導數(shù)的綜合應(yīng)用練習題及答案匯總

1、匕。導數(shù)應(yīng)用練習題答案1. 下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出定理中的數(shù)值(1)f(x) =2x2 -X-3-1,1.5；1 f(x)"一2,2； f(x)0,3； f(x)=ex -11,1解：(1)f(x) =2x2-X-31,1-5該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導數(shù)為f'(x)=4x-1，在開區(qū)間上可導，而且f(-1)=0,滿足羅爾定理，至少有一點f (1.5)=0,使 f =4© _1 = 0,解出©"-1,1.5),J o41解：(2)f(x2喬7一2,2該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù),其導數(shù)為f'(x)-2

2、x1=一罕,在開區(qū)間上可導， 而且f (-2)=丄 (1 + x2)251,f(2)=-,5滿足羅爾定理，至少有一點從(一2,2)，使 f 徉)=：2 2 =0，解出 E =0 O (1+©2)2解：(3)f(x)=xQx0,3該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導數(shù)為f XxTx -一，在開區(qū)間上可導，而且2jx-3f(0)=0,f(3) =0,滿足羅爾定理，至少有一點使 f I© =0，解出2嚴32解： f(x)=ex -11,1(1)f(x)=x30,a (a AO)； f(X)=1 nx1,2(3)f(x) =x3 -5x2 +x-2T,0解：(1)f(x)=x30,a (

3、a>0)該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導數(shù)為f(x) =3x2，在開區(qū)間上可導，滿足拉格朗日定理條件，至少有一點匕亡(0,a)，使 f(a)-f(0) =f 化)(a-0)，即 a3 0 =3©2(a 0)，解出 © =。73解：(2)f(x)=l nx1,21該函數(shù)在給定閉區(qū)間上連續(xù)，其導數(shù)為f'(X)=丄，即在開區(qū)間上可導，滿足拉格朗日定理條件，至少有x1 1一點匕迂(1,2)，使 f(2) -f(1)= f 牡)(2 -1)，即 ln 2-l n1 =1(2-1)，解出 E =。匕l(fā)n 2解：(3) f(X)= X3-5x2 +X-21,0該函數(shù)在給定閉區(qū)

4、間上連續(xù)，其導數(shù)為f'(X)=3x2-10x + 1,即在開區(qū)間上可導，滿足拉格朗日定理條件，至少有一點匕(1,0)，使f(0)-f(1) = f 徨)(0 +1)，乂5-743解出© = 一-一。32 且 F(x)=w +2(1 + x2)-2x ”2x _2(1 + x2)21+x2 石0即2 (9) =(3©2 -10匕 +1)(0 + 1)，3. 不求導數(shù)，判斷函數(shù)f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的導數(shù)有幾個實根及根所在的范圍。答案：有三個根，分別在 (1,2),(2,3),(3,4)2x4證明：當2時，恒等式2ar如宀-應(yīng)"成

5、立2X證：設(shè) F(x) =2arctanx+arcsin21+x2當X >1時，F(xiàn)(x)連續(xù)，當X >1時，F(xiàn)(x)可導JI JI即當 x31 時，F(xiàn)(x) wC，即 f(x) = F(1) = 2x+=兀42故當 X >1 時，2arctan x +arcsin1 +x5設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=0，證明在(0,1)內(nèi)存在一點c， 使 cf'(c)+2f(c) =f'(c).證明：令F(x) =(x1)2f(x)，則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且因f (0) =0，則F(0)=0 =F即F(x)在0,1上滿足羅

6、爾定理的條件，則至少存在c(0,1)使F'(c)=0 又 F(x) =2(x 1)f(X)+(x1)2 f'(X)，即 2(c-1)f (c) +(c1)2f'(c) =0而 c 迂(0,1)，得 cf '(c) +2f(c) = f'(c)6.已知函數(shù)f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=1,f(1) = 0,證明在(0,1)內(nèi)至少存在一點t， 使得fW=fl.證明：令F(x)=xf(x)，則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且F(0)=0 = F(1)即F(x)在0,1上滿足羅爾定理的條件，則至少存在©豈0,1

7、)使F牡)=0又 F(x) = f(x)+ xf (x)，即 f(r)+Uf 牡)=0，故.17.證明不等式:sin X2 sin x, < x? 為證明：設(shè)函數(shù)f(x)=sinx , VXi,X2忘R，不妨設(shè)x, ex?,該函數(shù)在區(qū)間Xi,X2上連續(xù)，在(Xi,X2)上可導，由拉格朗日中值定理有f(X2) f(xj= f'(©)(X2x)，(X,V 匕 <屜)即 sin屜一sinx =cos©(X2-xj，故 sin x2 -sinx, = cosr(X2 -xj，由于 cost <1，所以有 sin X2 -sinx, < x2 -x,8

8、.證明不等式：nb2(a-b) ca" -bn c nan°(a -b) (n >1,a >b >0)證明：設(shè)函數(shù)f(x)=xn，在b, a上連續(xù)，在(b,a)內(nèi)可導，滿足拉格朗日定理條件，故an -bn = nrn°(a -b)，其中 0 cb <E <a，nfr in tn_In_1因此b <：<a有nbUa -b) c門嚴仗-b) c門玄心心-b)所以 n-b) C ab naa-b)9.利用洛必達法則求下列極限:X e -eX-XX -X的e -ee +e解：lim X-0X=lim= 2XT 1(2) ixmPm

9、："X3 -3x2 +2忸 x3-x2-x+1X3 -3x2 +2解：匹 x3x2x+1lim 3孑-6x 蟲心 3x2 -2x-1 lim+l2(im ；嗨十tan X解:兀ln (x-2)lim 2-X援十tan X兀x -21cos2 x2COS xlim+2cosx5x)=0 2(5)nXlim卞eax(a :>0,n為正整數(shù))解:n i X lim - X 十 eaxn 二nx=lim a-5c a e=lim 一 J從an!axe=0 lmX ln(m a0)；解：lim ,xm lnx xt0十ln x=xim+xm_m_J-mxlim. m1鳴x解：lim( 一

10、 xX-0 X e -1x /e -1 -x1)=|卄 x，"'=limxTx®1)Tx .e -1x . , xe -1 +xeX . X , x e +e +xe= lim =1T2 + x 21(8)lim1 +sinxf ；1解：lim1 +sin x)lim(1 +sin x)1 si nxsinxx =e/c isinx(9) lim仝0lim sinxlnxlim解：limyinx =exT 千=eTX_0十lnx .sin 丄x=1 二心nxcosx. sin2x.lim lim -cos XX=eT= eTsinx sin x-cosx 0.=e

11、= 1In (1 +kx)10.設(shè)函數(shù) f(x) = XI1-1X H 0，若f(X)在點x = 0處可導，求X =0k與f '(0)的值。解：由于函數(shù)在x=0處可導,ln (1 +kx)因此函數(shù)在該點連續(xù)，由連續(xù)的概念有xmo=lim 叢=k = f (0) = T，即 k = -1x按導數(shù)定義有“3 =x-0limx 屮In (x) 1= limln(1xxX7X2-1 +1= lim 7 2x1"2"1 -cosx11.設(shè)函數(shù)f(X)=/X =0，當k為何值時,f(X)在點x = 0處連續(xù)。1e -1X c0解：函數(shù)連續(xù)定義，l_f (x)翊+f(x) = f

12、(0)，lim f(X)= lim(1 -j) = lim 八=lim xTx e -1 T一x(e -1) TX / e -1X . X .Xe +e +xe_ 121 _ cos X 11lim +f(X)= lim 2= 一，而 f (0) = k = lim f (x)=-X Vx P X 2x P21即當k =5時，函數(shù)f (X)在x=0點連續(xù)。12. 求下列函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間:(1)y =3x2 +6x +5 ； 解：y'=6x+6= 0,有駐點 x=1，由于當X c -1時，/，此時函數(shù)單調(diào)減少;由于當X-1時，/ >0，此時函數(shù)單調(diào)增加;(3)y =x4 -2x2

13、 +2 ； 解：y = 4x1 +x -4x = 4x(x y=1 -1)，令 y' = 0 ,有 x=0, x=1,x=T,當X c -1時，y 'v。，此時函數(shù)單調(diào)較少；當 當0<:x<1時，y'<0，此時函數(shù)單調(diào)較少；當-1 C X V 0時，y' > 0，此時函數(shù)單調(diào)增加;X A 1時，y A 0，此時函數(shù)單調(diào)增加解:八 2x(1+x)-x2(1+x)2=啤，令y，=0，有(1+x)2X = 0, X = -2，此外有原函數(shù)知X H -1，2cx1時，y'c0，此時函數(shù)單調(diào)減少; t X >0時，y':>

14、;0，此時函數(shù)單調(diào)增加；當X c -2時，/ >0，此時函數(shù)單調(diào)增加；當 當-1 <x<:0時，y'<0，此時函數(shù)單調(diào)減少；當13. 證明函數(shù)y=x-ln(1+x2)單調(diào)增加。證明：八去二譽"，等號僅在X =1成立，所以函數(shù)y =x-ln(1+x2)在定義區(qū)間上為單調(diào)增加。14. 證明函數(shù)y=sinx-x單調(diào)減少。解：y 丄COSX1<0，等號僅在孤立點x=2 n;i(n= 0,±1,±2|川ID成立，所以函數(shù) y=si nx-x在定義域內(nèi)為單調(diào)減少。115. 證明不等式：2仮>3- (x>0,xK1)X1x7X_

15、12X11證明：設(shè) f(x) =2jX-3+,在 x=1 時，f(1)=0，且 f'(x)=TXVx當X >1時，f (X)A0，函數(shù)單調(diào)增加，因此f(X)> f(1) = 0 ；當0<x<1時，f(x)<0，函數(shù)單調(diào)減少，因此 f(x)Af(1)=0 ；所以對一切 X ：>0，且 X h1，都有 f(X);>0，艮卩 2jX A3 -丄(X > 0,x H 1)X16.證明：當 X HO 時，ex >1 +x 解：設(shè) f(X)=eX -1 xf(X)=eX -1，當 X >0, f '(X)>0二 f(X),所

16、以 X aO, f(X)> f (0) = 0所以 X :>0,eX aI +x當 X <0, f (x) <0= f(X)J,所以 X <0, f(X)> f (0) =0所以 x<0,eX:>1+x/. X H0,eX >1 +x.17.證明：當X A0 時,In (1 +x)X>1 +x解：設(shè)f(X)=l n(1 +x)X1+x1+x (1+x)X 2(1+x)，當 X >0, f'(X)0= f(x),所以 X ：>0, f(X)A f (0)=0，即18.證明方程X3-3x +1 = 0在(0,1)內(nèi)只有

17、一個實根。證明：令f (x)由零點定理存在= x3-3x+1, f (X)在0,1上連續(xù)，且 f (0) =1,f (1) = -1,紅(0,1)，使f(5 =0,所以巴是方程X33x+1=0在(0,1)內(nèi)的一個根。又因為 f（X）=3x2-3=3（X 亠-1），當 X（O,1）時 f，（x）wO，函數(shù)單調(diào)遞減,當X > ©時，f（x） C f （ = 0 ,當X ©時，f（X）> f（E） =0，所以在（0,1）內(nèi)只有©個實根 或用羅爾定理證明只有一個實根。19.求下列函數(shù)的極值:(1)y =xy=xe ； 解：y' = xer2-x)，駐點

18、為 x=0,x=2，二階導數(shù)為 y、r（x2-4x +2），24顯然y "（0） =2, y "（2）=，函數(shù)在x = 0點取極小值0，在x = 2處取極大值 。ee -3x2 +7 ； 解：y' = 3x2 -6x=3x(x-2)，令 y = 3x2-6x =3x(x-2) = 0，解出駐點為 x = 0;x = 2，函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性與極值見圖表所示:(亠,0)(0, 2)(2嚴)f(X)f(X)單調(diào)增加極大7單調(diào)減小極小3單調(diào)增加XX(3-1)-1(-1,1)1（1嚴）（X）極小+極大f(x)單調(diào)減小-1單調(diào)增加1單調(diào)減少2 2(1+x )解：y = Nb

19、xXJ-x），駐點為X = 1,x = 1，函數(shù)的單調(diào)性與極值見表 y=3-g(x-2)；2解：y = 一2一，函數(shù)在X = 2處不可導，以此點為界劃分區(qū)間并給出函數(shù)單調(diào)性與極值。3（x-2）3x(嚴2)2(2, P)（X）+不存在f(x)單調(diào)增加極大3單調(diào)減少xy=(x-1)V7 ；5x 22解：函數(shù)導數(shù)為 y'= ，解出駐點為X=，不可導點為X=0，函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性見表格所 '53x3(30)f (x)不存在(0,5)5(1嚴)5f(x)單調(diào)增加極大0單調(diào)減少極小單調(diào)增加示。X3解：y =（；）3），駐點為x=0,x=3，不可導點為x=1，劃分區(qū)間并判斷增減性與極值X

20、(30)0(0,1)(1,3)3(3,P)f'（X）十0+0+f(x)單調(diào)增加無極 值單調(diào)增加單調(diào)減少極小27單調(diào)增加4f(x)x20.設(shè)y=ln(1+x2)，求函數(shù)的極值，曲線的拐點。2 x解：y' = =o，解出 x=0, xvO,ytO,yJ1 +xxaO, y'>O,y ，極小值 f(0)=0y 2(1-x ) =0，解出 x = ±1，(1+x2)2x(T-1)-1(-1,1)1(1嚴)y0+0y凸ln2凹ln2凸拐點(1,ln 2), (1,1 n2)21.利用二階導數(shù)，判斷下列函數(shù)的極值:(1)y =(x-3)2(x-2)；解：y'

21、 = (3x7)(x3)，y 2(3x8)，駐點：x = 7，x=3，374yL二=-2 vO，因此在X =-點函數(shù)取極大值；P327y1xm=2A0，因此在x=3點函數(shù)取極小值0 ； y =2ex2e2x -1解:八2，八2ex +,由于yLjln2 =2j2>o，因此在x2In Q_=-處函數(shù)取得極小值 2/2 。222.曲線y =ax' +bx2 +cx + d過原點，在點(1,1)處有水平切線，且點(1,1)是該曲線的拐點，求 a,b,c,d解：因為曲線 y =ax' +bx2 +cx + d過原點，有d =0 ,在點(1,1)處有水平切線，點(1,1)是該曲線的

22、拐點，又因為點(1,1)在曲線上，聯(lián)立方程組解出 a =1,b =；,c=3,d =0f (1)=3a +2b+ c = 0,f”(x)=6ax +2b，f”(1) = 6a + 2b=0, a +b +c +d =123.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值:y =x4-2x2+5-2,2；解：y'=4x3 -4x=4x(x +1)(x-1)，令 y'=0,得駐點為 x = 0,x=1,x = 1，計算出駐點處和區(qū)間端點處所有的函數(shù)值為比較上述函數(shù)值，知最大值為y(2) = y(2) =13 ；y(2) =13, y(1)=4,y(0) =5,y(1) = 4, y(2)

23、=13，最小值為 y(-1) = y(1) = 4。y=ln(x2+1)-1,2；2x解：/=牛，令y'=0，得駐點為x=0， x2 +1y(1)=ln2, y(0) =0,y(2) =ln5，比較上述函數(shù)值,計算出駐點處和區(qū)間端點處所有的函數(shù)值為知最大值為y(2) =1 n 5 ；最小值為y(0) = 02y十1 +x1匕,1；解：y' = (x+ 2)x，令 才=0，得駐點為X=0,x = -2，計算出駐點處和區(qū)間端點處所有的函數(shù)值為(x+1)2111y(2) = V,y(0) =0,y(丄)=丄，y(1) =丄，比較上述函數(shù)值,2221= y(1)=；最小值為 y(0)

24、=0。2知最大值為y1)2(4) y = X + Vx0,4277+1解：y丄 2廣 >0 ,函數(shù)單調(diào)增加，計算端點處函數(shù)值為y(0) = 0, y(4) = 6，知最大值為y=6 ；最小值為y(0) =024.已知函數(shù)f(X)=ax3-6ax2+b (a>0)，在區(qū)間1,2上的最大值為3，最小值為-29，求a,b的值。解：f (x) =3ax2 - 12ax，令 f (x) =3ax2 -12ax =3ax(x -4) =0 ,解出駐點為 x = 0,x = 4(舍)，且 f(-1)=b-7a， f(0)=b， f(2)=b-16a因為 a。，所以 f(0) A f(1)Af (

25、2)故 f (0) =b =3為最大值，f(2) =b -16a為最小值，即 f (2) = b-16a =-29，解出 a = 2。25.欲做一個底為正方形，容積為 108m3的長方體開口容器，怎樣做所用材料最省?2解：設(shè)底面正方形的邊長為 x，高為h，則表面積為S=x +4xh，2V又體積為V =x2h，有h = px+432x得S =x2 +理x即取底面邊長為=x2d =2432 =0，解出 x=6，h=3 dxx高為3時，做成的容器表面積最大。26.欲用圍墻圍成面積為 選取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省?216m2的一塊矩形土地，并在正中間一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬解：

26、所用的建筑材料為 L =3x +2y，其中面積xy =216，因此有L=3x +僅x生=3-警 =0,解出x=12，即當取寬為x=12米，長為dxxy =18米時所用建筑材料最省。27.某廠生產(chǎn)某種商品，其年銷量為100萬件，每批生產(chǎn)需增加準備費如果年銷售率是均勻的，且上批銷售完成后，立即再生產(chǎn)下一批（此時商品庫存數(shù)為批量的一半） 分幾批生產(chǎn)，能使生產(chǎn)準備費及庫存費之和最??？解：設(shè)100萬件分x批生產(chǎn)，生產(chǎn)準備費及庫存費之和為y，則“CC 丄 1 000 000 5" “CC 丄 25 000y =1000x+X0.05 =1000x+，2xx,25 000y =1000 2=0，解

27、出 X =5，x問5批生產(chǎn)，能使生產(chǎn)準備費及庫存費之和最小。1000元，而每件的庫存費為0.05元,，問應(yīng)28.確定下列曲線的凹向與拐點:y=x2-X3 ；1解：y' = 2x-3x2, y" =2-6x，令 y" = 0,x = -3(2)y =1 n(1+x2)；x1（嚴3）131丄（廠）口X）+02f(x)凹27凸小解：y'= 2X 、，”2 一2X1 +x2,yx(嚴-1)-1(-1,1)1（1嚴）f "（X）0+0f(x)凸In 2拐點凹In 2 拐點凸令 y” = O,x = ±1(1+x2)2(3)y =x3 ；1解:八3x

28、3，ypp-2x93_, 令y不存在點，x = o 7x5X(亠,0)0（0,址）f 7x)+不存在f(x)凹0拐點凸八半1 +x解：y，=24x(x2 -3)(1+x2)2'八(1+x2)3令 y" =0,x =0,x = ±73X（亠,妁-爲（-屁）0(0,軸73（73嚴）f '(X)0+00+f(x)凸竈2 拐點凹0拐點凸近2 拐點凹(5)y =xex ； 解：y' = eX(1+x), y"=eX(2+x), 令 y" = 0,x=2X(3-2)-2（-2，邑）口X）0+f(x)凸_2_-2 e拐點凹解：y' =

29、_e-,y=e-aO , 所以y =e»在 (=,母)內(nèi)是凹的，無拐點。29.某化工廠日產(chǎn)能力最高為 1000噸，每天的生產(chǎn)總成本 C (單位：元)是日產(chǎn)量 x (單位：噸)的函數(shù):C =C(x) =1000+7x +50仮X 可0,1000(1)求當日產(chǎn)量為100噸時的邊際成本；(2)求當日產(chǎn)量為100噸時的平均單位成本。2525解：(1)邊際成本 c(x)=7+上二,C'(100) =7+仝=9.5 長10(2)平均單位成本, AC(100) = C(100) = 1000 +7 + 50 =22x xVx1001001030 .生產(chǎn)x單位某產(chǎn)品的總成本 C為x的函數(shù)：C

30、 =C(x)=1100 +x2, 1200成本和平均單位成本；(2)生產(chǎn)900單位到1000單位時的總成本的平均變化率; 單位時的邊際成本。求(1)生產(chǎn)900單位時的總(3)生產(chǎn)900單位和10001 2解：(1) C(900) =1100 +9002 =1775 , 1200C(900)J775 “ 97900900(2) C(1000)-C(900)=1 581000 -900x(3)邊際成本為C(x600C (900 900 =1.5, C(1000)二1000 =1.67600 60031.設(shè)生產(chǎn)x單位某產(chǎn)品，總收益 R為x的函數(shù)：R = R(x) =200x-0.01x2，求：生產(chǎn)5

31、0單位產(chǎn)品時的總收益、平均收益和邊際收益。解：總收益 R(50) =200x50-0.01x2500 =9975,平均收益 = 200 0.01X , R(50) = 200 0.01 X 50 = 199.5 , x50邊際收益 R'(x) =200 -0.02X ,R'(50) =200-0.02x50 =19932.生產(chǎn)x單位某種商品的利潤是x的函數(shù)：L(x)=5000+ x-0.00001x2，問生產(chǎn)多少單位時獲得的利潤最大？解：L'(X)=1 -0.000 02x=0，解出 x=50 000所以生產(chǎn)50 000個單位時，獲得的利潤最大？33.某廠每批生產(chǎn)某種商

32、品 x單位的費用為C(x)=5x + 200,得到的收益是 R(x)=10x-0.01x2，問每批生產(chǎn)多少單位時才能使利潤最大?解：L(x) =R(x) -C(x) =5x -0.01X2 -200,令 L（X）=5 -0.02x二0 ,解出 X =250所以每批生產(chǎn)250個單位時才能使利潤最大。34.某商品的價格P與需求量Q的關(guān)系為P= 10-Q，求（1）求需求量為20及30時的總收益R、平均5收益R及邊際收益R' （2） Q為多少時總收益最大?解：總收益函數(shù) R(Q) = PQ =(10-Q)Q=10Q5平均收益函數(shù)邊際收益函數(shù)(1)R(20)R(Q)=10 -經(jīng),5400900=

33、 200 = 120,R(30) =300 = 120 ,55R(20) = RM = 10 - 20=6, R(30R(30) 130=4 ,205305,40,60R (20)=10 -=2,R (30)=10 -=-2,55,2Q(2) R (Q)=10 -亠=0,解出Q=25時總收益最大。535.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，日總成本為C元，其中固定成本為200元，每多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,該商品的需求函數(shù)為 Q =50-2P，求Q為多少時，工廠日總利潤L最大？解：成本函數(shù) C =C(Q) =200 + 10Q ,成本增加10元。L(Q) =PQ -C(Q) =5Q-(200 +10Q) =15Q -Q-200,2 2令 L（Q） =15-Q二0 ,解得 Q=15 ,所以Q=15，總利潤L最大。高二數(shù)學（文）選修1-1導數(shù)及其應(yīng)用回扣練習選擇題1.下列求導運算正確的是（A、 (x+丄)-1 x2)1 x31、盹2x)FC (x2 cosx)色-2xsinx(3x)fe 3xlog3e 22、已知函數(shù)f（x）二ax + c,且（1）=2,則a的值為（A . 0B .罷 C . 13.函數(shù)y= x3+x