第3課：函數(shù)三要素的綜合考查

1、湖北黃崗中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析3：函數(shù)三要素的綜合考查一.函數(shù)三要素(定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系)的求法:（學(xué)生做題歸納）1.（06湖北卷）設(shè)，則的定義域?yàn)開(kāi) 解：f（x）的定義域是（2，2），故應(yīng)有2<<2且2<<2解得4<x<1或1<x<4故選B2（06湖南卷）函數(shù)的定義域是_ 4, +)3.(07陜西卷)函數(shù)f(x)= (xR)的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,14.（06浙江卷）對(duì)a,bR,記maxa,b=，函數(shù)f（x）max|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是_.解：當(dāng)x<1時(shí)，|x1|x1

2、，|x2|2x，因?yàn)椋▁1）（2x）3<0，所以2x>x1；當(dāng)1£x<0.5時(shí)，|x1|x1，|x2|2x，因?yàn)椋▁1）（2x）2x1<0，x1<£x<2時(shí)，x1³2x；當(dāng)x³2時(shí)，|x1|x1，|x2|x2，顯然x1>x2；故據(jù)此求得最小值為。選C5.（07安徽卷）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_。解：由得，所以，則。6. （07山東卷）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為_(kāi)（1，2） （ ，+） 解：令>2（x<2），解得1<x<2。令>2（x³2）解得x&

3、#206;（，+）7. （05江蘇卷2）函數(shù)的反函數(shù)的解析表達(dá)式為_(kāi). f(cosx)=cos5x，則f(sinx)=_.9.(06重慶卷)如圖所示，單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是 解析：如圖所示，單位圓中的長(zhǎng)為x，與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)小于半圓時(shí)，函數(shù)y=f(x)的值增加的越來(lái)越快，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)大于半圓時(shí)，函數(shù)y=f(x)的值增加的越來(lái)越慢，所以函數(shù)y=f(x)的圖像是D.10. （05浙江理3）設(shè)f(x)，則ff() _ 12. （04年北京文8） 函數(shù)，其中P、M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定，給出下列四個(gè)判

4、斷： 若，則 若，則 若，則 若，則其中正確判斷有 （ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)例1.（上海春） 設(shè)函數(shù).（1）在區(qū)間-2,6上畫出函數(shù)的圖像；（2）設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明； （3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.解：（1）(要求列表描點(diǎn)) （2）方程的解分別是和，由于在和2,5上單調(diào)遞減，在-1,2和上單調(diào)遞增，因此 . 由于. （3）解法一 當(dāng)時(shí)，. ， . 又， 當(dāng)，即時(shí)，取， . ， 則. 當(dāng)，即時(shí)，取， . 由 、可知，當(dāng)時(shí)，. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.解法二 當(dāng)時(shí)，.由 得， 令 ，解得 或，

5、 在區(qū)間-1,5上，當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)f(x)的圖像只交于一點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)f(x)的圖像沒(méi)有交點(diǎn). 如圖可知，由于直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線是由直線繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方. 例2.（全國(guó)卷理17設(shè)函數(shù)，求使的取值范圍解：由于是增函數(shù)，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，式恒成立。當(dāng)時(shí)，式化為，即。當(dāng)時(shí)，式無(wú)解。 綜上，的取值范圍為例3已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3, x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式；【正確解答】（1）將得（2）不等式即為即當(dāng)當(dāng).例4.（全國(guó)II卷）設(shè)，函數(shù)

6、若的解集為A，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由f（x）為二次函數(shù)知，令f（x）0解得其兩根為由此可知（i）當(dāng)時(shí)，的充要條件是，即解得（ii）當(dāng)時(shí)，的充要條件是，即解得綜上，使成立的a的取值范圍為例5.（上海文22）（本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分，計(jì)18分）對(duì)定義域是、的函數(shù)y=f(x)、y=g(x)，規(guī)定：函數(shù)。（1）若函數(shù)，寫出函數(shù)的解析式；（2）求問(wèn)題（1）中函數(shù)的值域； （3）若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，及一個(gè)的值，使得，并予以證明。解（3）解法一令則于是解法二令，則于是例6設(shè)的值域?yàn)?，4，求a、b的值.例7：已知函數(shù)f(x)=,x

7、1,+，(1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值 (2)若對(duì)任意x1,+,f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 (1)解 當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x+2f(x)在區(qū)間1，+上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1，+上的最小值為f(1)= (2)解法一 在區(qū)間1，+上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立 設(shè)y=x2+2x+a,x1,+，y=x2+2x+a=(x+1)2+a1遞增，當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>3 解法二 f(x)=x+2,x1,+當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正； 當(dāng)a<0時(shí)，

8、函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f(x)min=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>3 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力 解題的關(guān)健是把求a的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想 1已知f(xn)=lgx(nN*)，則f(2)=_.2已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽+，且滿足條件f(x)=f·lgx+1，f(x)=_3（04年湖北3）已知的解析式ABCD4（04年湖北7）函數(shù)上的最大值和最小值之和為a，則a的值

9、為（ ）A0.25B0.5C2D45. （04天津12）定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，則的值為A. B. C. D. 6（福建卷）函數(shù)的部分圖象如圖，則（ ）ABC D7. cos2x+sinx=a有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.9.已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a1,x>0),求f(x)的表達(dá)式解 (1)令t=logax(a>1，t>0；0<a<1，t<0)，則x=at 因此f(t)= (atat)f(x)= (axax)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)10（福建卷理19）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)M（1，f(x)）處的切線方程為x+2y+5=0.（）求函數(shù)y=f(x)的解析式；（）求函數(shù)