等離子體物理講義06_磁流體力學及靜平衡12

1、 等離子體物理學講義No. 6馬 石 莊第6講 MHD方程與靜力平衡教學目的:建立等離子體的磁流體模型,在擬穩(wěn)態(tài)近似下,建立磁流體動力學方程。依據(jù)磁Reynolds數(shù),掌握理想MHD的磁凍結(jié)定理和拓撲不變量;無力平衡和有力平衡。主要內(nèi)容:§1 MHD方程 (31.1導心理論引出 (31.2 MHD近似 (91.3磁應力張量 (12§2 電磁感應方程 (152.1 磁凍結(jié)定理 (162.2 拓撲不變量 (212.3 磁場擴散 (26§3 MHD靜平衡 (283.1維里定理 (303.2無力平衡 (343.3 有力平衡 (36習題6 (44在研究等離子體的宏觀運動時,

2、通?？梢越频匕阉斪鲗щ娏黧w來處理。這種模型適合于緩慢變化的等離子體現(xiàn)象。所謂緩慢變化是指等離子體的特征長度和特征時間遠大子等離子體粒子的平均自由程和平均碰撞時間。在這種情況下,等離子體可以近似地看作處于局部熱平衡狀態(tài),因而可以像通常的流體力學中那樣定義流體的速度,壓強,密度,溫度等流體力學及熱力學參量并用這些宏觀參量來描述等離子體的宏觀運動。§1 MHD方程當導電流體在電磁場中運動時,流體內(nèi)感生出電場從而產(chǎn)生電流。這個電流一方面與磁場相互作用,產(chǎn)生機械力,對流體運動產(chǎn)生重大影響;另一方面感應出改變原有電磁場的磁場。于是就形成了電磁現(xiàn)象和流體動力學現(xiàn)象相互作用的復雜圖像。這些現(xiàn)象必

3、須要用電磁場方程和流體動力學方程的聯(lián)立方程組來進行研究。等離子體中的帶電粒子在電磁場中的運動可以看作是圍繞磁力線回轉(zhuǎn)的粒子引導中心的漂移疊加,下面探討微觀單個粒子的行為與宏觀流體行為之間的關(guān)系,給出一種物理直觀圖象。如圖1所示,基本思路是計算導心運動導致的流過等離子體中任意開曲面的垂直電流密度 ,考察這個電流與等離子體壓強梯度和慣性力之間的聯(lián)系。取曲面的法向與磁場正交,仔細考慮回轉(zhuǎn)半徑擴張的影響。首先考慮粒子運動的主要貢獻是來自圓周回轉(zhuǎn)運動,每個粒子進出曲面的方向相反,對電流沒有貢獻,如圖1(b。換言之,在一個回轉(zhuǎn)周期中,沒有凈電荷流動。垂直電流由兩種不同的機制產(chǎn)生。一個是導心垂直漂移產(chǎn)生的穿

4、過曲面的電荷流,如圖1(c;還有一種曲面邊界附近的回轉(zhuǎn)運動,如圖1(d,所謂磁化電流。粒子的導心漂移速度由 漂移, B漂移,曲率漂移和極化漂移構(gòu)成E B2ddE B2 其中 /·是磁力線的曲率半徑。在磁流體力學尺度內(nèi),通常 漂移比電子和離子的任何其它漂移都要大 量級,粒子的垂直速度和平行速度與熱運動速度相當,即 。所以,在流體模型中,無論電子還是離子,導心的主要運動都是 漂移運動。由于電子和離子以相同的速度漂移,因此可以引入垂直方向上的宏觀速度 ,這里改寫為相當于垂直方向上的Ohm定律。現(xiàn)在考察導心漂移運動產(chǎn)生的垂直電流。盡管 漂移對粒子漂移的貢獻最大,由于電中性條件以及電子離子的漂

5、移方向相同, 漂移產(chǎn)生的凈電流也為零。再考察其它漂移的貢獻,將電子的漂移與離子的漂移相減,然后對所有的粒子求和 d代入漂移速度, 漂移自動消去ddd假設粒子服從穩(wěn)定Maxwell分布,在速度空間的局域直角坐標系中,容易計算得到dd其中 , 。磁化電流源自邊界附近只穿過曲面一次的帶電粒子,它們對垂直電流的貢獻要通過計算每個粒子攜帶電流與所有只穿過一次的粒子數(shù)的乘積來估計。在一個回轉(zhuǎn)周期內(nèi),載荷 的粒子的產(chǎn)生的平均電流為2負號表明電流沿逆磁方向,趨于抵消原來的磁場。這類帶電粒子可能具有四種不同的情形,如圖2所示。這些軌道中心的軌跡組成一個以回旋半徑 L為半徑的圓,任何帶電粒子只要導心位于所選曲面邊

6、界上的點為中心,以 L為半徑的圓內(nèi),就屬于僅穿越曲面一次的粒子。包含這些粒子的體積元為d ·d ,其中L ,d 是曲面邊界元。一般說來回轉(zhuǎn)軌道的法向沿 方向,與d 并不平行,如圖3所示,其投影減少了單次穿越所選曲面的粒子數(shù)目。體積元內(nèi)速度為 的粒子數(shù)為d d d ,相應的電流為d d d ,通過對速度空間和沿曲面邊界的所有體積元積分, 即得總磁化電流M 2 d ·d 對于局域Maxwell 平衡分布,積分并引入 M ,得到·d M M ·d ·d ·d 比較得到M合并導心漂移電流和磁化電流 Md d化簡各項,得到d d其中用到恒等式

7、· 0和 · · /2 ,合并消去,從導心理論得到動量方程d這個形式與理想磁流體力學得到的結(jié)果一致,說明流體力學方法和導心理論方法兩種處理是等價的,只是對宏觀磁流體力學行為的自洽描述不同。1.2 MHD 近似電磁現(xiàn)象的一般規(guī)律滿足Maxwell 方程 · · 0本構(gòu)方程是Ohm 定律這里假定介質(zhì)是靜止的(對參考系 而言, , 等就是在這個參考系內(nèi)定義的。特別是電流與電場之間的關(guān)系 ,一般說來只適用于靜止的導體。為了求出運動導電流體內(nèi)電流和電場的關(guān)系式,從參考系 變換到另一個以速度 相對于 運動的參考系 ,其中導電流體在所考慮的時刻是靜止的。在這

8、個參考系內(nèi),有 ,其中 是 內(nèi)的電場強度。根據(jù)相對論關(guān)于場變換的公式,準確到 / 的量級, 用 系內(nèi)的場表示為于是得到為了得到參考系 中 的表達式,考慮電流密度的一般定義 和 ,其中 和 分別是電荷在座標系 和 內(nèi)的速度。在 和 的相對速度 遠小于光速的非相對論情形,速度按Galilio公式變換由此得到即下面將表明,磁流體力學范圍內(nèi)運流電流 與傳導電流比較可以略去。因此,從一個參考系變換到另一個參考系時,電流實際上保持不變 。物質(zhì)內(nèi)的交變電磁場的特征,主要決定于物質(zhì)的種類和場頻率的量級。在磁流體力學范圍內(nèi),通常研究的是在外加交變磁場內(nèi)的大導電流體中產(chǎn)生的現(xiàn)象。這時可以假定,場的變化速度不很大,

9、滿足這樣兩個條件。首先,假定相應場頻率 的波長 / ,大于流體運動的特征長度 ,即或1其中 1/ 為場變化特征時間。其次,假定電導率 和場頻率 之比滿足:1 或1即場變化的特征時間遠大于粒子碰撞時間,由于等離子體是良導體,這一條件實際上總是滿足的,這樣的電磁場和電流是準靜態(tài)的,稱為MHD 近似。當MHD 近似條件滿足時,位移電流 ,運流電流 和電場力 可以忽略。利用 , · 及 / , 1/ ,并且假定 , ,可以作如下估計| | | | 1 | | · 1| | | |1 | | | · | |1| | | | |1 于是運動導電流體內(nèi)的MHD 近似電磁場方程為

10、 Faraday 定律 Ampere 定律 · · 0Ohm 定律在MHD 近似下,進一步從Ampere 定律和Ohm 定律中消去電流 ,得到兩邊取旋度運用恒等式· ·由于 · 0和Faraday 定律,得到描寫磁場演化的電磁感應方程 其中磁擴散系數(shù)1電磁感應方程說明磁場隨時間的演化受兩項控制。第一項與流體速度有關(guān),稱為對流項;第二項與電導率有關(guān),稱為擴散項。對于電磁場中運動導電流體,仍然要從質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒定律得到動力學方程。現(xiàn)在運動方程中的外加質(zhì)量力是電磁力和重力。通常情況下電磁力遠大于重力,可略去不計?？紤]了電磁力的流體動力學

11、方程如下d d · 0 d · d · · · · 電磁場通過Lorentz 力公式對流體產(chǎn)生作用。從而。磁流體動力學方程組為d d · 0 d · d · · · · 如果流體是無粘性,不傳熱的和理想導電,稱為理想導電流體,方程組為d d· 0 d · d d 0 稱為理想MHD 方程。進一步分析Lorentz 力 的作用性質(zhì)。將 代入得到112 1 · 事實上,由 · · · ,體積力 可以寫成1 ·

12、1 2· 這里1 1 2為Maxwell電磁應力張量的磁場部分?，F(xiàn)在解釋給此力以物理意義?？紤]閉合曲面 任意體積 ,在此體積上積分得到合力,體積分可以變換成面積積分,于是合力可以解釋成一組等效的表面力d · d·dd其中1·12是作用在單位法線矢量為 的面元上的等效表面力,稱為磁應力。 設平行于磁場的單位矢量為 ,則體積力和磁應力的關(guān)系進一步寫成d ·d2d2cos d其中 為 和之間的夾角。由此可見,磁力等效于大小為 2 的各向同性磁壓力和沿磁力線方向,大小為 的張力之和,或者可以說,磁力等效于與磁力線相垂直方向上的壓力 2 與沿磁力線方向的

13、張力 的之和。實際上,利用矢量公式· · ·和 ,還可以得到1 1 · 1 1· 2 · 2· 其中,最右邊第一項是各向同性的磁壓力;第二項在平行方向抵消磁壓力梯度力,因為 本來就沒有平行磁場的分量;第三項是磁張力引起,與磁張力和曲率成正比,是彎曲磁力線的恢復力,指向曲率中心。由此可見,用形象語言說,磁力線很像拉緊的橡皮筋,沿著磁力線方向是張力,磁場增強也就意味著張力增大。如果磁力線是彎曲的,這個張力可產(chǎn)生指向磁力線曲率中心的恢復力。磁力線被擾動就像張緊的橡皮筋被撥動,擾動可以傳播,就是所謂的磁流體波。§2 電磁感

14、應方程取 是流體空間變化的特征尺度, 是磁場 的特征尺度, 是速度 的特征尺度,把 用 估計,將各物理量標度化, ,其中各無量綱物理量的量級| | | | 1 ,類比于流體力學中的Reynolds數(shù),引入無量綱磁Reynolds數(shù)| | | |得到無量綱電磁感應方程1對流項與擴散項量級之比的估計| | |·| | |如果 1,對流項為主;如果 1,擴散項為主。2.1 磁凍結(jié)定理大磁Reynolds數(shù)意味著當 1時,電導率,流體速度和特征尺度足夠大,使得 1,擴散項比起對流項足夠小,可以忽略不計,電磁感應方程簡化為這個方程可以用來證明稱為“凍結(jié)磁場定理”。這個定理有兩個等價的表述,分別

15、有不同的證明。 表述1:穿過任一隨流體一起運動的閉合曲線的磁通量為常數(shù)。在時刻 ,對于有閉合曲線 圍合的曲面 ,磁通量定義為 ·d設曲線 隨流體一起運動,時間 后,曲線上的各點移動到新位置 d ,則通過曲線 的磁通量的變化率為d·d· d 第一項是由于磁場對時間的顯式依賴引起的磁通量變化,第二項是由于曲線 的移動引起的磁通量變化。第二項的矢量三重積可以交換位置dd·dd ·根據(jù)Stokes定理及理想電磁感應方程,得到d·d·d因此d表述1有個推論,考慮兩條閉合曲線 和 在時刻 為磁力線所連接,這些磁力線形成一條磁通量為 的磁

16、通管。隨著流體運動,既然在組成磁通管的曲面上 d /d 0,在以后任何時刻 ,這條磁通管的磁通量保持不變。由于磁通管的兩端可以收縮為無窮小,磁通管就變成一條磁力線,因此Alfven可以說“磁力線凍結(jié)在流體之中”。必須指出,磁凍結(jié)定理是是說流體的運動不能穿越磁力線,沿磁力線方向的流體運動不違反磁凍結(jié)定理。 表述2:如果隨流體運動的一曲線初始時為磁力線,那么隨后就一直保持。為了證明這個命題,需要引入通量坐標(flux coordinates。由于磁場是無散場,只有兩個自由度,因此總是可以用兩個標量場可以表示,使用Clebsch變量 , ,也稱為磁Euler勢其中 , 是沿磁力線是保持不變的常數(shù)&#

17、183; · 0對于空間一點 ,磁力線可以表示為用 表示從沿 的曲線長度。三維曲線正交坐標系,稱為 , , ,在磁力線附近, 0,自動滿足· · · · 0其實 , 是沿磁力線保持不變的常數(shù),因為· · 0證明表述2,基本的思路是計算沿給定的流體質(zhì)點軌跡,計算證明 · 的時間變化率為零。為此d· · · ·其中第一項· · ·根據(jù)電磁感應方程,有· · · 設 恒定的曲面隨流體一起運動,即要求d· 0,&#

18、183; 分別代回,得到d d· · · · · · · · · · ·方程等號右端的第一,三和四項可以簡化· · · · · ·,· ·因此d · · · 表明,如果在 0時 · 0,那么對所有的時間 · 0。如果在 0以通量坐標 , 的常數(shù)曲面標志一條磁力線,那么此后一直標識這條磁力線。 2.2 拓撲不變量在理想MHD中,任何有限體積中包含無數(shù)多條磁通管

19、。關(guān)于磁通量管,具有拓撲不變量,在MHD湍流和快發(fā)電機理論有重要應用。對于有閉合曲線 圍合的曲面 ,磁通量定義為 ·d·dd考慮積分· d其中 是 中的第 條磁通管的體積。磁通管以速度 與流體一道運動,則 的時間變化為d· d ·d ·dd其中最后一項dd dd d d d d d d d d · d使用Faraday定律,有d· d· d· · d其中 是標量勢。由于· · · 第二個積分可以寫為· d · d· d

20、3; d· d類似地,第一個積分可以寫為· d · d · d因為 · 0和在 上 · 0, 是磁通管。因此d d 2 · d · d · · d理想MHD 有 ,就有d d · · · · d0 因為在在 上 · 0, · 0。因此,對于系統(tǒng)中每一根磁通管 const.。稱 為Woltjer 不變量1,它取決于理想MHD 中 和在 上 · 0, · 0。這兩個條件中,第一個是磁通管的性質(zhì),第二個也是理想MHD 的結(jié)

21、果,磁通管隨流體運動?？梢越oWöltjer 不變量以 物理解釋2。考慮如圖所示的聯(lián)通磁通管。通量管 包含磁通 ,通量管 包含磁通 ,通量管 的Wöltjer 不變量為· d對這條通量管,有1 L. Wöltjer, Proc. Nat. Acad. Sciences 44, 489 1958 .2 H. K. Moffatt, Magnetic Field Generation in Electrically Conducting Fluids , Cambridge University Press, Cambridge, UK 1978 .d d d

22、 dd d d d d dd d d · d d從而· d · d ·d第一個積分剛好就是通量管 內(nèi)包含的磁通 ;第二積分是曲線 圍合的磁通,如果通量管有“右手”連通的,磁通是 ;如果通量管有“左手”連通的,磁通是 。因此 類似地 如果通量管纏繞了 圈,那么有 同樣的結(jié)果也可以對單結(jié)通量管得到,如下圖。綜上所述,Wöltjer 不變量是通量 管的連通性,即拓撲(topology 的度量,成為磁螺旋度(magnetic helicity 。因為理想MHD 中 const.,這意味著,通量管的拓撲不變并且永遠保持。這個性質(zhì)因此是一個拓撲不變量,確實

23、是磁場與流體一道運動的另外一種表述,是理想MHD 的Ohm 定律 0 的結(jié)果,對流體的可能運動給以很強的約束。交叉螺旋度(cross helicity· d時間變化率為d··d· · 11· d積分號下的第三項涉及Lorentz力,對積分的貢獻為零。如果假設絕熱過程 ,由于 · 0,第二項為1· ·運用矢量恒等式·2和· · · 第一和第四項結(jié)合得到散度形式· · ·運用散度定理, 的時間變化率為d· d在邊界 上,當

24、83; · 0時,上述積分為零。在這些條件下,交互螺旋度是理想MHD的不變量。2.3 磁場擴散當 1時,意味著等離子體的電阻效應占主導地位。從磁通量變化的角度,顯然有dd ·d1·d磁凍結(jié)定理不再成立,流體質(zhì)點可以與磁力線分道揚鑣,磁力線可以穿越流體質(zhì)點移動。由此,等離子體中的磁力線才會發(fā)生MHD重聯(lián)(reconnetion和MHD弛豫(relaxation現(xiàn)象.若取 是流體空間變化的特征尺度, 是磁場 的特征尺度, 是速度 的特征尺度,特征時間為 ,從無量綱電磁感應方程1當 時,方程1有解指數(shù)衰減的解expexpexp其中磁場擴散特征時間為例如,對于地核,衰減時

25、間為10 sec10 年,相對于地球幾十億年的存在,如果有原生磁場,早已衰減殆盡。維持磁場,需要發(fā)電機作用。對于磁約束,等離子體的有限電導 率也是一個需要克服的難點。如圖,設等離子體被磁場所約束,處于準平衡狀態(tài)(流體的慣性項可忽略不計,等離子體主要處在“內(nèi)部”,磁場主要在“外側(cè)”。等離子體的連續(xù)性方程為· ·其中,離子質(zhì)量密度為 ,動量方程為由定態(tài)Ohm定律其中 為標量勢,可以把電場 是外加的。定態(tài)Ohm定律與動量方程合,得到1代入連續(xù)性方程 ··在等溫過程中, , const.,等離子體密度的演化依據(jù)· ·其中擴散系數(shù)且漂移速度第一

26、項表示穿越約束磁力線的擴散,第二項表示向內(nèi)的運流作用。擴散的特征時間為因此,如果沒有外加電場,等離子體在這個時間尺度上將損失。換言之,等離子體的電阻對磁約束有負面效應。由于有限電阻存在,磁能不再守恒,而螺旋度可能是不變量。如下圖操作,總有2 Figure : A sequence of helicity conserving operations on two singly linked ux tubes (a. We carefully make a cut in (b and reconnect and deform in (c to show two 360_ twists and fu

27、rther deform in (d to show two crosses.§3 MHD靜平衡對于流體而言,動量方程可以寫為Newton第二定律的形式dd靜力平衡(stationary equilibirium要求d d非靜力平衡(non stationary equilibirium 要求0 ·選擇坐標系統(tǒng),使得流體是靜止的,在MHD方程中,靜力平衡(要求0,因此靜力平衡Ampere定律和· 0成立。顯然有推論· 0 , · 0電流和磁場必定處于等壓強曲面上。前者說,沿著磁場方向壓強是不變的;后者說,要保持一個與磁場不平行的電流需要存在壓強

28、梯度,反之亦然。在理想MHD中,壓強梯度力可以被Lorentz力平衡,這就是磁約束的基礎(chǔ)。 在流體力學中,靜力平衡是相對簡單的?？紤]重力場中的流體,流體靜力平衡的條件是在一維情形 ,有即得d如果密度剖面給定或者存在關(guān)系 ,就可以得到壓強的分布。在后面的情形中,d d d d, d d 其中 是聲速。在等溫條件下, const.,得到解exp g 對于非靜力平衡,有·因此,有限大小的流體流動可以導致非均勻壓強。在一維情形中,有d1即1const.就是Bernoulli定理。對于更一般的情形3,在MHD中,動量演化依據(jù)·平衡的條件表示為· 0即其中,由于 0,21是總

29、應力張量。把 重寫為2比較方便。定義等效的正交壓強和平行壓強3 The discussion of the Virial Theorem follows that of V. D. Shafranov, “Plasma Equilibrium ina Magnetic Field”, in Reviews of Plasma Physics, M. A. Leontovich (ed., Consultants Bureau,New York (1965.,因此,總應力張量可以表示為即trace引入置于磁場中的孤立流體,在平衡態(tài),則有 trace 0成立。在體積上積分并應用Gauss定理,得到

30、ddd其中 是包圍體積 的閉合曲面,未必是流體的體積及其表面。求積分,得到3d··d等號左端是正定的,現(xiàn)在估計右端的符號和大小。考慮所有的電流密度 和壓強 都完全在流體內(nèi)部,閉合曲面 完全在流體之外,磁場只是有磁流體內(nèi)部的電流產(chǎn)生,如圖所示?，F(xiàn)在取 ,使得上式右端只與磁場有關(guān)。磁流體內(nèi)部的電流引起的矢量勢為|d如果 遠離 ,那么可以做展開1 | |1| |·| |代回矢量勢的表示式,既然 · 0,以及d 發(fā)現(xiàn) , 且·d 因此,積分的右端也是 ,當 0時趨于零。與左邊的保持正的相矛盾,意味著條件不可能為平衡所滿足。這就是維里定理(The Vir

31、ial Theorem。表明,磁化流體不可能在內(nèi)部電流產(chǎn)生的力作用下處于MHD平衡。換言之,MHD 平衡一定是為外部電流維持的。在實驗室中,維里定理一定滿足,因為都是用外部線圈產(chǎn)生磁場的。在天體物理條件下維里定理未必滿足,而宇宙恰恰是充滿動機的地方。維里定理 Rudolf Clausius 18221888 在1870年創(chuàng)立,又稱均功定理:若粒子受力 的作用,在某時間的位移 有限 ,則在外力長時間 的作用下,所作功平均值 · 等于粒子平均動能 負值的兩倍·· 稱為維力。若系統(tǒng)由 個粒子組成,則有·對于保守力場中的經(jīng)典粒子,若作用位勢 是粒子位矢 次冪的齊

32、次函數(shù) ,則力 ,由維里定理,可得2對重力場和靜電場來說,因 1,則12對于具有磁場和自轉(zhuǎn)的穩(wěn)定體系,維里定理表示為:2 2 0其中 是系統(tǒng)轉(zhuǎn)動的動能, 是系統(tǒng)的總磁能, 是系統(tǒng)的總位能。在稀薄等離子體中,壓強梯度力可以忽略不計,稱為無力平衡(forcefree equilibria。有因此存在標量函數(shù) ,使得 ,即這樣的是矢量場,稱為Beltrami場。顯然0 · · · ·由于 · 0,因此,· 0標量函數(shù) 沿磁力線方向保持恒定。引入?yún)?shù)再對 運算,· 0理論上,兩個方程可以聯(lián)立求解未知量 和 ,實際上可能遇到微妙的數(shù)學

33、問題4。一個常見的問題是, const.的柱位形等離子體,則 · 0自動滿足; 0,則關(guān)于 和 分量分別滿足方程dddd1 0和dddd都具有Bessel方程的形式,解分別為,其中, 和 分別是零階和一階Bessel函數(shù)。注意到當 , 2.4048, 符號改變,如下圖所示。設在 為導體壁面,當參數(shù) 改變時,可以存在多樣的螺旋箍縮(screw pinch平衡。既然4 見J. J. Aly, Ap. J. 283, 349 (1984.2.4048時,軸向磁場反向,這種狀態(tài)稱為反向螺旋箍縮(RFP。 當 1時,由于 階Bessel函數(shù)具有漸進性質(zhì)1 12,| | 1有, 1角向磁場 線性

34、遞增加,意味著軸向電流 恒定;同時軸向磁場 保持恒定。這樣的狀態(tài)稱為Tokamak; 介乎其間的狀態(tài),稱為順磁箍縮(papamagnetic pinch已經(jīng)缺乏實驗興趣。3.3 有力平衡如果等離子體比較致密不滿足無力平衡狀態(tài),就需要由壓強梯度力平衡Lorentz力,稱為有力平衡(force balanced equilibria,平衡方程為:21·考察兩個在 方向的電流 和 ,如圖所示。由電流 產(chǎn)生的磁場 ,由電流 產(chǎn)生的磁場 ,作用在流體質(zhì)點1上的Lorentz力 指向2元素,而作用在流體質(zhì)點2上的Lorentz力 指向1元素。如果電流密度 連續(xù)分布,Lorentz力的凈效應就是把流體推到一起,流體受到壓縮而壓強增大。這個過程直到要讓流體膨脹的壓強梯度力與壓縮流體的Lorentz力相平衡,即有 如果電流在柱體中流動,柱體將趨于收縮,稱為箍縮效應(pinch effect。圓柱等離子體是最簡單的平衡位形。在圓柱坐標系 , , 中,設磁場恒有 0,則0, ,平衡方程為d電流 ,則有0,1dd ,1dd下面討論最簡單的三種情形:(1 箍縮: 0, 0, 0。角向