（三管齊下）貴州省2014屆高三數學 復習試題15 導數的綜合應用理（含解析）新人教A版

1、15導數的綜合應用導學目標： 1.應用導數討論函數的單調性，并會根據函數的性質求參數范圍.2.會利用導數解決某些實際問題自主梳理1函數的最值(1)函數f(x)在a，b上必有最值的條件如果函數yf(x)的圖象在區(qū)間a，b上_，那么它必有最大值和最小值(2)求函數yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟：求函數yf(x)在(a，b)內的_；將函數yf(x)的各極值與_比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值2實際應用問題：首先要充分理解題意，列出適當的函數關系式，再利用導數求出該函數的最大值或最小值，最后回到實際問題中，得出最優(yōu)解自我檢測1函數f(x)x33axa在(0,1)內有最小值，

2、則a的取值范圍為 ()A0a1B0a1C1a1D0a2(2011汕頭月考)設f(x)是函數f(x)的導函數，將yf(x)和yf(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是 ()3對于R上可導的任意函數f(x)，若滿足(x1)f(x)0，則必有 ()Af(0)f(2)2f(1)4(2011新鄉(xiāng)模擬)函數f(x)ex (sin xcos x)在區(qū)間上的值域為_5f(x)x(xc)2在x2處有極大值，則常數c的值為_探究點一求含參數的函數的最值例1已知函數f(x)x2eax (a0)，求函數在1,2上的最大值變式遷移1設a0，函數f(x).(1)討論f(x)的單調性；(2)求f(x)在區(qū)間a,

3、2a上的最小值探究點二用導數證明不等式例2(2011張家口模擬)已知f(x)x2aln x(aR)，(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)求證：當x1時，x2ln xln 21且x0時，exx22ax1.探究點三實際生活中的優(yōu)化問題例3(2011孝感月考)某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交a元(3a5)的管理費，預計當每件產品的售價為x元(9x11)時，一年的銷售量為(12x)2萬件(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產品的售價x的函數關系式；(2)當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a)變式遷移3甲方是一農場，乙方

4、是一工廠由于乙方生產需占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產量t(噸)滿足函數關系x2 000.若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格)(1)將乙方的年利潤(元)表示為年產量t(噸)的函數，并求出乙方獲得最大利潤的年產量；(2)甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額y0.002t2(元)，在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格S是多少？轉化與化歸思想的應用例(12分)(2010全國)已知函數f(x)(x1)ln xx1.(1)若xf(x

5、)x2ax1，求a的取值范圍；(2)證明：(x1)f(x)0.【答題模板】(1)解f(x)ln x1ln x，x0，xf(x)xln x1.由xf(x)x2ax1，得aln xx，令g(x)ln xx，則g(x)1，2分當0x0；當x1時，g(x)0，4分x1是最大值點，g(x)maxg(1)1，a1，a的取值范圍為1，)6分(2)證明由(1)知g(x)ln xxg(1)1，ln xx10.(注：充分利用(1)是快速解決(2)的關鍵)8分當0x1時，x10，f(x)(x1)ln xx1ln xxln xx1ln xx0，(x1)f(x)0.11分綜上，(x1)f(x)0.12分【突破思維障礙】

6、本小題主要考查函數、導數、不等式證明等知識，通過運用導數知識解決函數、不等式問題，考查了考生綜合運用數學知識解決問題的能力以及計算能力，同時也考查了函數與方程思想、化歸與轉化思想通過轉化，本題實質還是利用單調性求最值問題1求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數時，要分類討論參數的范圍若已知函數單調性求參數范圍時，隱含恒成立思想2利用導數解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：(1)分析實際問題中各變量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出相應的函數關系式y(tǒng)f(x)；(2)求函數的導數f(x)，解方程f(x)0；(3)比較函數的區(qū)間端點對應的函數值和極值，確定最值；(4)回到實際問題，作出解答 (滿分：

7、75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011皖南模擬)已知曲線C：y2x2x3，點P(0，4)，直線l過點P且與曲線C相切于點Q，則點Q的橫坐標為 ()A1B1C2D22已知函數yf(x)，yg(x)的導函數的圖象如圖所示，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是 ()3設f(x)是函數f(x)的導函數，yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象最有可能是 ()4函數f(x)x3x2txt在(1,1)上是增函數，則t的取值范圍是 ()At5 Bt5Ct5Dt55(2011滄州模擬)若函數f(x)，且0x1x2bBabCabDa、b的大小不能確定題號12345答案二、填空題(每小題4分

8、，共12分)6在直徑為d的圓木中，截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁，則矩形面的長為_(強度與bh2成正比，其中h為矩形的長，b為矩形的寬)7要建造一個長方體形狀的倉庫，其內部的高為3 m，長和寬的和為20 m，則倉庫容積的最大值為_m3.8若函數f(x)在區(qū)間(m,2m1)上是單調遞增函數，則實數m的取值范圍為_三、解答題(共38分)9(12分)已知函數f(x)(1x)2ln(1x)(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若x1，e1時，f(x)0，試比較f(x)與g(x)的大小答案 自主梳理1(1)連續(xù)(2)極值端點值自我檢測1B2.D3.C4.5.6課堂活動區(qū)例1解題導引求函數在閉區(qū)間上的最值

9、，首先應判斷函數在閉區(qū)間上的單調性，一般方法是令f(x)0，求出x值后，再判斷函數在各區(qū)間上的單調性，在這里一般要用到分類討論的思想，討論的標準通常是極值點與區(qū)間端點的大小關系，確定單調性或具體情況解f(x)x2eax (a0)，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)令f(x)0，即eax(ax22x)0，得0x.f(x)在(，0)，上是減函數，在上是增函數當02時，f(x)在1,2上是減函數，f(x)maxf(1)ea.當12，即1a2時，f(x)在上是增函數，在上是減函數，f(x)maxf4a2e2.當2，即0a1時，f(x)在1,2上是增函數，f(x)maxf(2)4e2

10、a.綜上所述，當0a2時，f(x)的最大值為ea.變式遷移1解(1)函數f(x)的定義域為(0，)，f(x)a(a0)，由f(x)a0，得0xe；由f(x)e.故f(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，)上單調遞減(2)f(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，)上單調遞減，f(x)在a,2a上的最小值f(x)minminf(a)，f(2a)f(a)f(2a)ln，當02時，f(x)min.例2解題導引利用導數解決不等式問題的主要方法就是構造函數，通過研究函數的性質進而解決不等式問題(1)解f(x)x(x0)，若a0時，f(x)0恒成立，函數f(x)的單調增區(qū)間為(0，)若a0時，令f(x)0，

11、得x，函數f(x)的單調增區(qū)間為(，)，減區(qū)間為(0，)(2)證明設F(x)x3(x2ln x)，故F(x)2x2x.F(x).x1，F(x)0.F(x)在(1，)上為增函數又F(x)在(1，)上連續(xù)，F(1)0，F(x)在(1，)上恒成立F(x)0.當x1時，x2ln xln 21時，g(x)最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R內單調遞增，于是當aln 21時，對任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，都有g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.例3解(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價x

12、的函數關系式為L(x3a)(12x)2，x9,11(2)L(x)(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)令L0，得x6a或x12(不合題意，舍去)3a5，86a.在x6a兩側L的值由正變負當86a9，即3a時，LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)當96a，即a5時，LmaxL(6a)(6a3a)12(6a)24(3a)3.所以Q(a)綜上，若3a，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)9(6a)(萬元)；若a5，則當每件售價為(6a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)4(3a)3(萬元)變式遷移3解(1)因為賠付價格為S元/噸，所

13、以乙方的實際年利潤為2 000St.由S，令0，得tt0()2.當t0；當tt0時，0.所以當tt0時，取得最大值因此乙方獲得最大利潤的年產量為()2噸(2)設甲方凈收入為v元，則vSt0.002t2.將t()2代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格S之間的函數關系式：v.又v，令v0，得S20.當S0；當S20時，v0，bd，且在(0，d)上f(b)0，在d，d上f(b)0.函數f(b)在bd處取極大值，也是最大值，即抗彎強度最大，此時長hd.7300解析設長為x m，則寬為(20x)m，倉庫的容積為V，則Vx(20x)33x260x，V6x60，令V0得x10.當0x0；當x10時，V0，x

14、10時，V最大300 (m3)8(1,0解析f(x)0，解得1x1.由已知得(m,2m1)1,1，即，解得11)(4分)f(x)在(0，)上單調遞增，在(1,0)上單調遞減(6分)(2)令f(x)0，即x0，則x(1,0)0(0，e1)f(x)0f(x)極小值(9分)又f(1)1，f(e1)e211，又f(x)e21.(12分)10解(1)設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)，(2分)再由C(0)8，得k40，因此C(x)，(4分)而建造費用為C1(x)6x.(5分)最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(6分)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)(8分)當0x5時，f(x)0，當5x0，(10分)故x5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)6570.當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元(12分)11解(1)f(x)ln x的圖象與x軸的交點坐標是(1,0)，依題意，得g(1)ab0.(2分)又f(x