文字應(yīng)用題求解

1、文字應(yīng)用題求解 學(xué)習(xí)環(huán)境The Learning Environmentof Word Problem-solving林建祥北京大學(xué)教育學(xué)院北京 100871 中國(guó)Tel: (8610)-62755803Email: linjx 解決實(shí)際問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的。解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法是重要科學(xué)方法。 為了具有解決問(wèn)題的能力，首先要有數(shù)學(xué)知識(shí)。 但是在掌握大量數(shù)學(xué)知識(shí)之外，如何應(yīng)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法與策略， 也是需要 學(xué)習(xí)的。 實(shí)際問(wèn)題通常由文字來(lái)描述。文字描述時(shí)許多是多余的信息。對(duì)所解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)關(guān)。 為了便于學(xué)習(xí)，通常文字描述比較簡(jiǎn)練，條理，把多余的盡量去掉。 而且是一定有明確的解

2、答。這種簡(jiǎn)單化，從規(guī)范的文字描述題出發(fā)，學(xué)會(huì)解題， 雖與真實(shí)問(wèn)題還有距離，但卻是學(xué)習(xí)過(guò)程必經(jīng)階段，作為 鋪墊，減少難度，然后再走向解決復(fù)雜的真實(shí)問(wèn)題。 本文討論比較規(guī)范的文字題求解的問(wèn)題，同時(shí)研究設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)環(huán)境，來(lái)提高 靈活解題的學(xué)習(xí)效率。 關(guān)鍵字： 應(yīng)用題， 問(wèn)題求解， 交互學(xué)習(xí)環(huán)境， 數(shù)學(xué)建模。 The main goal of learning Mathematics is to be able to solve real problems. To solve problem with mathematics methods is an important scientific metho

3、d. For learning problem-solving, first a lot of mathematics knowledge is needed. But the strategy and method how to use mathematics knowledge to solve problem is also needed to learn.Usually, real problem is described by words. Use words to describe problem, there are many message, that is not impor

4、tant for the solving. But in order to learn easy for new-comers, we usually made words to describe problem rather concise and articulate, and have a clear solution. This simplicity, described with clever and normal style, although it is different with real situation, but it is a stage must be gone t

5、hrough, then go toward real problem solving.This paper discuss about rather normal word-based applied problem-solving, and try to design a learning environment, help young to learn problem solving easier in the earlier stage.Keywords: Problem-solving, Learning Environment, Mathematics modeling. 1 引言

6、 解決實(shí)際問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的。鑒于過(guò)去數(shù)學(xué)教學(xué)，過(guò)分強(qiáng)調(diào)純粹數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，解決實(shí)際問(wèn)題能力訓(xùn)練重視不夠。因而從解決實(shí)際世界的真實(shí)問(wèn)題出發(fā)，提高解決問(wèn)題的能力，目前正受到特別的關(guān)注。重視實(shí)際問(wèn)題的解決，也有助于提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，動(dòng)力與積極性。解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法是重要科學(xué)方法。其要領(lǐng)是：對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行正確抽象，建立抽象數(shù)學(xué)模型，變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后用數(shù)學(xué)算法求得數(shù)學(xué)解。再回到實(shí)際世界加以恰當(dāng)解釋。為了具有解決問(wèn)題的能力，首先要有數(shù)學(xué)知識(shí)。為了有效學(xué)習(xí)大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，需要研究良好的知識(shí)表示方法。微世界-客觀(guān)世界的抽象模擬，即可操作的模型，是值得探究，應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)的好表示方法。我已寫(xiě)過(guò)一

7、篇文章-“教學(xué)設(shè)計(jì)的威力”進(jìn)行討論。但是在掌握大量數(shù)學(xué)知識(shí)后，如何應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法與策略，也是需要學(xué)習(xí)的。上文討論限于篇幅，未涉及。本文企圖在這方面，進(jìn)行比較詳細(xì)的補(bǔ)充討論。實(shí)際問(wèn)題通常由文字來(lái)描述。文字描述時(shí)許多是冗余的信息。對(duì)所解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)關(guān)。為了便于學(xué)習(xí)，通常在開(kāi)始時(shí)文字描述比較簡(jiǎn)練，條理，把多余的盡量去掉。而且一定有明確的解答。這種簡(jiǎn)單化，從規(guī)范的文字描述題出發(fā)，學(xué)習(xí)解題，雖與真實(shí)問(wèn)題還有距離，但卻是學(xué)習(xí)過(guò)程必經(jīng)階段，作為鋪墊，減少難度，（本文先集中討論這個(gè)較為規(guī)范的問(wèn)題）然后再走向解決真實(shí)世界的復(fù)雜問(wèn)題。2文字應(yīng)用題求解的學(xué)習(xí)環(huán)境設(shè)計(jì)這環(huán)境的基本作用，是從文字描述的實(shí)

8、際應(yīng)用領(lǐng)域問(wèn)題，學(xué)習(xí)如何抽象出形式的符號(hào)的數(shù)學(xué)模型，然后用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)計(jì)算方法求解。21 求解實(shí)際問(wèn)題總過(guò)程包括下列幾步：一 從文字題目分析出已知與所求兩部分。每部分各有主要對(duì)象及其屬性，與對(duì)象間相互關(guān)系。叫題目的意義結(jié)構(gòu)。這是從題面所提供的信息，而且是在應(yīng)用領(lǐng)域?qū)用娴慕Y(jié)構(gòu)。二 我們要解決問(wèn)題，光題面所提供的信息是不夠的。所以系統(tǒng)必須存有學(xué)過(guò)的知識(shí)。這知識(shí)是以模板形式存儲(chǔ)的。模板有豐富的語(yǔ)義，但反映了符號(hào)的結(jié)構(gòu)。是走向抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的媒介與過(guò)渡。三 從所求部分找需要的模板，可能有現(xiàn)成的，或需要組合。然后進(jìn)行歸約，鏈接。直到已知部分可用上為止。這是要著重學(xué)習(xí)的求解技巧。四 對(duì)模型的組合進(jìn)行整理，優(yōu)化

9、，填進(jìn)參數(shù)，解決問(wèn)題，這時(shí)已是具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，直接計(jì)算數(shù)學(xué)表達(dá)式，或需要解各種類(lèi)型的方程。最后再回到具體應(yīng)用領(lǐng)域，對(duì)結(jié)果作出恰當(dāng)?shù)慕忉尅?2 文字應(yīng)用題求解的學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)環(huán)境應(yīng)用信息技術(shù)來(lái)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)環(huán)境，目的是希望能減少學(xué)習(xí)的難度，而且易于理解掌握高價(jià)的思維技巧。這環(huán)境設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想，是把系統(tǒng)分為兩層：在菜單按鈕下連上程序，但把他看成黑箱，是底層?？上炔还艹绦蜻\(yùn)行過(guò)程，只注意點(diǎn)擊的作用即按鈕的意義。菜單作為上層，可通過(guò)對(duì)各個(gè)按鈕自由操作，進(jìn)行解題觀(guān)察，探試。這樣就把學(xué)習(xí)者注意力集中于所設(shè)計(jì)的重點(diǎn)難點(diǎn)，在這里就是“如何建立模板，查找合適模板，組合模板，整理優(yōu)化模板”。這是應(yīng)用題靈活求解能力訓(xùn)練的要害

10、。 表1 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域問(wèn)題分類(lèi) 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助建立新模板存在模板搜索存在模板組合模板歸約數(shù)字代入解方程求微商求積分求極值解微分方程例題練習(xí)題例題練習(xí)題-建簡(jiǎn)單模板查找合適模板模板組合模板優(yōu)化高級(jí)組合建簡(jiǎn)單扼要例題按模板復(fù)雜度分類(lèi)。建簡(jiǎn)單模板例題1。 矩形面積為 長(zhǎng)X 寬，今長(zhǎng) A = 3，寬 B = 4 ，問(wèn) 矩形面積為多少？已知 所求 模 板矩形 求面積 S 長(zhǎng) A = 3 寬 B = 4 面積 S = A X B 平面圖形 矩形 長(zhǎng) A = 寬 B = 面積 S = A X B = 周長(zhǎng)

11、L = 2（A+B）= 這兒建立模板，并做適當(dāng)擴(kuò)充，存起來(lái)備以后用。建立了數(shù)學(xué)模型，就把實(shí)際問(wèn)題變成了數(shù)學(xué)問(wèn)題?？烧{(diào)用數(shù)學(xué)軟件包的相應(yīng)程序來(lái)求數(shù)學(xué)答案。數(shù)學(xué)方法已經(jīng)學(xué)過(guò)，通常也都有現(xiàn)成的程序，現(xiàn)在著重是學(xué)習(xí)解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，數(shù)學(xué)求解過(guò)程不是重點(diǎn)，可不必了解。最前一步，由題文分析出已知與所求，也可由機(jī)器程序自動(dòng)進(jìn)行。因?yàn)橥ǔｎ}文都比較規(guī)范，沒(méi)有必要增加難度，分析出意義結(jié)構(gòu)并不難。先找出若干對(duì)象（通過(guò)名詞或變量）與其屬性（通過(guò)名詞的形容詞），再找對(duì)象間的相互關(guān)系（聯(lián)系名詞的動(dòng)詞）。即按題意建立了初步的結(jié)構(gòu)。 當(dāng)然還有對(duì)算法的描述，需要轉(zhuǎn)換為表達(dá)式，有的已經(jīng)直接由表達(dá)式給出。 如果對(duì)分析結(jié) 果有疑問(wèn)，

12、或且不夠規(guī)范，甚至關(guān)系太復(fù)雜，則還可以進(jìn)行人工干預(yù)。 總之，學(xué)習(xí)環(huán)境的設(shè)計(jì)，要能比較好集中注意力于數(shù)學(xué)模型的建立。 本文呈現(xiàn)一批表格，可較好展示設(shè)計(jì)的概況，與基本思想。 表2 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域問(wèn)題分類(lèi) 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助建簡(jiǎn)單模板查找合適模板模板組合模板優(yōu)化高級(jí)組合建立新模板存在模板搜索存在模板組合模板歸約例題練習(xí)題例題練習(xí)題-建簡(jiǎn)單扼要例題按模板復(fù)雜度分類(lèi)。查找合適模板例題2。 今有矩形長(zhǎng) A 為 4，寬 B =為5 ，求 其 面積 S 。已知 所求 模 板矩形 求面積 S 長(zhǎng) A = 4 寬 B

13、= 5 平面圖形 矩形 長(zhǎng) A = 寬 B = 面積 S = A X B = 周長(zhǎng) L = 2（A+B）=本題找到上面現(xiàn)成的模板，把數(shù)值代入，進(jìn)行計(jì)算，解決了問(wèn)題。例題3。 今有矩形長(zhǎng) A 為 5面積 S為 20，求 其寬度。矩形 求 寬 B 長(zhǎng) A = 5 面積 S = 20本題也利用了上面所找到的同一模板，代入數(shù)值。 但不是直接計(jì)算， 而是需要解一個(gè)方程。 其他附帶的必要功能： 為便于初學(xué)，系統(tǒng)應(yīng)提供不同復(fù)雜度的典型案例。案例按所需模板的復(fù)雜程度， 由簡(jiǎn)到繁排列。模板是很好的媒介，既有豐富的語(yǔ)義，反映實(shí)際領(lǐng)域的關(guān)系，又反映抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?？梢院芎脦椭鯇W(xué)者從具體到抽象的過(guò)渡。 表 3 從應(yīng)

14、用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域建立新模板存在模板搜索存在模板組合模板歸約問(wèn)題分類(lèi) 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助數(shù)字代入解方程求微商求積分求極值解微分方程建簡(jiǎn)單模板查找合適模板模板組合模板優(yōu)化高級(jí)組合建簡(jiǎn)單扼要例題按模板復(fù)雜度分類(lèi)。模板組合例題4。 完成工作總量由乘以工作時(shí)間計(jì)算。 今某甲每日完成5件，工作十日。乙每日完成3件，工作15日。問(wèn)兩人一共完成多少件。已知 所求 模 板 完成工 某甲 作總量 工作5 件/日 工作日數(shù)=10某乙 工作3 件/日 工作日數(shù)=15工作量問(wèn)題模板 單位時(shí)間完成工作量D（）= 工作時(shí)間 T（） =

15、 完成工作量W（） =D（）*T（） 某甲單位時(shí)間完成工作量D（A）= 工作時(shí)間 T（A） = 某乙單位時(shí)間完成工作量D（B）= 工作時(shí)間 T（B） =完成工作總量W= W（A） + W（B） 這兒建立模板，并做適當(dāng)擴(kuò)充，加上參量，可存起來(lái)備以后（如例題5）用。例題5。 一工程W全由甲承擔(dān)，10日完成，全由乙承擔(dān)20日完成。 現(xiàn)由甲先進(jìn)行5日，余下由乙做完。 問(wèn)乙還要幾天完成？。甲單位時(shí)間工作量 D（A）= W /10 工作天數(shù)T（A） = 5。乙單位時(shí)間工作量 D（B）= W /20。 求 T（B）用上上面存起來(lái)的模板，W（） = D（）* T（）W = W（A） + W（B） = D（A）

16、*T（A）+ D（B）*T（B） = W /10 * 5 + W/20 * T（B）但同樣這里不是直接計(jì)算， 而是需要解一個(gè)方程。 每案例后可再附上若干練習(xí)題，讓學(xué)習(xí)者獨(dú)立解決，循序漸進(jìn)。當(dāng)然遇到困難時(shí)，仍可在中途設(shè)法得到幫助。也可在適當(dāng)?shù)胤?，提出質(zhì)疑，促進(jìn)思考，幫助更好的理解掌握。學(xué)習(xí)時(shí)，按學(xué)習(xí)者程度找難度合適的問(wèn)題類(lèi)型，先學(xué)案例，再找練習(xí)題。選中一個(gè)樣例，環(huán)境對(duì)案例題會(huì)自動(dòng)分離出該題的已知與所求。然后告訴你如何一步步建立模型，找到一批所要的模板，進(jìn)行各種組合。 而練習(xí)題則要你試著自己建模，試著求解實(shí)際問(wèn)題。表4 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域問(wèn)題分

17、類(lèi) 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助已知 所求模 板 c a c h c模板組合例題6。 一正方形鐵片，邊長(zhǎng)A= 10，從四角砍掉四個(gè)小正方形。折成一無(wú)蓋盒。 問(wèn)這小正方形邊長(zhǎng)多少，使盒子面積最大？ A鐵片邊長(zhǎng)A = 10 小正方形邊長(zhǎng)h = 求h = ？ 使盒子體積V最大這是簡(jiǎn)單的優(yōu)化問(wèn)題。首先是求評(píng)價(jià)函數(shù)。需先找到，補(bǔ)上所缺的信息。幾何圖形立方盒子 底邊長(zhǎng) a = 高 h = 體積 V = a2 * h砍掉的正方形邊長(zhǎng) c = 盒高 h 底邊長(zhǎng)a + 2* 盒高 h = 鐵片邊長(zhǎng)A由以上的現(xiàn)成模板可列出評(píng)價(jià)函數(shù)。然后求h的一元函數(shù)的極值。3關(guān)于模型庫(kù)的建立 我們看到

18、在這學(xué)習(xí)環(huán)境框架之外，要獲得真正的解題能力，還需要建立各種信息庫(kù)：1 首先是各種大量的模板。要整理使條理清楚，易于檢索。以支持解決各種類(lèi)型的大量實(shí)際問(wèn)題。11 首先對(duì)簡(jiǎn)單的典型題，建立模板。建立模型時(shí)，除本題提到的信息外，還可按常識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展。譬如：對(duì)矩形對(duì)象除題中涉及的長(zhǎng)寬與面積等屬性外，還可自動(dòng)加上周長(zhǎng)等。12 每項(xiàng)都注意補(bǔ)上字母符號(hào)，以便簡(jiǎn)潔表示變量間的約束關(guān)系。對(duì)象還可賦予下標(biāo)與參數(shù)，從而生成這一類(lèi)的實(shí)例。如：例題 4，5中的工作量表示。13 讓一類(lèi)的屬性，可以自動(dòng)為子類(lèi)或?qū)嵗^承。這樣條理化了的模板庫(kù)，有巨大的表現(xiàn)力，容易檢索到，并可適用于大規(guī)模的系統(tǒng)情況。 如：例題7。在導(dǎo)函

19、數(shù)對(duì)象類(lèi)下找到相匹配的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，然后導(dǎo)函數(shù)的屬性就自動(dòng)為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)所繼承。 例題9。旋輪線(xiàn)的模板就容易在相當(dāng)大的模板庫(kù)中找到。并由于繼承機(jī)制而得到大量的信息。 表5。 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域建立新模板存在模板搜索存在模板組合模板歸約問(wèn)題分類(lèi) 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助數(shù)字代入解方程求微商求積分求極值解微分方程建簡(jiǎn)單模板查找合適模板模板組合模板優(yōu)化高級(jí)組合建簡(jiǎn)單扼要例題按模板復(fù)雜度分類(lèi)。模板生成與擴(kuò)展例題7。 直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)可以用“位移s是時(shí)間t的函數(shù)”來(lái)描述。 速度是位移函數(shù)的變化率，即位移改變量與時(shí)間改變量之比當(dāng)x -&

20、gt; 0時(shí)的極限。 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用 s = A sin (t) 來(lái)描述。 求 t = t0時(shí)的速度。已知 所求 模 板直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) 位移 s 時(shí)間 t 函數(shù)關(guān)系 s = s(t) = A sin (t) 速度 v = ds/dt = 求t = t0時(shí)的 速度。導(dǎo)函數(shù)關(guān)系 因變量 y 自變量 x 函數(shù)關(guān)系 y = f (x) = _。 函數(shù)變化率 y = f (x) = dy/dx =_實(shí)例：因變量 y 位移 速度 質(zhì)量自變量 x 時(shí)間 時(shí)間 線(xiàn)長(zhǎng)度函數(shù)變化率 f 速度 加速度 線(xiàn)密度例題8。 由曲線(xiàn) y=f(x), x=a, x=b, X軸所圍成的曲邊梯形。 求其面積。 曲邊梯形 求所圍面積.

21、y = f(x) = x = a , x = b , X 軸。定積分模板 比函數(shù) y 變量 x 函數(shù)關(guān)系 y = f(x) = 。 下限 a = _。 上限 b = _。 總量 = INT （f (x), x, a, b ）實(shí)例： 比函數(shù) y 變高 速度 線(xiàn)密度 自變量x 底位置 時(shí)間 位置 總量 面積 位移 質(zhì)量模板搜索例題9。 求旋輪線(xiàn)一拱的 弧長(zhǎng)。 按屬性在龐大的模板庫(kù)中查找模板。 如查到合適的模板，則代入，問(wèn)題就容易解決。旋輪線(xiàn) 求其弧長(zhǎng)。 一拱。幾何圖形 目錄 （按維數(shù)分類(lèi)）2D 曲線(xiàn)，3D曲線(xiàn)，3D曲面。2D 曲線(xiàn) 目錄（按坐標(biāo)分類(lèi)） 直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)，參數(shù)方程 2D曲線(xiàn)模板 坐標(biāo)

22、系：參數(shù)方程。 方程： x = f (t), y = g (t). 參數(shù)定義域： t (a,b) 弧長(zhǎng) s = _ 面積S = _ 典型實(shí)例模板： 拋物線(xiàn)，橢圓，旋輪線(xiàn)-14 關(guān)于模板組合。可以由許多片段的初級(jí)模板來(lái)組成所需的復(fù)雜模板。這里組合例子是多次做直接代換。當(dāng)然也可通過(guò)較復(fù)雜的消元方法來(lái)進(jìn)行組合。 以上都是對(duì)模板庫(kù)進(jìn)行條理也即優(yōu)化的多種方法：組織為層次結(jié)構(gòu)，上層對(duì)象的屬性可以自動(dòng)為下層對(duì)象所繼承，每對(duì)象可設(shè)許多參量。這樣用簡(jiǎn)潔的表示，覆蓋了大量的知識(shí)，又便于查找。我們的案例中表達(dá)式的約束，僅限于線(xiàn)性。綜合起來(lái)已足以建立線(xiàn)性方程組約束的優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然表達(dá)式也可以包括非線(xiàn)性的多項(xiàng)式

23、。也還可以對(duì)函數(shù)引進(jìn)微分運(yùn)算，因而列出的約束即方程，就成為（包括了）微分方程。所以這里的討論，已經(jīng)覆蓋了中學(xué)直到高校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的很多內(nèi)容。當(dāng)然是其中非常規(guī)范的部分。2 為了便于在建模前后，得到必要的支持。使能集中注意力于建模這個(gè)焦點(diǎn)。還需要：21 各種詞庫(kù)（名詞，動(dòng)詞，形容詞）。及同義詞庫(kù)。還要必要的初級(jí)模板，以幫助建立已知與所求的意義結(jié)構(gòu)。（同一抽象模式，其實(shí)例可以是很不相同的領(lǐng)域，因而為了建立意義結(jié)構(gòu)，詞庫(kù)就要包括大量的不同領(lǐng)域的詞匯。也可在應(yīng)用時(shí)視需要不斷添加）。22 還需要建立數(shù)學(xué)解題程序庫(kù)。在建立數(shù)學(xué)模型后，自動(dòng)幫助解決所建立的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 這些庫(kù)都應(yīng)是開(kāi)放式，可以隨時(shí)擴(kuò)充。特別在解題

24、過(guò)程中，也可隨手合理增加，擴(kuò)充模板庫(kù)，以適合于不同領(lǐng)域的大量實(shí)際問(wèn)題。表6。 從應(yīng)用領(lǐng)域文字題 - - 數(shù)學(xué)建模 - 到求出數(shù)字解 - 到回到應(yīng)用領(lǐng)域問(wèn)題分類(lèi) 選題 講解意義結(jié)構(gòu)分解 數(shù)學(xué) 建模 求數(shù)字解 解釋與幫助高級(jí)組合例題10。 求圓盤(pán)上過(guò)圓心垂直于盤(pán)平面的軸上一點(diǎn)對(duì)整個(gè)圓盤(pán)的電場(chǎng)力。 電荷密度與距圓心距離r 成正比。 P。 b a r r0已知 所求 模 板物理力 求電場(chǎng)力 電場(chǎng)力物體甲-一點(diǎn)P。物體乙-圓盤(pán)（半 徑為a）相對(duì)位置 點(diǎn)在垂直于圓盤(pán) 過(guò)圓心的軸上。 與圓心距離 = b. 需先找到必須的模板，補(bǔ)上所缺的信息建立或找到所需的模板： 電場(chǎng)力 帶電點(diǎn)電荷Pa = 帶電點(diǎn)電荷Pb

25、= 兩帶電點(diǎn)的距離 r = 電場(chǎng)力 F = Pa*Pb / r2 電荷量 電荷量P = 面電荷密度*面積微元 面電荷密度 面電荷密度 = * 距圓心距離r 圓盤(pán)的分割 沿半徑分盤(pán)為同心圓環(huán)。取圓心為極坐標(biāo)原點(diǎn)（同心圓上點(diǎn)半徑相同，電荷密度相同）。 兩點(diǎn)的距離 盤(pán)上電荷與圓盤(pán)的距離 r0 = 盤(pán)外電荷與圓盤(pán)的距離 b = 兩點(diǎn)的距離r = sqrt (r02 + b2)組合所有找到或自建的模板，進(jìn)行歸約得到所需的模板。 4。 總結(jié)及待商榷的論點(diǎn)41 建構(gòu)主義，是基于一種哲學(xué)，一種認(rèn)識(shí)論，就是把客觀(guān)的對(duì)象，分解為一組基本成分，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合，各個(gè)不同層次的綜合來(lái)處理問(wèn)題。 看待數(shù)學(xué)發(fā)展的歷

26、史，人們積累許多數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，就有這樣企圖，找到一組基本概念，由他可以推演生成整個(gè)數(shù)學(xué)。集合論，計(jì)算模型，馮。諾兒曼模型，各種編程語(yǔ)言，以及一批象Mathematica, Maple的數(shù)學(xué)包的出現(xiàn)，都反映這種努力，提供整個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可能的基本成分。用于數(shù)學(xué)教育，首先用于知識(shí)表示，各門(mén)學(xué)科，都有其基本概念，規(guī)則，從而可以規(guī)范，條理地表現(xiàn)知識(shí)。其次涉及解決問(wèn)題，可以設(shè)立各種模板，從簡(jiǎn)單模式到建立復(fù)雜模式。也都反映了這種建構(gòu)的思想。按照這樣理解。建構(gòu)主義對(duì)于表示數(shù)學(xué)知識(shí)本身及用于教學(xué)教育，都是非常合適的。4 2 對(duì)于一類(lèi)問(wèn)題的求解，通過(guò)基本成分的作用，得到解決，就成為模板，可保存起來(lái)。通常遇到問(wèn)題，

27、總是先回憶有無(wú)現(xiàn)成的模板可直接代換，或進(jìn)一步可資組合，轉(zhuǎn)換，來(lái)解決問(wèn)題。模版積累愈多，即經(jīng)驗(yàn)愈豐富，解決問(wèn)題能力愈強(qiáng)。這是一方面。如果沒(méi)有現(xiàn)成的模板。就只能從基本成分入手，用通用的策略，來(lái)設(shè)法解決。這是另一方面。更復(fù)雜的，從當(dāng)前基本成分入手，也解決不了問(wèn)題。就要超越原來(lái)系統(tǒng)，進(jìn)行更深層的分解，找到更基本成分，應(yīng)用更創(chuàng)造性的方法，才有可能解決問(wèn)題。這是突破性的進(jìn)展，需要更多創(chuàng)新思考。象幾百年未能得到解決的古典數(shù)學(xué)難題，用現(xiàn)成模板，用現(xiàn)成的基本成分，現(xiàn)成方法，還沒(méi)有解決，就可能由于超過(guò)現(xiàn)有框架的能力，需要人類(lèi)天才專(zhuān)家，用創(chuàng)造性的思維去努力思考。也有可能不是現(xiàn)有計(jì)算設(shè)備所能解決的。不過(guò)即使如此，設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)境，來(lái)幫助初學(xué)者了解解決問(wèn)題的常用方法與策略，不是沒(méi)有意義的。在提供豐富的模板后，也能覆蓋相當(dāng)范圍的問(wèn)題。 可以把環(huán)境設(shè)計(jì)成開(kāi)放的，從解較基本問(wèn)題入手，不斷擴(kuò)充，逐步過(guò)渡到解比較開(kāi)放的問(wèn)題。（由于篇幅所限，將另文闡明）。4 3 一般說(shuō)來(lái)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有這樣幾步：1 確切掌握基本概念。2 理解概念間相互聯(lián)系。3 用模板來(lái)解決問(wèn)題。4 靈活解決開(kāi)放問(wèn)題。本文談到的學(xué)習(xí)環(huán)境，包括了對(duì)應(yīng)用題特別是文字題的求解，找現(xiàn)成模板解決問(wèn)題，也