二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

1、第八節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布【蠱新看境】1. 了解條件蜒字的薇矗了樣兩牛事件相互輕立曲概矗.2.理解”疾輕立童復(fù)述驗(yàn)的複星及二壇弈布*井 能熔縱一些簡(jiǎn)單間地.乳普曲直觀直方曲認(rèn)識(shí)正想井布曲纜的特點(diǎn)廉由線所我示的意義.夯實(shí)録基1基礎(chǔ)梳理1.條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)兒E為兩個(gè)事件亍且 P(A)>0,稱(chēng) P(BjA)= 竽箸為在事件A發(fā)生的 條件下，事件B發(fā)生的條件 概率(1) O<P<B|A)<1；(2) 如果B和C是兩個(gè)互 斥事件申則P(BUCIA) = P(BA) +P(C|A)2. 事件的相互獨(dú)立性(1) 定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB) = P(A

2、)P(B)，則稱(chēng)事 件A與事件B相互獨(dú)立.(2) 性質(zhì)：若事件 A與B相互獨(dú)立，則 A與B、A與B、A與B 也都相互獨(dú)立，P(B|A) = P(B), P(A|B) = P(A).3. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中A(i = 1 , 2，n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果，貝S P(AiA2A3AJ = P(AjP(A2)P(A3)P(An).(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次 試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X = k) = Cjnpk(1 -p)nk(k = 0,1, 2,，n)，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服

3、從二項(xiàng)分布，記作XB(n, p),并 稱(chēng)p為成功概率.4. 正態(tài)分布(1) 正態(tài)分布的定義.一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a, b(avb),隨機(jī)變量X滿足P(a<X < b) =/。(x)dx,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為XN(仏c2).(2) 正態(tài)曲線的特點(diǎn)： 曲線位于x軸的上方，與x軸不相交； 曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x=卩對(duì)稱(chēng)；1 曲線在x= a處達(dá)到峰值:；c弋2 n 曲線與x軸之間的面積為1； 當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由c確定.c越小，曲線越“瘦高”， 表示總體的分布越集中；c越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布 越分散.(3) 正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P(a

4、 - c <X< 葉 ch0.682_6; P( (2 c <XC 卩+ 2c)0.954_4;P( 3 c <XC 葉 3c) 0.997_4.©I學(xué)情自測(cè)1. (質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“"”，錯(cuò)誤的打 “x” )(1)若事件A, B相互獨(dú)立，則P(B|A) = P(B).()P(BA)表示事件 A , B同時(shí)發(fā)生的概率，一定有 P(AB)=(x卩)e(TP(A) P(B).()中，是正態(tài)1(3)在正態(tài)分布函數(shù)(x)= 一丫2 n分布的期望值，。是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.()(4)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X = k)

5、= Cnpk(1p)n_k, k = 0, 1, 2,，n表示的概率分布列，它表示了 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布.()答案：(1)"(2)X (3)V (4)V2 .已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀 完全相同.甲每次從中任取一個(gè)不放回，在他第一次拿到白球的條件 下，第二次拿到紅球的概率為(亠2c8d9解析：設(shè)“第一次拿到白球”為事件A, “第二次拿到紅球”為14 / 132X 312 1事件 B,依題意 P(A) = 10= 5, P(AB)- 10x 9-15.故 P(B|A)=P (AB)13.答案：B3. （2015課標(biāo)全國(guó)I卷）投籃測(cè)試

6、中，每人投3次，至少投中2 次才能通過(guò)測(cè)試，已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為 0.6,且各次投 籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為 （ ）A. 0.648 B. 0.432C. 0.36 D. 0312解析：3次投籃投中2次的概率為P(k= 2) = C3 x 0.62 X (1 0.6)=2X0.63投中3次的概率為 P(k = 3)= 0.63,故所求事件的概率 p = P(k = 2)+ P(k= 3)= 0.648.答案：A4. (2016鄭州調(diào)研)已知隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(2, (T 2),且P( E <4)0.8,貝卩 P(0< E <4)()A. 0

7、.6 B. 0.4C. 0.3 D. 0.2解析：由 P( E <4)0.8,得 P(驢 4)= 0.2.又正態(tài)曲線關(guān)于x= 2對(duì)稱(chēng).則 P（ E 0）= P（驢4） = 0.2,P(0V E <4)1 - P(更 0)- P(驢4)= 06答案：A15 .國(guó)慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為3乙去北京旅游的概1率為1，假定二人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為.解析：記在國(guó)慶期間“甲去北京旅游”為事件A, “乙去北京旅 游”為事件B,且A、B相互獨(dú)立，A與B相互獨(dú)立.1213依題意，P(A) =1 3 = 3, P(B) = 1 4 = 4.2 31又

8、 P(AB) = P(A) P(B)= 3X 4= 2甲、乙二人至少有一人去北京旅游的對(duì)立事件為甲、乙二人都不去北京旅游，所求概率為1 11 P(AB) = 1 2= 21答案：；£名師微博通法領(lǐng)悟一個(gè)區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)試驗(yàn)中，兩事件發(fā)生的概率互不影響；相 互互斥事件是指同一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生.兩種分布1. 判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：(1)是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是否均為P.(2)隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù).兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布，即 n=1的二項(xiàng)分布.2. 若X服從正態(tài)分布，即XN(卩，(T

9、2)，要充分利用正態(tài)曲線 的對(duì)稱(chēng)性和曲線與x軸之間的面積為1.兩種方法求條件概率有兩種方法：宀丄P (AB)1. 定義法：P(B|A)= p (A).2. 基本事件法：若n(C)表示試驗(yàn)中事件C包含的基本事件的個(gè) 數(shù)，貝S P(B|A) = “ (AB).n (A)兩點(diǎn)提醒1. 在應(yīng)用相互獨(dú)立事件的概率公式時(shí)，對(duì)含有“至多有一個(gè)發(fā) 生”、“至少有一個(gè)發(fā)生”的情況，可結(jié)合對(duì)立事件的概率求解.2. 運(yùn)用公式P(AB) = P(A) P(B)時(shí)，要注意公式成立的條件，只 有當(dāng)事件A和B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立.備劇盤(pán)高效提能I狀集訓(xùn)I單眩成冊(cè)一、選擇題1. (2014課標(biāo)全國(guó)H卷)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資

10、料表明，一天的 空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是 06,已知 某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A. 0.8B. 0.75C. 0.6 D. 0.45解析：記事件A表示“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，事件B表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，P(A) = 0.75, P(AB) = 0.6,由條件P (AB)06概率，得 P(B|A) = 075= 0.6.P (A)°.75答案：A2 . (2016濟(jì)南模擬)設(shè)隨機(jī)變量 XB；6, 1 j,貝“ P(X = 3)等于( )解析：XB 6, 1 由二項(xiàng)分布可得，P(X = 3) = C3PI-5=

11、16.答案：A3. (2015湖北卷)設(shè)XN(小,(T 1), YN(鬼，(T 2)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是 ()A. P(Y > 吃)> P(Y > 小)B. P(X< 創(chuàng)< P(X < 6)C .對(duì)任意正數(shù) t, P(X > t) > P(Y > t)D .對(duì)任意正數(shù) t, P(X < t) > P(Y < t)解析：由XN(山，o2), YN(盟,c2),及正態(tài)分布密度曲線知*v 血，6|V 021 1則P(Y >血戶2, P(Y >山)>2,故P(Y >血)P(Y

12、 >卩J錯(cuò)誤.因?yàn)?0< O 2,所以 P(X< 0)>P(X < 0), B 錯(cuò)；對(duì)任意正數(shù)t, P(X> t)<P(Y > t), C錯(cuò)；對(duì)任意正數(shù)t, P(X< t)> P(Y< t) , D正確.答案：D4.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為3和3,兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為()A 1 口 5a尹121 1CD.4 6解析：設(shè)事件A:甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品；事件B:乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品,23則 P(A) = 3, P(B) = 4，所以這兩個(gè)零件中恰

13、有一個(gè)一等品的概率為P(AB) + P(AB) = P(A)P(B) + P(A)P(B)23235=3X (1 4)+ (13)% 4= 12-答案：B(1、5.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布XB 5, 1 /則函數(shù)f(x) = x2 +4x+X存在零點(diǎn)的概率是()4一 5B5 一 6解析：T函數(shù)f(x) = x2+ 4x+ X存在零點(diǎn), =16 4X0 , X W 4.X服從XB5, 1131P(X < 4) = 1 P(X = 5) = 1 十=32.答案：C二、填空題6. 某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球 中至多命中一次的概率為16,則該隊(duì)員每次罰球的命中率為解析：

14、設(shè)該隊(duì)員每次罰球的命中率為 P,其中0<p<1，則依題意有 1p2=；5, p2=25,又 o<p<i,；p=5.答案：357. 假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù) X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù) 800VX< 900的 概率為 Po,貝S Po=.解析：由 X N(800, 502),知 尸 800,=50,又 P(700<X < 900)= 0.954 4,1貝卩 P(800<X< 900)= 2X 0.9544= 0.4772.答案：0.47728. (2016河北衡水中學(xué)質(zhì)檢)將一個(gè)大正方

15、形平均分成9個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中)，投中最左 側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為 A,投中最上面3個(gè)小正方形或正中 間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為 B,則P(A|B) =.解析：依題意，隨機(jī)試驗(yàn)共有9個(gè)不同的基本結(jié)果.由于隨機(jī)投擲，且小正方形的面積大小相等.所以事件B包含4個(gè)基本結(jié)果，事件AB包含1個(gè)基本結(jié)果.41所以 P(B) = 4 P(AB) = 9.P (AB)所以 P(A|B) =P (B)1答案：14三、解答題1 4=4 9 4 9-9. (2015福建卷)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn) 3次 密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢(qián)時(shí)，

16、發(fā)現(xiàn)自己 忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的 6 個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇 1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼 正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(1) 求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2) 設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為 X，求X的分布列 和數(shù)學(xué)期望.解：(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”為事件A,小5 431則 P(A) = 6x5x4= 2.依題意得，X所有可能的取值是1, 2, 3.15115 42又 P(X = 1) = 6, P(X = 2)=6x 5= 6, P(X = 3) = 6x5x 1 = 3所以X的分布列為X123

17、P1126631125所以 E(X) = 1X 6+ 2X6+ 3X 3 =公10. (2017 廣州一模)近年來(lái)，我國(guó)電子商務(wù)蓬勃發(fā)展.2016年“ 618期間，某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)高達(dá)516億元人民幣，與此同時(shí)， 相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)該網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)系統(tǒng).從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商 品的滿意率為06,對(duì)服務(wù)的滿意率為075,其中對(duì)商品和服務(wù)都滿 意的交易為80次.(1)根據(jù)已知條件完成下面的2X 2列聯(lián)表，并回答能否有99%的 把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品滿意與對(duì)服務(wù)滿意之間有關(guān)系”？對(duì)服務(wù)滿意對(duì)服務(wù)不滿意合計(jì)對(duì)商品滿意80對(duì)商品不滿意合計(jì)200(2)若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)上進(jìn)行的3次購(gòu)物中,設(shè)對(duì)商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機(jī)變量 X，求X的分布列和數(shù)學(xué)n (ad bg)附：K2 =(其中 n = a+b+ c期望EX.(a+ b)( c+ d)( a+ c)( b+ d)+ d為樣本容量)P(K2> k)0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635解：(1)2X 2列聯(lián)表:對(duì)服務(wù)滿意對(duì)服務(wù)不滿意合計(jì)對(duì)商品滿意8040120對(duì)商品不滿意701080合計(jì)150502002200x （80X 10- 40x 70） 2K