圓錐曲線(xiàn)壓軸題解題策略

1、圓錐曲線(xiàn)壓軸題解題策略圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題將幾何與代數(shù)知識(shí)有機(jī)結(jié)合在一起，較好地考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新靈活處理問(wèn)題的能力，是高考命題的熱點(diǎn)之一本文重點(diǎn)分析圓錐曲線(xiàn)的解題策略，希望同學(xué)們讀后對(duì)圓錐曲線(xiàn)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)拼通過(guò)自己不斷地領(lǐng)悟和練習(xí)提高自己的解題能力一、知識(shí)準(zhǔn)備圓錐曲線(xiàn)解題的本質(zhì)就是將題干中的條件和提干中條件和圖形中隱含的幾何特征轉(zhuǎn)化 成等式或不等式，最后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題，而其中的關(guān)鍵是怎樣轉(zhuǎn)化或構(gòu)造不等式.1抓住定義構(gòu)造等式，定義是圓錐曲線(xiàn)的核心和根本，涉及焦點(diǎn)時(shí)，優(yōu)先用第一定義 或第一疋義。2 抓住題中特殊幾何關(guān)系來(lái)構(gòu)造等式或應(yīng)用幾何關(guān)系使解題簡(jiǎn)化。 內(nèi)心1、三條角平分線(xiàn)支點(diǎn)2、角平

2、分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊距離相等3、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、4、面積法(Sabi +S»ci +Sbci=Sabc) 重心|1、中線(xiàn)交點(diǎn)2、AH=2HD 重心三條高線(xiàn)交點(diǎn)(可用垂直構(gòu)造等式) 外心垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)(垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)構(gòu)造等式) 三角形兩邊之和大于第三邊(焦點(diǎn)三角形) 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交(1) 兩不同交點(diǎn)=> 0(2) 交于左右兩支 =XiX2< 0(3) 交于同一支=X1X2 >0 用點(diǎn)與圓坐位曲線(xiàn)的關(guān)系來(lái)構(gòu)造等式或不等式2 2在橢圓上烏=1a b2 2(2)在橢圓外X0廠-> 1a b2 2(3)右橢圓內(nèi)智烏v 1 a b 用曲線(xiàn)本身的一些坐標(biāo)限制(在橢圓中，-aw

3、 xw ab w y<) 用k相等(三點(diǎn)共線(xiàn))注：條件已用完，當(dāng)缺少等式時(shí)，且無(wú)明顯幾何特征時(shí)，考慮用、。3. 用其它條件構(gòu)造等式或不等式 用非負(fù)數(shù)k2, , R , |x大于0構(gòu)造 問(wèn)題中的要求與條件中的范圍相聯(lián)系 結(jié)合參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義或三角函數(shù)的有界性，構(gòu)造不等式。4. 與平面幾何的聯(lián)系 圓 直徑所對(duì)的圓周角為 90度(可用垂直構(gòu)造等式)相交弦，割線(xiàn)長(zhǎng)定理 中位線(xiàn)(坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)，往往考慮不到)5. 點(diǎn)差法 直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交，且出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，常常使用。 拋物線(xiàn)涉及 k時(shí)，常使用。、例題2 2例1.橢圓 務(wù) 7=1 (a> b> 0)上相異兩點(diǎn) A、B的垂直平分線(xiàn)在

4、 x、y軸上的截 a b距分別tx、ty證明:2 2 2 2 2 tx ty (a -b ) v a2ba b解析：本題初看無(wú)法下筆，要求證明的不等式非常復(fù)雜，無(wú)法入手，條件中只有垂直平分線(xiàn)這個(gè)條件，設(shè)垂直平分線(xiàn)I與x, y軸交于M (tx, o)、N (o, ty)。因?yàn)閨AM|=|BM| ,于是M (xi-tx) 2+yi2= (X2-tx) 2+yo2，但是這個(gè)等式與問(wèn)題求證等式無(wú)法聯(lián)系，還需要等式2 2 2 2 2或不等式，注意到 A、B在橢圓上，貝U 篤馬 =1，生 込 -1, yi2=b2 (1-務(wù)),a ba ba222 , . xy2 =b (1 - 2 ) a2(Xi-ty)

5、2+b2(1 一篤2 2)=(X2 - tx) +b ( 1 -,整理得 2a2tx(X2- xi)=(a2 b2)(X22- Xi2) Xi工xX1X22a tX2同理得yi y2 a2 -b2b2tya2 -b2a知道X2和也，自然想到是 AB中點(diǎn)坐標(biāo)，但中點(diǎn)條件無(wú)法用(幾何特征不2 2明顯)，且問(wèn)題中得證的是不等式，現(xiàn)在得到的是等式，還需要一個(gè)不等式。從整個(gè)圖形中 觀察，且結(jié)合知識(shí)準(zhǔn)備中的、，可用點(diǎn)與圓坐位曲線(xiàn)的關(guān)系來(lái)構(gòu)造不等式(中點(diǎn)在 橢圓內(nèi)部)。.冬 X2, V1 空)是弦ab的中點(diǎn)，且在橢圓內(nèi)部。2 2a2tx )2272 )a -b2(一 bty )2a - bb2< i，

6、整理得:2 2 2 2 2tx(a -b )a ba b評(píng)注：本題用完垂直平分線(xiàn)的條件后，已無(wú)其他條件可用，且無(wú)幾何特點(diǎn)。根據(jù)知識(shí)準(zhǔn)備，考慮用點(diǎn)在曲線(xiàn)上來(lái)構(gòu)造等式，但最后是證不等式， 必須構(gòu)造一個(gè)不考慮用點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)內(nèi)，才能構(gòu)造出一個(gè)不等式。例2.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) 0,焦點(diǎn)在X軸上，K為i的直線(xiàn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn) F且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，0A 0B與a= ( 3, -i)共線(xiàn)。(1) 求橢圓的離心率。(2) 設(shè)M為不橢圓上任意一點(diǎn)，且 0M二 0A0B ( ' / R)證明 22為定值。解析：(i)設(shè)AB為中點(diǎn)為M (x, y)則0M與a= (3, -i)共線(xiàn)x+3y=0根據(jù)點(diǎn)差法

7、a2a2-3b2 2(2)設(shè) A(Xi, yj、B(X2,y2)、M(x,y),由(1 )知 a2 = 3b2所以橢圓方程為 二 -y2 = 13b2b2要證2i2為定值，現(xiàn)只有 0M=，0A0B 個(gè)條件rx =)x 収2轉(zhuǎn)化為等式為彳1'，現(xiàn)缺少等式，且問(wèn)題中入、的次數(shù)為2,但，y =必+也中人次數(shù)為1,必須再構(gòu)造等式，題中條件都已用完，可考慮點(diǎn)在橢圓上這一隱含等式。 M (x, y)在橢圓上二(*妝2)2 3( yi ：y2)2 = 3b2即2(x12 3yj) 2(x22 3y22) 2 J(x1x2 3y1y23b2/ A、B在橢圓上2 2 2 2 2 2二 x13y1 =3b

8、2,x23y2 = 3b222剩下的X1X2,3y1y2可由韋達(dá)定理求出，最后可得'=1例3.過(guò)定點(diǎn)A ( m, o) (mv o)作直線(xiàn)I交拋物線(xiàn)C: y2=2P0P>O)于P、O兩點(diǎn)，Q關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,連結(jié)PQ交X軸于點(diǎn)E,(1)求證：直線(xiàn)PQ恒過(guò)定點(diǎn)；(2)若 AP 二 AQ ( />O)，求證：PB 二 BQ。解析：(1)要證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，首先要將直線(xiàn)的解析式寫(xiě)出來(lái)，現(xiàn)在的任務(wù)將K值求出，2P根據(jù)知識(shí)準(zhǔn)備中，拋物線(xiàn)中的K值一般用點(diǎn)差法，根據(jù)點(diǎn)差法可得k二,P(x1,y1),y1 - y22PQ(x2,y2), Q,X2，-y2)，根據(jù)點(diǎn)差法k，于是直線(xiàn)方程為力-

9、 y22P /、2Px * y1 y2y -力(x -xj，整理得y丄 。但方程毫無(wú)特征，缺少等% + y2% y?式。注意到題中的隱含條件：A、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)。yi2PXi -m yi y2,整理得:yy »2PM ,代入整理得:2Pyi 一 y2(x m)過(guò)點(diǎn)(-m, 0)。(2)證：過(guò)P作PH丄X，設(shè)QQi交X軸于N則竺二巴AQ QN Q與Qi共于X軸對(duì)稱(chēng)PHPHPBQN-QiNBQiAPPBAQ_ BQiPB 二 BQ2(/> 0)例4 .自點(diǎn)A (0, -i )向拋物線(xiàn)C: y=x2作切線(xiàn)AB，切點(diǎn)為B，且點(diǎn)B在第一象限， 再過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M作直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)C交于不

10、同的兩點(diǎn) N、F直線(xiàn)AF、AN分別交拋 物線(xiàn)C于P、Q兩點(diǎn)，(i)求切線(xiàn)AB的方程及切點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)證明PQ = ABCR)。解析：(1) AB方程：y=2x i，切點(diǎn)B的坐標(biāo)(i, i )。(2) 設(shè) N ( Xi,xi2) , F ( X2, X22) , P ( X3, X32) , Q ( X4,X42)AB = (i, 2), PQ = (X4 X3) (i, X4+X3)即證X4+X3=2，但題中已無(wú)多余條件，缺少等式尋找隱含條件三點(diǎn)共線(xiàn)。因?yàn)锳、P、F共線(xiàn)，可是 kAP=kAF,可得X2X3=i同時(shí)由A、N、Q共線(xiàn)得XiX4=i ,i . iX<1 +x2X4 X322

11、再根據(jù)韋達(dá)定理問(wèn)題便可迎刃而解。X-I x2 X2X22例5.已知橢圓Ci： 生十厶=i，拋物線(xiàn)C2： (ym)2=2PX (P>0)，且Ci,43C2的公共弦AB過(guò)橢圓Ci的右焦點(diǎn)，是否存在 M、P的值，使拋物線(xiàn) C2的焦點(diǎn)恰在直線(xiàn)AB上？解析：假設(shè)C2的焦點(diǎn)在AB上，怎樣才能用好焦點(diǎn)既在Ci上又在C2這個(gè)條件，涉及焦點(diǎn)，考慮到圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義，將AB用不同的定義表示兩遍PP11所以 |AB|= (x1) (x2) = % x2 p = (2 x ) (2x2)則 P =43(xX2) =4k2 1224k2 +3現(xiàn)在兩個(gè)未知數(shù)，只有一個(gè)等式，必須再找一個(gè)，于是考慮到直線(xiàn)與方程聯(lián)立設(shè)

12、 AB 方程為 y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立：（3+4k2） x2-8k2x+4k2 12=0。設(shè) A、B 坐標(biāo)（Xi, yj, （X2, y2）8k2X1+X2= 23 +4k再與拋物線(xiàn)聯(lián)立：（kx _ k _m）2 = 2px，因?yàn)镃2的焦點(diǎn)（-,m），在y2= k(x -1)上，所以m二k（ -1），即mkp，代入得:一 21 2k2x2 - p(k22)x p由于Xi，X2也是方程的兩根,所以x1x2 =P(k從而車(chē)P(k2 2)k23 4k2k28k48k4所以(4k2 -3)(k2 -2)4k2124k23解得：k2=6于是 k=二6, p = 43例6.已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，

13、右頂點(diǎn)A （1，0），點(diǎn)P、Q在雙曲線(xiàn)的右支上，點(diǎn)M（m，0）到直線(xiàn)AP的距離為1。（ 1）若直線(xiàn)AP的斜率為k，且 |kL 3 ,3，求實(shí)數(shù) m3所以P =22(4k2 +3)(k2 +2)M，救此雙曲線(xiàn)的方程。的取值范圍。（2）當(dāng)m=、21時(shí)， APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)解析：（1）由點(diǎn)M （m，0）至 AP距離為1的條件轉(zhuǎn)化為由 m，k的等式，再根據(jù)知識(shí)準(zhǔn)備中要求的量與題設(shè)中給的范圍相聯(lián)系，可輕松解決。2（2）可設(shè)雙曲線(xiàn)方程X2"（b = 0），為求出雙曲線(xiàn)的方程，必須求出b的值,b2或求出雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)的坐標(biāo)?，F(xiàn)在的條件有四：A坐標(biāo)（1,0）;M坐標(biāo)（寸2 +1,0 ）；MAPQ的內(nèi)心；M到AP距離為1。先分析M APQ的內(nèi)心，因?yàn)閹缀翁卣鞣浅Ｓ刑厣?，根?jù)知識(shí)準(zhǔn)備中內(nèi)心的四個(gè)特征，但好像都沒(méi)有用，現(xiàn)在必須從另外三個(gè)條件中挖掘其它的幾何特征，注意到題中兩個(gè)特殊點(diǎn)A、M距離為2，M到AP距離1,所以v MAP=45，再用MAPQ內(nèi)心條件，所以kAP=1, kAQ= 1 （不妨設(shè)P在第一象限）直線(xiàn)PQ方程X=2+3，直線(xiàn)AP方程為y=x-1，所以P坐標(biāo)（2 2,1 2 ）,雙曲線(xiàn)方程x2 -（2