高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座--第11講：數(shù)學(xué)解題方法之換元法探討

1、【備戰(zhàn)2014高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題講座】第11講：數(shù)學(xué)解題方法之換元法探討38講，我們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，從第九講開(kāi)始我們對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行探討。數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常用的數(shù)學(xué)解題方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等。解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元或設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是通過(guò)引進(jìn)新的變量，把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，把隱含的條件顯露出來(lái)，把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，把不熟悉的形式變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化，把非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化等。 通過(guò)換元，可以化高次為低

2、次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，化代數(shù)式為三角式等。在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。 換元的方法有：局部換元，三角換元，均值換元。結(jié)合2012年全國(guó)各地高考的實(shí)例，我們從下面三方面探討換元法的應(yīng)用：（1）局部換元法的應(yīng)用；（2）三角換元法的應(yīng)用；（3）均值換元法的應(yīng)用。一、局部換元法的應(yīng)用：局部換元，又稱(chēng)整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。典型例題：例1. （2012年上海市文4分）方程的解是 【答案】。【考點(diǎn)】解指數(shù)方程?！窘馕觥糠匠?，化簡(jiǎn)為。令，則原方程可化為，解得

3、 或（舍去）。原方程的解為?！军c(diǎn)評(píng)】通過(guò)設(shè)，將原方程變?yōu)槭煜さ囊辉畏匠毯椭笖?shù)方程的問(wèn)題。例2. （2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分） 已知函數(shù)；則的圖像大致為【 】 【答案】。【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【解析】設(shè)，則。時(shí)，；時(shí)，?；蚓?。因此排除。故選。【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)設(shè)，將原函數(shù)變?yōu)檩^為簡(jiǎn)單的函數(shù)，討論其單調(diào)性得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而作出正確的判斷。例3. （2012年安徽省理13分）設(shè)（I）求在上的最小值；（II）設(shè)曲線在點(diǎn)的切線方程為；求的值?！敬鸢浮拷猓海↖）設(shè)，則。 當(dāng)時(shí)，。在上是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，的最小值為。當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為。（II），。由題意得：，即，解得?！究键c(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)

4、數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的增減性，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥浚↖）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的的性質(zhì)分和求解。（II）根據(jù)切線的幾何意義列方程組求解?！军c(diǎn)評(píng)】通過(guò)設(shè)，將原函數(shù)變?yōu)檩^為簡(jiǎn)單的函數(shù)，討論其單調(diào)性得到原函數(shù)的單調(diào)性。例4. （2012年全國(guó)課標(biāo)卷文5分）數(shù)列滿(mǎn)足，則的前60項(xiàng)和為【 】（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830【答案】D?！究键c(diǎn)】分類(lèi)歸納（數(shù)字的變化類(lèi)），數(shù)列。【解析】求出的通項(xiàng)：由得， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；······當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（）。，的四項(xiàng)之和為（）

5、。設(shè)（）。則的前項(xiàng)和等于的前15項(xiàng)和，而是首項(xiàng)為10，公差為16的等差數(shù)列，的前項(xiàng)和=的前15項(xiàng)和=。故選D?！军c(diǎn)評(píng)】通過(guò)設(shè)（），將原數(shù)列前項(xiàng)和變?yōu)楹?jiǎn)單的等差數(shù)列前15項(xiàng)和的問(wèn)題。例5. （2012年四川省文5分）設(shè)函數(shù)，是公差不為0的等差數(shù)列，則【 】A、0 B、7 C、14 D、21【答案】D?！究键c(diǎn)】高次函數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列性質(zhì)?！窘馕觥渴枪畈粸?的等差數(shù)列，記公差為。則。，。設(shè)，則。故選D?！军c(diǎn)評(píng)】通過(guò)設(shè)，使方程變得簡(jiǎn)單。例6.（2012年江蘇省5分）已知正數(shù)滿(mǎn)足：則的取值范圍是 【答案】?！究键c(diǎn)】可行域?！窘馕觥織l件可化為：。 設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿(mǎn)足，求的取值范圍。作出（）所在

6、平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設(shè)過(guò)切點(diǎn)的切線為， 則，要使它最小，須。的最小值在處，為。此時(shí)，點(diǎn)在上之間。當(dāng)（）對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)， ，的最大值在處，為7。的取值范圍為，即的取值范圍是?！军c(diǎn)評(píng)】通過(guò)設(shè)，將問(wèn)題變?yōu)榭尚杏騿?wèn)題求解。二、三角換元法的應(yīng)用：三角換元，是利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中的聯(lián)系進(jìn)行換元，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化就是典型的三角換元。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年安徽省理5分）在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離是 【答案】。【考點(diǎn)】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，點(diǎn)到直線的距離公式?！窘馕觥繉⒒癁橹苯亲鴺?biāo)方程：，其圓心坐標(biāo)為。將化為直角坐標(biāo)方程：。根據(jù)點(diǎn)到直線

7、的距離公式，得圓心到直線的距離是?！军c(diǎn)評(píng)】通過(guò)極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程（本質(zhì)是三角換元），將問(wèn)題變?yōu)槭煜さ那蠼庵苯亲鴺?biāo)系中點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題。例2. （2012年湖南省文5分）在極坐標(biāo)系中，曲線：與曲線：的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a=.【答案】。【考點(diǎn)】直線的極坐標(biāo)方程、圓的極坐標(biāo)方程，直線與圓的位置關(guān)系。【解析】曲線的直角坐標(biāo)方程是，曲線的普通方程是直角坐標(biāo)方程，曲線C1：與曲線C2：的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)與值相等。由，知?！军c(diǎn)評(píng)】通過(guò)極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程（本質(zhì)是三角換元），將問(wèn)題變?yōu)槭煜さ那蠼庵苯亲鴺?biāo)問(wèn)題。例3. （2012年陜西省文5分）直線與圓相交的弦長(zhǎng)為 【答案】?！究键c(diǎn)

8、】極坐標(biāo)方程，圓和直線的關(guān)系。【解析】將極坐標(biāo)方程化為普通方程為與，聯(lián)立方程組成方程組求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)和，故弦長(zhǎng)等于。【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程（本質(zhì)是三角換元），將問(wèn)題變?yōu)槭煜さ那蠼庵苯亲鴺?biāo)問(wèn)題。例4. （2012年全國(guó)課標(biāo)卷文5分） 已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的坐標(biāo)系方程是，正方形的頂點(diǎn)都在上，且依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為(求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(設(shè)為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍?！敬鸢浮拷猓?正方形的頂點(diǎn)都在：上，點(diǎn)的極坐標(biāo)為。點(diǎn)的直角坐標(biāo)為：，即。(設(shè)，則。 ， 。，的取值范圍?！究键c(diǎn)】參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，三角

9、函數(shù)值的范圍?！窘馕觥?由正方形的性質(zhì)，首先求得的極坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)，兩點(diǎn)間距離公式。(根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，求出的表達(dá)式即可求出其取值范圍。【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)利用參數(shù)方程（本質(zhì)是三角換元），將問(wèn)題變?yōu)槿呛瘮?shù)求范圍問(wèn)題。三、均值換元法的應(yīng)用：均值換元，是利用兩個(gè)量的平均值和一個(gè)字母元，溝通原來(lái)兩個(gè)量之間的關(guān)系，從而簡(jiǎn)便計(jì)算，即形如形式時(shí)，設(shè)進(jìn)行換元，其中是的平均值，是新元。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年全國(guó)大綱卷文10分）中，內(nèi)角、成等差數(shù)列，其對(duì)邊、滿(mǎn)足，求A【答案】解：中，內(nèi)角、成等差數(shù)列，。，。又，根據(jù)正弦定理，得。由“”進(jìn)行均值換元，設(shè) ，。則，化簡(jiǎn)，得?；??！究键c(diǎn)】解三角形的運(yùn)用，等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理，兩角和的三角函數(shù)?！窘馕觥扛鶕?jù)角、成等差數(shù)列和三角形內(nèi)角和定理可得，。運(yùn)用均值換元法，由應(yīng)用正弦定理和兩角和的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)等式，求出答案?！军c(diǎn)評(píng)】通過(guò)均值換元，將問(wèn)題變?yōu)楹?jiǎn)單