的分布總體。非主對角線上的元素表示誤差項之間的協(xié)方差值。比如 W 中的 si j與s 2的乘積 ,（i j）表示與第i組和第

3、j組觀測值相對應(yīng)的ui與 uj的協(xié)方差。若 W 非主對角線上的部分或全部元素都不為零，誤差項就是自相關(guān)的。本節(jié)討論異方差。下一節(jié)討論自相關(guān)問題。以兩個變量為例，同方差假定如圖5.1和5.2所示。對于每一個xt值，相應(yīng)ut的分布方差都是相同的。 圖5.1 同方差情形 圖5.2 同方差情形1.5.2 異方差表現(xiàn)與來源異方差通常有三種表現(xiàn)形式，（1）遞增型，（2）遞減型，（3）條件自回歸型。遞增型異方差見圖5.3和5.4。圖5.5為遞減型異方差。圖5.6為條件自回歸型異方差。 圖5.3 遞增型異方差情形 圖5.4 遞增型異方差 圖5.5 遞減型異方差 圖5.6 復(fù)雜型異方差(1) 時間序列數(shù)據(jù)和截面

4、數(shù)據(jù)中都有可能存在異方差。(2) 經(jīng)濟時間序列中的異方差常為遞增型異方差。金融時間序列中的異方差常表現(xiàn)為自回歸條件異方差。無論是時間序列數(shù)據(jù)還是截面數(shù)據(jù)。遞增型異方差的來源主要是因為隨著解釋變量值的增大，被解釋變量取值的差異性增大。 1.5.3 異方差的后果下面以簡單線性回歸模型為例討論異方差對參數(shù)估計的影響。對模型yt = b0 + b1 xt + ut 當(dāng)Var(ut) = st 2，為異方差時（st 2是一個隨時間或序數(shù)變化的量），回歸參數(shù)估計量仍具有無偏性和一致性。以為例E()= b1 但是回歸參數(shù)估計量不再具有有效性。仍以為例，Var () = 因此異方差條件下的失去有效性。另外回歸

5、參數(shù)估計量方差的估計是真實方差的有偏估計量。例如E() Var () 1.5.4 異方差檢驗1.5.4.1 定性分析異方差 (1) 經(jīng)濟變量規(guī)模差別很大時容易出現(xiàn)異方差。如個人收入與支出關(guān)系，投入與產(chǎn)出關(guān)系。 (2) 利用散點圖做初步判斷。 (3) 利用殘差圖做初步判斷。 1.5.4.2 異方差檢驗(1) White檢驗White檢驗由H. White 1980年提出（下面要解釋的Goldfeld-Quandt 檢驗必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序，Glejser檢驗通常要試擬合多個回歸式）。White檢驗不需要對觀測值排序，也不依賴于隨機誤差項服從正態(tài)分布，它是通過一個輔助回歸式構(gòu)造

6、c2 統(tǒng)計量進行異方差檢驗。White檢驗的具體步驟如下。以二元回歸模型為例：yt = b0 +b1 xt1 +b2 xt2 + ut (5.9)首先對上式進行OLS回歸，求殘差。做如下輔助回歸式，= a0 +a1 xt1 +a2 xt2 + a3 xt12 +a4 xt22 + a5 xt1 xt2 + vt (5.10)即用對原回歸式中的各解釋變量、解釋變量的平方項、交叉積項進行OLS回歸。注意，上式中要保留常數(shù)項。求輔助回歸式(5.10)的可決系數(shù)R2。White檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)是 H0: (5.9)式中的ut不存在異方差， H1: (5.9)式中的ut存在異方差在不存在異方差假設(shè)

7、條件下統(tǒng)計量 T R 2 c 2(5) (5.11)其中T表示樣本容量，R2是輔助回歸式(5.10)的OLS估計式的可決系數(shù)。自由度5表示輔助回歸式(5.10)中解釋變量項數(shù)（注意，不計算常數(shù)項）。T R 2屬于LM統(tǒng)計量。判別規(guī)則是若 T R 2 c2a (5), 接受H0 （ut 具有同方差）若 T R 2 c2a (5), 拒絕H0 （ut 具有異方差） (2) Goldfeld-Quandt 檢驗 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有遞增型異方差。構(gòu)造F統(tǒng)計量。把原樣本分成兩個子樣本。具體方法是把成對（組）的觀測值按解釋變量的大小順序排列，略去m個處于中心位置的觀測值（通常T

8、 30時，取m T / 4，余下的T- m個觀測值自然分成容量相等，(T- m) / 2，的兩個子樣本。） x1, x2, , xi-1, xi, xi+1, , x T-1, xT n1 = (T-m) / 2 m = T / 4 n2 = (T-m) / 2 用兩個子樣本分別估計回歸直線，并計算殘差平方和。相對于n2 和n1 分別用SSE2 和SSE1表式。 F統(tǒng)計量是 F = = ，（k為模型中被估參數(shù)個數(shù)）在H0成立條件下，F(xiàn) F( n2 - k, n1 - k) 判別規(guī)則如下，若 F Fa (n2 - k, n1 - k) , 接受H0 （ut 具有同方差）若 F Fa (n2 -

9、k, n1 - k) , 拒絕H0 （遞增型異方差）注意： 當(dāng)摸型含有多個解釋變量時，應(yīng)以每一個解釋變量為基準(zhǔn)檢驗異方差。 此法只適用于遞增型異方差。 對于截面樣本，計算F統(tǒng)計量之前，必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。（3）Glejser檢驗 檢驗 | 是否與解釋變量xt存在函數(shù)關(guān)系。若有，則說明存在異方差；若無，則說明不存在異方差。通常應(yīng)檢驗的幾種形式是 | = a0 + a1 xt | = a0 + a1 xt2 | = a0 + a1, .Glejser檢驗的特點是：既可檢驗遞增型異方差，也可檢驗遞減型異方差。 一旦發(fā)現(xiàn)異方差，同時也就發(fā)現(xiàn)了異方差的具體表現(xiàn)形式。 計算量相對較大。

10、當(dāng)原模型含有多個解釋變量值時，可以把 | 擬合成多變量回歸形式。(4) 自回歸條件異方差（ARCH）檢驗 異方差的另一種檢驗方法稱作自回歸條件異方差 (ARCH) 檢驗。這種檢驗方法不是把原回歸模型的隨機誤差項st 2 看作是xt 的函數(shù)，而是把st 2 看作誤差滯后項ut-12 , ut-22 , 的函數(shù)。ARCH是誤差項二階矩的自回歸過程。恩格爾（Engle 1982）針對ARCH過程提出LM檢驗法。輔助回歸式定義為= a0 + a1 + + a n (5.12)LM統(tǒng)計量定義為 ARCH = T R 2 c 2(n) 其中R 2是輔助回歸式（5.12）的可決系數(shù)。在H0：a1 = = a

11、n = 0 成立條件下，ARCH漸近服從 c 2(n) 分布。ARCH檢驗的最常用形式是一階自回歸模型（n = 1）， = a0 + a1 在這種情形下，ARCH漸近服從 c 2(1) 分布。 1.5.5. 克服異方差的方法克服異方差的矩陣描述。設(shè)模型為 Y = X b + u 其中E(u) = 0，Var(u) = E(u u) = s 2 W。W 已知，b 與k未知。因為 W I，違反了假定條件，所以應(yīng)該對模型進行適當(dāng)修正。 因為 W 是一個T 階正定矩陣，所以必存在一個非退化TT 階矩陣M使下式成立。 M W M = I TT從上式得 M M = W -1用M左乘上述回歸模型兩側(cè)得 M

12、Y = M X b + M u取Y* = M Y, X * = M X, u* = M u , 上式變換為 Y* = X*b + u* 則 u* 的方差協(xié)方差矩陣為 Var(u*) = E(u* u* ) = E (M u u M ) = M s 2 W M = s 2 M W M = s 2 I變換后模型的Var(u*)是一個純量對角矩陣。對變換后模型進行OLS估計，得到的是 b 的最佳線性無偏估計量。這種估計方法稱作廣義最小二乘法。b 的廣義最小二乘 (GLS) 估計量定義為 (GLS) = (X* X*)-1 X* Y* = (X M M X ) -1 X M M Y = (X W -1

13、X) -1 X W -1Y （1）對模型 yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut (5.15)假定異方差形式是Var(ut) = (s xt1)2。（因為Var(ut) = E(ut)2，相當(dāng)于認為 | = s xt）用xt1同除上式兩側(cè)得 yt / xt1 = / xt1 + b2 xt2 / xt1 + ut / xt1 , (5.16)因為Var(ut / xt1) = (1/ xt12 ) Var(ut) = (1/ xt12 ) s 2 xt12 = s 2， (5.16) 式中的隨機項 (ut / xt) 是同方差的。對 (5.16) 式做OLS估計后，把回歸

14、參數(shù)的估計值代入原模型 (5.15)。對 (5.16) 式應(yīng)用OLS法估計參數(shù)，求 S (ut / xt1) 2 最小。其實際意義是在求 S (ut / xt1)2 最小的過程中給相應(yīng)誤差項分布方差小的觀測值以更大的權(quán)數(shù)。所以此法亦稱為加權(quán)最小二乘法，是GLS估計法的一個特例。以異方差形式Var(ut) = s 2 xt2為例，用矩陣形式介紹克服異方差。s 2 W = s 2定義 M = 從而使Var(M u) = E (M u u M ) = M s 2 W M = s 2 M W M = s 2= s 2 I TT 即對于 (5.16) 式來說誤差項已消除了異方差。 （2）利用Glejse

15、r檢驗結(jié)果消除異方差假設(shè)Glejser檢驗結(jié)果是 | = +xt說明異方差形式是Var(ut) = (+xt)2s2。用 (+xt) 除原模型 (5.15) 各項, = b0 + b1 + (5.17)則 Var() = Var(ut) = (+xt)2s2 = s2說明消除了異方差。對 (5.17) 式做OLS估計，把回歸參數(shù)的估計值代入原模型 (5.15)。（3）通過對數(shù)據(jù)取對數(shù)消除異方差。 中國進出口貿(mào)易額差（1953-1998），文件名：pap1 對數(shù)的中國進出口貿(mào)易額之差（4）當(dāng)模型中存在自回歸條件異方差時，可以采用極大似然估計法，通過建立自回歸條件異方差輔助方程的形式估計原回歸模型

16、。（超出課程范圍）案例1 取1986年中國29個省市自治區(qū)農(nóng)作物種植業(yè)產(chǎn)值yt（億元）和農(nóng)作物播種面積xt（萬畝）數(shù)據(jù)（file:hete01，hete02）研究二者之間的關(guān)系。得估計的線性模型如下， yt = -5.6610 + 0.0123 xt (5.18) (12.4) R2 = 0.85, F = 155.0, T = 29 圖5.7 農(nóng)作物產(chǎn)值yt和播種面積xt (file:hete01) 圖5.8 殘差圖(file:hete02)無論是從yt和xt觀測值的散點圖（見圖5.7）還是模型的殘差圖（見圖5.8）都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中存在異方差。（1）用White方法檢驗是否存在異方差。在上式

17、回歸的基礎(chǔ)上，做White檢驗。得,注意：輸出結(jié)果中的概率是指c2 (2)統(tǒng)計量取值大于8.02的概率為0.018。示意如下圖。 因為TR2 = 8.02 c2a (2) = 6，所以存在異方差。（2）用Goldfeld-Quandt方法檢驗是否存在異方差。首先以xt為基準(zhǔn)對成對樣本數(shù)據(jù)（yt，xt）按取值大小排序。去掉中間7個數(shù)據(jù)，按xt取值大小分成樣本容量各為11的兩個子樣本。用兩個子樣本各自回歸得結(jié)果如下， yt = 2.7202 + 0.0106 xt , (t = 1, , 11) (5.19) (5.8) R2 = 0.80, F = 33.8, SSE = 1266, yt =

18、5.8892 + 0.0118 xt , (t = 19, , 29) (5.20) (3.0) R2 = 0.50, F = 9.1, SSE = 14174 F = = 11.2,因為F = 11.2 F0.05 (9, 9) = 3.18，所以存在異方差。下面克服異方差。（1）對yt和xt同取對數(shù)。得兩個新變量Lnyt 和Lnxt（見圖5.9）。用Lnyt 對Lnxt 回歸，得 Lnyt = - 4.1801 + 0.9625 Lnxt . (5.21) (16.9) R2 = 0.91, F = 285.6, (t = 1, , 29) 圖5.9 Ln yt和 Ln xt 圖5.10

19、殘差圖經(jīng)White檢驗不存在異方差。因為TR2 = 2.58 c20.05 (2) = 6.0，所以不存在異方差。 (文件：Statis) Goldfeld-Quandt檢驗異方差。去掉中間7個觀測值，仍按xt大小分成兩個T = 7的子樣本，并回歸（結(jié)果略）得SSE1 = 1.17，SSE2 = 0.65，經(jīng)Goldfeld-Quandt檢驗，有 F = = 0.56, 因為0.56小于F0.05 (9, 9) = 3.18，所以取對數(shù)后，模型中不存在遞增型異方差（殘差見圖5.10）。 用Glejser法檢驗異方差用 (5.18) 式, yt = -5.6610 + 0.0123 xt, 的殘差的絕對值對xt回歸 | = 0.0024 xt (8.0) R2 = 0.22可見誤差項的異方差形式是Var(ut) = E(ut)2 = 5.7610-6 xt2。克服異方差的方法是用xt分別除(5.18) 式兩側(cè)，得變換變量yt* = yt / xt，xt* = 1 / xt。用yt* 對xt* 回歸（見圖5.11），得 yt* = 0.0113 + 0.8239 xt* (5.22) (13.8) (0.8) R2 = 0.63, F = 46.1 圖5.11 yt* 和 xt* 圖5.12 殘