江蘇省鹽城市阜寧中學(xué)2015-2016學(xué)年高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)

1、2015-2016學(xué)年江蘇省鹽城市阜寧中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=1+i2015（i為虛數(shù)單位）對應(yīng)點在第象限2拋物線y=2x2的焦點坐標(biāo)是3設(shè)命題p的否定是“”，則命題p是4已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=1+5i（i為虛數(shù)單位），則|z|=5雙曲線一個焦點F（5，0）到漸近線的距離為4，則其漸近線方程為6給定兩個命題p，q，p是q的必要而不充分條件，則p是q的7曲線y=x+sinx在點（0，0）處的切線方程是8設(shè)mR，命題p：方程表示雙曲線，命題q：xR，x2+mx+m0若命題pq為真命題，則m取值范圍是9已知過圓

2、C：x2+y2=R2上一點M（x0，y0）的切線方程為，類比上述結(jié)論，寫出過橢圓上一點P（x0，y0）的切線方程10設(shè)P是橢圓上一點，過橢圓中心作直線交橢圓于A、B兩點，直線PA、PB的斜率分別為k1，k2，且，則橢圓離心率為11二維空間中圓的一維測度（周長）l=2r，二維測度（面積）S=r2；三維空間中球的二維測度（表面積）S=4r2，三維測度（體積）V=r3；四維空間中“超球”的三維測度V=8r3，則猜想其四維測度W=12設(shè)，若對任意恒成立，則m的取值范圍是13設(shè)a，b都為正實數(shù)且a+b=1，則的最小值為14已知函數(shù)f（x）=ex1+x2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）g（x）=x2axa+3若存在

3、實數(shù)x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0且|x1x2|1，則實數(shù)a的取值范圍是二、解答題（本大題共6小題，共90分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15如圖，已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABCD，DAB=90°，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1（1）求證：平面PAD平面PCD；（2）求直線AC與直線PB所成角的余弦值16（1）已知不等式ax2+bx10解集為x|3x4，解關(guān)于x的不等式；（2）已知函數(shù)，求f（x）的值域17某唱片公司要發(fā)行一張名為春風(fēng)再美也比不上你的笑的唱片，包含新花好月圓、荷塘月色等10首創(chuàng)新經(jīng)典歌曲該公司計劃用x（百萬元）請

4、李子恒老師進行創(chuàng)作，經(jīng)調(diào)研知：該唱片的總利潤y（百萬元）與（3x）x2成正比的關(guān)系，當(dāng)x=2時y=32又有（0，t，其中t是常數(shù)，且t（0，2（）設(shè)y=f（x），求其表達式，定義域（用t表示）；（）求總利潤y的最大值及相應(yīng)的x的值18（1）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：中至少有一個不小于2；（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x0（其中f（x）是f（x）導(dǎo)函數(shù)）已知g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）nN*（1）求g1（x），g2（x）；（2）猜想gn（x）表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明19已知橢圓經(jīng)過點，離心率為（1）求橢圓方程；（2）過R（1，1）作直線l

5、與橢圓交于A、B兩點，若R是線段AB中點，求直線l方程；（3）過橢圓右焦點作斜率為k的直線l1與橢圓交于M、N兩點，問：在x軸上是否存在點P，使得點M、N、P構(gòu)成以MN為底邊的等腰三角形，若存在，求出P點橫坐標(biāo)滿足的條件；若不存在，說明理由20已知函數(shù)f（x）=alnx+（xc）|xc|，a0，c0（1）當(dāng)a=，c=時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)c=+1時，若f（x）對x（c，+）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象在點P（x1，f（x1）、Q（x2，f（x2）兩處的切線分別為l1、l2若x1=，x2=c，且l1l2，求實數(shù)c的最小值2015-2016學(xué)年江蘇省鹽城市

6、阜寧中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=1+i2015（i為虛數(shù)單位）對應(yīng)點在第三象限【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【分析】利用虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)化簡，求出z的坐標(biāo)得答案【解答】解：z=1+i2015=1+i4×503i3=1i，復(fù)數(shù)z=1+i2015對應(yīng)點的坐標(biāo)為（1，1），在第三象限故答案為：三2拋物線y=2x2的焦點坐標(biāo)是（0，）【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】先將方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即，求出 p=，即可得到焦點坐標(biāo)【解答】解：拋物線y=2x2的方程即 x2=

7、y，p=，故焦點坐標(biāo)為 （0，），故答案為：（0，）3設(shè)命題p的否定是“”，則命題p是x0，【考點】命題的否定【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)果即可【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題p的否定是“”：則命題為：x0，故答案為：x0，4已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=1+5i（i為虛數(shù)單位），則|z|=【考點】復(fù)數(shù)求?！痉治觥堪岩阎仁阶冃?，求出z，再由模的運算得答案【解答】解：（1+i）z=1+5i，|z|=故答案為：5雙曲線一個焦點F（5，0）到漸近線的距離為4，則其漸近線方程為y=±x【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】由題意可得c=5，即a2+b2=25，運用

8、點到直線的距離公式可得b=4，a=3，即可得到所求雙曲線的漸近線方程【解答】解：由題意可得c=5，即a2+b2=25，焦點F（5，0）到漸近線y=x的距離為4，可得=4，解得b=4，a=3，可得漸近線方程y=±x，即為y=±x故答案為：y=±x6給定兩個命題p，q，p是q的必要而不充分條件，則p是q的充分不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)逆否命題的等價性，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【解答】解：若p是q的必要而不充分條件，則q是p的必要而不充分條件，即p是q的充分不必要條件故答案為：充分不必要條件7曲線y=x+sinx在點（0

9、，0）處的切線方程是y=2x【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，然后利用點斜式方程求切線方程【解答】解：因為y=x+sinx，所以y'=1+cosx，所以當(dāng)x=0時，y'=1+cos0=1+1=2，即切線斜率k=2，所以切線方程為y0=2（x0），即y=2x故答案為：y=2x8設(shè)mR，命題p：方程表示雙曲線，命題q：xR，x2+mx+m0若命題pq為真命題，則m取值范圍是（1，0）【考點】復(fù)合命題的真假【分析】求出命題的p，q成立的等價條件進行求解即可【解答】解：若方程表示雙曲線，則（m+1）（m1）0，即1m1即p：1m1

10、，若：xR，x2+mx+m0，則判別式=m24m0，即m4或m0，即q：m4或m0，若命題pq為真命題，則命題p，q都為真命題，即，得1m0，故答案為：（1，0）9已知過圓C：x2+y2=R2上一點M（x0，y0）的切線方程為，類比上述結(jié)論，寫出過橢圓上一點P（x0，y0）的切線方程=1【考點】類比推理【分析】由過圓x2+y2=R2上一點的切線方程x0x+y0y=R2，我們不難類比推斷出過橢圓上一點的切線方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得【解答】解：類比過圓上一點的切線方程，可合情推理：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得過橢圓上一點P（x0，y0）的切線方程為=1故答案為： =1

11、10設(shè)P是橢圓上一點，過橢圓中心作直線交橢圓于A、B兩點，直線PA、PB的斜率分別為k1，k2，且，則橢圓離心率為【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】設(shè)A（m，n），B（m，n），又設(shè)P（x0，y0），分別代入橢圓方程，作差，再由直線的斜率公式，化簡整理，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求值【解答】解：設(shè)A（m，n），B（m，n），即有+=1，又設(shè)P（x0，y0），即有+=1，兩式相減可得， +=0，即有=，則k1=，k2=，k1k2=，即為a=2b，c=a，即有離心率為e=故答案為：11二維空間中圓的一維測度（周長）l=2r，二維測度（面積）S=r2；三維空間中球的二維測度（表面積）S=4r2，三維測

12、度（體積）V=r3；四維空間中“超球”的三維測度V=8r3，則猜想其四維測度W=2r4【考點】類比推理【分析】根據(jù)所給的示例及類比推理的規(guī)則得出高維的測度的導(dǎo)數(shù)是底一維的測度，從而得到W=V，從而求出所求【解答】解：二維空間中圓的一維測度（周長）l=2r，二維測度（面積）S=r2，觀察發(fā)現(xiàn)S=l三維空間中球的二維測度（表面積）S=4r2，三維測度（體積）V=r3，觀察發(fā)現(xiàn)V=S四維空間中“超球”的三維測度V=8r3，猜想其四維測度W，則W=V=8r3；W=2r4；故答案為：2r412設(shè)，若對任意恒成立，則m的取值范圍是，+）【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【分析】由ba0，1恒成立，等價于

13、f（b）bf（a）a恒成立；即h（x）=f（x）x在（0，+）上單調(diào)遞減；h（x）0，求出m的取值范圍【解答】（）對任意ba0，1恒成立，等價于f（b）bf（a）a恒成立；設(shè)h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），則h（b）h（a）h（x）在（0，+）上單調(diào)遞減；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=（x）2+（x0），m；對于m=，h（x）=0僅在x=時成立；m的取值范圍是，+）13設(shè)a，b都為正實數(shù)且a+b=1，則的最小值為【考點】不等關(guān)系與不等式【分析】換元可化問題為正數(shù)s+t=4，求+2的最小值，代入由基本不等式可得【解答】解：令a+1=s，b+2=t，則a=s1，b=t2

14、，由題意可得s，t為正數(shù)且s1+t2=1，即s+t=4，=+=s2+t4+=+2=（+）（s+t）2=（5+）2（5+2）2=當(dāng)且僅當(dāng)=即s=且t=即a=且b=時取等號故答案為：14已知函數(shù)f（x）=ex1+x2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）g（x）=x2axa+3若存在實數(shù)x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0且|x1x2|1，則實數(shù)a的取值范圍是2，3【考點】函數(shù)與方程的綜合運用【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f（x）遞增，解得f（x）=0的解為1，由題意可得x2axa+3=0在0x2有解，即有a=（x+1）+2在0x2有解，求得（x+1）+2的范圍，即可得到a的范圍【解答】解：函數(shù)f（x

15、）=ex1+x2的導(dǎo)數(shù)為f（x）=ex1+10，f（x）在R上遞增，由f（1）=0，可得f（x1）=0，解得x1=1，存在實數(shù)x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0且|x1x2|1，即為g（x2）=0且|1x2|1，即x2axa+3=0在0x2有解，即有a=（x+1）+2在0x2有解，令t=x+1（1t3），則t+2在1，2遞減，2，3遞增，可得最小值為2，最大值為3，則a的取值范圍是2，3故答案為：2，3二、解答題（本大題共6小題，共90分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15如圖，已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABCD，DAB=90°，PA底面ABCD，且P

16、A=AD=DC=AB=1（1）求證：平面PAD平面PCD；（2）求直線AC與直線PB所成角的余弦值【考點】平面與平面垂直的判定；異面直線及其所成的角【分析】（1）由底面為直角梯形可得CDAD，由PA底面ABCD可得PACD，故而CD平面PAD，推出平面PAD平面PCD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，代入向量的夾角公式計算異面直線所成的角【解答】證明：（1）ABCD，DAB=90°，CDAD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又PA平面PAD，AD平面PAD，ADPA=A，CD平面PAD，CD平面ACD，平面PAD平面PCD（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（

17、0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1）=（1，1，0），=（0，2，1），=2，|=，|=，cos=直線AC與直線PB所成角的余弦值為16（1）已知不等式ax2+bx10解集為x|3x4，解關(guān)于x的不等式；（2）已知函數(shù)，求f（x）的值域【考點】其他不等式的解法【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解【解答】解：（1）不等式ax2+bx10解集為x|3x4，3，4是對應(yīng)方程ax2+bx1=0的兩根，且a0，則3×4=12，即a=，3+4=12a=7，則b=，則不等式式等價為0，即0，得1

18、2x，即不等式的解集為（12，（2）f（x）=x+=x2+2，若x2，則x20，則f（x）=x2+22+2=2+8=10，當(dāng)且僅當(dāng)x2=，即（x2）2=16，x2=4，x=6時取等號，若x2，則x20，則f（x）=x2+222=28=6，當(dāng)且僅當(dāng)（x2）=，即（x2）2=16，x2=4，x=2時取等號，綜上f（x）10或f（x）6，即函數(shù)的值域為（，610，+）17某唱片公司要發(fā)行一張名為春風(fēng)再美也比不上你的笑的唱片，包含新花好月圓、荷塘月色等10首創(chuàng)新經(jīng)典歌曲該公司計劃用x（百萬元）請李子恒老師進行創(chuàng)作，經(jīng)調(diào)研知：該唱片的總利潤y（百萬元）與（3x）x2成正比的關(guān)系，當(dāng)x=2時y=32又有（

19、0，t，其中t是常數(shù)，且t（0，2（）設(shè)y=f（x），求其表達式，定義域（用t表示）；（）求總利潤y的最大值及相應(yīng)的x的值【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用【分析】（）設(shè)出正比例系數(shù)，把x=2，y=32代入函數(shù)關(guān)系式，求得正比例系數(shù)，則函數(shù)解析式可求，再由（0，t求解分式不等式得x得取值范圍；（）求出利潤函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點在不在定義域范圍內(nèi)研究原函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值【解答】解：（）設(shè)y=k（3x）x2，當(dāng)x=2時，y=32，k=8，則y=24x28x3，（0，t，即，解得：0x3解得：或x3；（）由y=24x（x2）=0，得x=0或x=2若，即1t

20、2時，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增，在（2，）上單調(diào)遞減ymax=f（2）=32；若，即0t1時，f（x）0，f（x）在（0，）上為增函數(shù)綜上述：當(dāng)1t2時，ymax=f（2）=32；當(dāng)0t1時，18（1）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：中至少有一個不小于2；（2）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x0（其中f（x）是f（x）導(dǎo)函數(shù)）已知g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）nN*（1）求g1（x），g2（x）；（2）猜想gn（x）表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明【考點】數(shù)學(xué)歸納法；反證法與放縮法【分析】（1）假設(shè)都小于2，則a+b+c+6，利用基本不等式可得：a+b+

21、c+6，得出矛盾，即可證明；（2）：f（x）=，（x0）g（x）=xf（x）=，g1（x）=g（x）=，g2（x）=g（g1（x）=猜想：gn（x）=利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出【解答】（1）證明：假設(shè)都小于2，則a+b+c+6，而a+b+c+6，矛盾，因此假設(shè)不成立，故中至少有一個不小于2；（2）解：f（x）=，（x0）g（x）=xf（x）=，g1（x）=g（x）=，g2（x）=g（g1（x）=猜想：gn（x）=下面：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，g1（x）=g（x）=，成立假設(shè)n=k時，gk（x）=則n=k+1時，gk+1（x）=g（gk（x）=，當(dāng)n=k+1時也成立，nN*，gn（x）=

22、19已知橢圓經(jīng)過點，離心率為（1）求橢圓方程；（2）過R（1，1）作直線l與橢圓交于A、B兩點，若R是線段AB中點，求直線l方程；（3）過橢圓右焦點作斜率為k的直線l1與橢圓交于M、N兩點，問：在x軸上是否存在點P，使得點M、N、P構(gòu)成以MN為底邊的等腰三角形，若存在，求出P點橫坐標(biāo)滿足的條件；若不存在，說明理由【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【分析】（1）運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程，運用作差法和中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，計算即可得到所求直線的方程；（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點為G（x0，y0

23、），l1：y=k（x1），代入橢圓的方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，設(shè)P（m，0），兩直線垂直的條件：斜率之積為1，計算即可得到m的范圍【解答】解：（1）由題意可得b=，e=，又a2c2=b2=3，解得a=2，c=1，即有橢圓的方程為+=1；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，相減可得3（x1x2）（x1+x2）+4（y1y2）（y1+y2）=0，由中點坐標(biāo)公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得AB的斜率為k=，即有直線的方程為y1=（x1），即為3x+4y7=0；（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點為G（x0，y0），l1：y=k（x1），代入橢圓的