第17章 應(yīng)力狀態(tài)與強度理論

1、第17章 應(yīng)力狀態(tài)與強度理論§17.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念1.研究一點處應(yīng)力狀態(tài)的目的前面各章對桿件的強度分析，主要是研究桿件橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，找出橫截面上正應(yīng)力或切應(yīng)力最大的點進行強度計算。但桿件的強度破壞也不總是發(fā)生在橫截面上，也有發(fā)生在斜截面上的。如鑄鐵圓試件的壓縮和扭轉(zhuǎn)破壞都是發(fā)生在沿軸線約的斜截面上。在第13章中曾經(jīng)指出，通過受力構(gòu)件內(nèi)一點處所取截面的方位不同，截面上應(yīng)力的大小和方向也是不同的。在實際問題中，構(gòu)件的受力是很復(fù)雜的。例如圖17-1所示的承受彎曲和扭轉(zhuǎn)的圓軸，在其橫截面上的1、2兩點將同時產(chǎn)生最大彎曲正應(yīng)力和最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。由于在危險點同時存在著這兩種應(yīng)力，顯

2、然，我們不能簡單地按彎曲正應(yīng)力建立強度條件，也不能簡單地按扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力建立強度條件，而必須考慮這兩種應(yīng)力對材料強度的 綜合影響。這就要求我們?nèi)娣治鑫ｋU點 圖17-1 組合變形實例處各截面的應(yīng)力情況。一般來說，通過受力構(gòu)件內(nèi)任意一點的各個截面在該點處的應(yīng)力是不相同的，是隨截面的方位而改變的。受力構(gòu)件內(nèi)某一點處的各個不同方位截面上的應(yīng)力情況稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。研究危險點處應(yīng)力狀態(tài)的目的就在于確定在哪個截面上該點處有最大正應(yīng)力，在哪個截面上該點處有最大切應(yīng)力，以及它們的數(shù)值，為處于復(fù)雜受力狀態(tài)下桿件的強度計算提供依據(jù)。 2.研究一點處應(yīng)力狀態(tài)的方法 為了研究構(gòu)件內(nèi)某點的應(yīng)力狀態(tài)，可以在該點截取一個微

3、小的正六面體，當(dāng)正六面體的邊長趨于無窮小時，稱為單元體。因為單元體的邊長是極其微小的，所以可以認為單元體各個面上的應(yīng)力是均勻分布的，相對平行面上的應(yīng)力大小和性質(zhì)都是相同的。單元體六個面上的應(yīng)力代表通過該點互相垂直的三個截面上的應(yīng)力。如果單元體各面上的應(yīng)力情況是已知的，則這個單元體稱為原始單元體。根據(jù)原始單元體各面上的應(yīng)力，應(yīng)用截面法即可求出通過該點的任意斜截面上的應(yīng)力，從而可知道該點的應(yīng)力狀態(tài)。下面舉例分析受力構(gòu)件內(nèi)某一點的應(yīng)力狀態(tài)。以直桿拉伸為例，如圖17-2所示。為了 圖17-2 拉伸桿的應(yīng)力狀態(tài) 圖17-3 圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析桿件內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)，假想圍繞該點沿桿的橫向和縱向截取一單

4、元體，并將其放大，如圖17-2所示。單元體的左右兩面都是橫截面的一部分，面上的應(yīng)力皆為。單元體的其余四個面都平行于桿件軸線，所以這些面上都沒有應(yīng)力。又如圓軸扭轉(zhuǎn)時，如圖17-3所示，欲分析圓軸表面上點的應(yīng)力狀態(tài)，圍繞著該點的軸向、徑向和橫向截取一單元體，單元體的左右兩面都是橫截面的一部分，面上的應(yīng)力皆為，根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知在單元體的上下面上有切應(yīng)力存在。同樣的分析方法可以得到橫力彎曲時梁上下邊緣處和點的單元體（圖17-4）和同時產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形的圓軸上點的單元體（圖17-5）。 圖17-4 彎曲變形應(yīng)力狀態(tài) 圖17-5 彎扭組合變形應(yīng)力狀態(tài)3.應(yīng)力狀態(tài)的分類 從受力構(gòu)件中某一點處截取任意

5、的單元體，一般來說，其面上既有正應(yīng)力也有切應(yīng)力。但是彈性力學(xué)的理論證明，在該點處從不同方位截取的諸單元體中，總有一個特殊的單元體，在它相互垂直的三個面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。像這種切應(yīng)力為零的面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，用、表示，并按代數(shù)值排列，即。這種在各個面上只有主應(yīng)力的單元體稱為主單元體。按照不等于零的主應(yīng)力數(shù)目將一點處的應(yīng)力狀態(tài)分為三類： （1）單向應(yīng)力狀態(tài)。只有一個主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。例如軸向拉伸和壓縮時桿件上各點的應(yīng)力狀態(tài)就屬于單向應(yīng)力狀態(tài)。 （2）二向應(yīng)力狀態(tài)。有兩個主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)稱為二向應(yīng)力狀態(tài)。這是工程實際中最常見的一種應(yīng)力狀態(tài)。

6、本章例17-3、17-5等都是二向應(yīng)力狀態(tài)。 （3）三向應(yīng)力狀態(tài)。三個主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。 單向應(yīng)力狀態(tài)又稱簡單應(yīng)力狀態(tài)，而二向和三向應(yīng)力狀態(tài)則稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，本章只著重二向應(yīng)力狀態(tài)的分析，僅簡略介紹三向應(yīng)力狀態(tài)的某些概念。§17.2 二向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析解析法、圖解法 應(yīng)力狀態(tài)分析的目的是要找出受力構(gòu)件上某點處的主單元體，求出相應(yīng)的三個主應(yīng)力的大小、確定主平面的方位，為組合變形情況下構(gòu)件的強度計算建立理論基礎(chǔ)。應(yīng)力狀態(tài)分析的方法有解析法和圖解法兩種。1.解析法圖17-6表示從受力構(gòu)件中某點處取出的原始單元體，其上作用著已知的應(yīng)力、和，并設(shè)>。其中

7、和是外法線平行于軸的截面（稱為截面）上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；而和是外法線平行于軸的截面（稱為截面）上的正應(yīng)力和 圖17-6 二向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）二向應(yīng)力狀態(tài) （b）二向應(yīng)力狀態(tài)用平面圖形來表示（c）截面法 （d）截面法所取的研究對象切應(yīng)力。由于此單元體前后面上沒有應(yīng)力，所以可以用17-7圖的平面圖形來表示?，F(xiàn)在用截面法來確定單元體的斜截面上的應(yīng)力。斜截面的外法線與軸間的夾角用表示，以后簡稱此截面為截面，如圖19-7所示。在截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力分別用與表示。 假想沿截面將單元體分成兩部分，并取其左邊部分為研究對象，如圖19-7所示。通過平衡關(guān)系可以求出截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力： (17-1) (17

8、-2)利用式(17-1)和(17-2)進行計算時，應(yīng)注意符號規(guī)定：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負；切應(yīng)力則以對單元體內(nèi)任意一點之距為順時針轉(zhuǎn)向者為正，反之為負。角則規(guī)定從軸沿逆時針轉(zhuǎn)到截面外法線時，為正，反之為負。在計算時應(yīng)注意按規(guī)定的正負號將、和的代數(shù)值代入上面兩公式。 由這兩個公式可以看出，斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力是隨截面的方位而改變的。因此，在談到應(yīng)力時，應(yīng)該指明是哪一點處，在何方位截面上的應(yīng)力。 2.圖解法（應(yīng)力圓法） 式（17-1）和（17-2）表明斜截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力都是的函數(shù)，若消去參變量，便可得到和的關(guān)系式。為此，將式(17-1)改寫，并分別將其等號兩邊平方，得 (1)將式(

9、17-2)也兩邊平方，得 (2)將式(1)與式(2)相加，得 (3)可以看出，上式是以和為變量的圓的方程。若以橫坐標表示，縱坐標表示，則上式所表示的和之間的關(guān)系，是以為圓心，以為半徑的一個圓。此圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓。上述推導(dǎo)過程表明，圓周上一點的坐標就代表單元體的某一截面的應(yīng)力情況。因此，應(yīng)力圓上的點與單元體的斜截面有著一一對應(yīng)的關(guān)系，應(yīng)力圓表達了一點處的應(yīng)力狀態(tài)。 顯然，可用應(yīng)力圓來尋求單元體斜截面上的應(yīng)力。這種方法就是圖解法。 下面以圖17-6所示的單元體為例，說明圖解法的步驟和方法。（1）畫應(yīng)力圓。 取直角坐標系。選定適當(dāng)?shù)谋壤?，找到與截面對應(yīng)的點位于，與截面對應(yīng)的點位于。在確定點和點

10、時，應(yīng)根據(jù)、和的代數(shù)值在坐標系中量取。連接點和點，交橫軸于點，以點為圓心，以或為半徑，即可作出該單元體的應(yīng)力圓，如圖17-7所示。 圖17-7 用圖解法求任意斜截面上的應(yīng)力（2）求截面上的應(yīng)力和。將半徑沿方位角的轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)2至處，所得點的縱、橫坐標、即分別代表截面的切應(yīng)力與正應(yīng)力，茲證明如下。 設(shè)將用表示，則 同理可證在用應(yīng)力圓分析應(yīng)力時，應(yīng)注意：單元體上兩個截面間的夾角若為，則在應(yīng)力圓上相應(yīng)兩點間的圓弧所對的圓心角為，而且兩者轉(zhuǎn)向相同。例17-1 已知應(yīng)力狀態(tài)如圖17-8所示，試用解析法和圖解法求截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力。圖17-8 二向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）應(yīng)力狀態(tài) （b）應(yīng)力圓解：解析法 由圖可

11、知，與截面的應(yīng)力分別為而截面的方位角則為將上述數(shù)據(jù)分別代入式、，于是 圖解法 首先，建立坐標系，按選定的比例尺，由坐標 與分別確定點和點，然后把點和點連接起來，與橫軸交于點，以點為圓心，為半徑，即得相應(yīng)的應(yīng)力圓。為了確定斜截面上的應(yīng)力，將半徑沿順時針方向旋轉(zhuǎn)至處，所得點即為截面的對應(yīng)點。按選定的比例尺，量得（壓應(yīng)力），由此得截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力分別為3.主應(yīng)力與主平面 任意一個二向應(yīng)力狀態(tài)單元體都可畫出其相應(yīng)的應(yīng)力圓，如圖17-9所示。因為應(yīng)力圓的圓心在軸上，所以應(yīng)力圓與軸必有兩個交點和，、兩點的橫坐標為應(yīng)力圓上各點的橫坐標的極值，而其縱坐標皆為零，即在單元體內(nèi)與此兩點對應(yīng)的平面上正應(yīng)力為極值

12、，而切應(yīng)力為零。 因此與兩點所對應(yīng)的兩個平面為兩個主平面，其上的極值正應(yīng)力分別為兩個主應(yīng)力。其值為 圖17-9 二向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）應(yīng)力圓 （b）主單元體 （17-3）上式就是計算單元體主應(yīng)力的公式。求得與后，與已知的第三個主平面上的主應(yīng)力比較，就不難排列出單元體的三個主應(yīng)力的順序了。對于本例，已知的第三個主平面為與紙面平行的平面，其上主應(yīng)力，因此三個主應(yīng)力的排列順序依次為主平面的方位也可從應(yīng)力圓上確定。如前所述，應(yīng)力圓上的點對應(yīng)著垂直于軸的平面，點對應(yīng)著主應(yīng)力所在的平面，而，為上述兩平面的法線間的夾角，即軸與間的夾角。由于在應(yīng)力圓上從點轉(zhuǎn)到點的轉(zhuǎn)角是順時針方向，按照對角的正負號規(guī)定，角應(yīng)為

13、負值。據(jù)此，由應(yīng)力圓可得 （17-4） 由于在應(yīng)力圓上、兩點的夾角為，因此這兩點所對應(yīng)的兩個主平面是互相垂直的?，F(xiàn)將本例的主單元體繪于圖17-9中。 必須指出，滿足式(17-4)的角度有兩個，即和，它表明兩個主應(yīng)力是互相垂直的。至于這兩個角度，哪一個與對應(yīng)，哪一個與對應(yīng)，利用應(yīng)力圓極易判斷。 4.極值切應(yīng)力及其所在截面 從應(yīng)力圓上，可直接得到最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力分別為 （17-5）其所在截面也相互垂直，并與主平面成。 例17-2 從構(gòu)件中取出一單元體，各截面的應(yīng)力如圖17-10所示，試用解析法和圖解法確定主應(yīng)力的大小和方位，并畫出主單元體。 解：解析法該單元體為二向應(yīng)力狀態(tài)，已知一個主應(yīng)力為

14、零，另外兩個主應(yīng)力可由式求得圖17-10 二向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）主單元體 （b）應(yīng)力圓 因此三個主應(yīng)力為， ， 主平面的方位角可由式求得所以（逆時針）另一個主平面與之垂直，即 從原單元體軸順時針轉(zhuǎn)過，得所在主平面，再轉(zhuǎn)得所在主平面，得到圖所示的主單元體。 圖解法在坐標系內(nèi)，按選定的比例尺，由坐標與分別確定點和點，以為直徑畫圓即得相應(yīng)的應(yīng)力圓。應(yīng)力圓與坐標軸相交于點和點，按選定的比例尺，量得，（壓應(yīng)力），所以， ， 從應(yīng)力圓中量得，由于自半徑至的轉(zhuǎn)向為順時針方向，因此，主應(yīng)力的方位角為同樣的方法可得到主單元體。例17-3 試用圖解法分析圓軸扭轉(zhuǎn)時塑性材料和脆性材料的破壞現(xiàn)象。解：圓軸扭轉(zhuǎn)時，最大

15、切應(yīng)力發(fā)生在圓軸的外表層，且。在圓軸表面K點取一單元體，如圖17-11所示，其應(yīng)力狀態(tài)如圖17-11所示，各面上只有切應(yīng)力作用，稱 圖17-11 扭轉(zhuǎn)破壞分析為純剪切狀態(tài)。 （a）圓軸表面上一點的應(yīng)力狀態(tài) （b）主單元體在坐標系內(nèi)，按選定的 （c）應(yīng)力圓 （d）塑性材料扭轉(zhuǎn)破壞面比例尺，由坐標與 （e）脆性材料扭轉(zhuǎn)破壞面分別確定點和點，以為直徑畫圓即得相應(yīng)的應(yīng)力圓，如圖17-11所示。由應(yīng)力圓可得，主平面的方位角，由軸到主平面外法線按順時針旋轉(zhuǎn)，得到主單元體如圖17-11所示。對于塑性材料（如低碳鋼）制成的圓軸，由于塑性材料的抗剪強度低于抗拉強度，扭轉(zhuǎn)時沿橫截面破壞，如圖17-11所示；對于脆

16、性材料（如鑄鐵）制成的圓軸，由于脆性材料的抗拉強度較低，扭轉(zhuǎn)時沿與軸線方向破壞，如圖17-11所示。§17.3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介 廣義胡克定律 1.三向應(yīng)力狀態(tài)簡介三向應(yīng)力狀態(tài)的分析較為復(fù)雜，本節(jié)只研究三向應(yīng)力狀態(tài)下單元體內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。假設(shè)從受力構(gòu)件內(nèi)某點處取出一個主單元體，其上主應(yīng)力，如圖17-12所示。首先研究與主應(yīng)力平行的任意斜截面上的應(yīng)力，如圖17-12所示，由于主應(yīng)力所在的兩平面上的力互相平衡，所以此斜截面上的應(yīng)力僅與和有關(guān)，因而平行于的各斜截面上的應(yīng)力簡化成只受和作用的二向應(yīng)力狀態(tài)，其各斜截面上的應(yīng)力可由和所確定的應(yīng)力圓上相應(yīng)點的坐標來表示，如圖17-12所

17、示。同理，平行于的平面上的應(yīng)力，由和所確定的應(yīng)力圓上相應(yīng)點的坐標來表示。圖17-12 三向應(yīng)力狀態(tài)分析（a）三向應(yīng)力狀態(tài) （b）與主應(yīng)力平行的任意斜截面上的應(yīng)力（c）三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓平行于的平面上的應(yīng)力，由和所確定的應(yīng)力圓上相應(yīng)點的坐標來表示。對于與三個主應(yīng)力均不平行的的任意斜截面上的應(yīng)力，在直角坐標系中的對應(yīng)點必定在三個應(yīng)力圓所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)。因此，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，一點處的最大和最小正應(yīng)力為， （17-6）最大切應(yīng)力為 （17-7）位于與和均成的斜截面。 由上述分析可知，、均發(fā)生在與平行的截面內(nèi)。式（17-6）和（17-7）同樣適用于二向應(yīng)力狀態(tài)和單向應(yīng)力狀態(tài)。 2.廣義胡克定律

18、圖17-13是從受力物體中某點處取出的主單元體，設(shè)其上作用著已知的主應(yīng)力、。該單元體在受力后，在各個方向的長度都要發(fā)生變化，沿三個主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變，并分別用、表示。假如材料是各向同性的，且在線彈性范圍內(nèi)工作，同時變形是微小的，那么，可以用疊加法求得。 圖17-13 三向應(yīng)力狀態(tài)之分解（a）三向應(yīng)力狀態(tài)下的主單元體 （b）作用下的單向應(yīng)力狀態(tài)（c）作用下的單向應(yīng)力狀態(tài) （d）作用下的單向應(yīng)力狀態(tài)在單獨作用下，單元體沿方向的線應(yīng)變?yōu)?。在與單獨作用下，它們分別使單元體在的方向產(chǎn)生收縮。對于各向同性材料，與在方向引起的線應(yīng)變分別為、。將它們疊加起來，即得三個主應(yīng)力共同作用下在方向的主應(yīng)變同

19、理可求得主應(yīng)變和。現(xiàn)將結(jié)果匯集如下： （17-8） 上式表達了在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)變與主應(yīng)力的關(guān)系，稱為廣義胡克定律。式中主應(yīng)力為代數(shù)值，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。若求出的主應(yīng)變?yōu)檎祫t表示伸長，反之則表示縮短。該式同樣也適用于二向應(yīng)力狀態(tài)和單向應(yīng)力狀態(tài)。在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力對與其垂直的線應(yīng)變沒有影響，所以當(dāng)單元體的各個面上除正應(yīng)力外還有切應(yīng)力時，沿、和方向的線應(yīng)變、和與、和的關(guān)系仍可由式（17-8）求得，此時只需將該式中的字符下標1、2、3分別用、和代替即可。§17.4 強度理論概述1.強度理論的概念 前幾章中，軸向拉壓、圓軸扭轉(zhuǎn)、平面彎曲的強度條件，可用或形式表示，許用應(yīng)力或是通過

20、實驗測出失效（斷裂或屈服）時的極限應(yīng)力，再除以安全因數(shù)后得出的，可見基本變形的強度條件是以實驗為基礎(chǔ)的。 但在工程實際中，構(gòu)件的受力情況是多種多樣的，危險點通常處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。材料的失效與三個主應(yīng)力不同比例的組合有關(guān)，而由于受力情況的多樣性，三個主應(yīng)力不同比例的組合可能有無窮多組，從而需要進行無數(shù)次的試驗。因此，要想直接通過材料試驗的方法來建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件是不現(xiàn)實的。于是人們不得不從考察材料的破壞原因著手，研究在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件。在長期的生產(chǎn)實踐和大量的試驗中發(fā)現(xiàn)在常溫靜載下，材料的破壞主要有塑性屈服和脆性斷裂兩種形式。塑性屈服是指材料由于出現(xiàn)屈服現(xiàn)象或發(fā)生顯著塑性變形而

21、產(chǎn)生的破壞。例如低碳鋼試件拉伸屈服時在與軸線約成的方向出現(xiàn)滑移線，這與最大切應(yīng)力有關(guān)。脆性斷裂是指不出現(xiàn)顯著塑性變形的情況下突然斷裂的破壞。例如灰鑄鐵拉伸時沿拉應(yīng)力最大的橫截面斷裂，而無明顯的塑性變形。 上述情況表明，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，盡管主應(yīng)力的比值有無窮多種，但是材料的破壞卻是有規(guī)律的，即某種類型的破壞都是同一因素引起的。據(jù)此，人們把在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下觀察到的破壞現(xiàn)象同材料在單向應(yīng)力狀態(tài)的試驗結(jié)果進行對比分析，將材料在單向應(yīng)力狀態(tài)達到危險狀態(tài)的某一因素作為衡量材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)達到危險狀態(tài)的準則，先后提出了關(guān)于材料破壞原因的多種假說，這些假說就稱為強度理論。根據(jù)不同的強度理論可以建立相應(yīng)的強

22、度條件，從而為解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下構(gòu)件的強度計算問題提供了依據(jù)。 2.四種常用的強度理論 如上所述，材料的破壞主要有兩種形式，因此相應(yīng)地存在兩類強度理論。一類是脆性斷裂的強度理論，其中有最大拉應(yīng)力理論和最大拉應(yīng)變理論；另一類是塑性屈服的強度理論，主要是最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。（1）最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論) 。這一理論認為，最大拉應(yīng)力是引起材料脆性斷裂的主要原因。也就是說，不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險點處的最大拉應(yīng)力達到材料在單向拉伸斷裂時的強度極限時，材料就發(fā)生脆性斷裂破壞。因此材料發(fā)生脆性斷裂破壞的條件為相應(yīng)的強度條件為 （17-9）式中表示第一強度理論的相當(dāng)應(yīng)力，是單向

23、拉伸斷裂時材料的許用應(yīng)力，為安全因數(shù)。試驗證明，這一理論對解釋材料的斷裂破壞比較滿意。例如脆性材料在單向、二向和三向拉伸時所發(fā)生的斷裂，塑性材料在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下所發(fā)生的脆性斷裂。但這個理論沒有考慮到其他兩個主應(yīng)力對斷裂破壞的影響；同時，對于壓縮應(yīng)力狀態(tài)，由于根本不存在拉應(yīng)力，這個理論就無法應(yīng)用。 （2）最大拉應(yīng)變理論（第二強度理論）。這個理論認為，最大拉應(yīng)變是引起材料脆性斷裂的主要原因。也就是說不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險點處的最大伸長線應(yīng)變達到材料單向拉伸斷裂時線應(yīng)變的極限值，材料即發(fā)生脆性斷裂破壞。因此材料發(fā)生脆性斷裂破壞的條件為 （1）對于鑄鐵等脆性材料，如果我們近似地認為，從

24、加載直至破壞，材料服從胡克定律，則有 由廣義胡克定律可知 于是式可寫成 相應(yīng)的強度條件為 (17-10)式中表示第二強度理論的相當(dāng)應(yīng)力，是單向拉伸斷裂時材料的許用應(yīng)力，為安全因數(shù)。 試驗表明，第二強度理論對于塑性材料并不適合；對于脆性材料，只有在二向拉伸（壓縮）應(yīng)力狀態(tài)，且壓應(yīng)力的絕對值較大時，試驗與理論結(jié)果才比較接近，但也并不完全符合。所以在目前的強度計算中很少應(yīng)用第二強度理論。 （3）最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)。這一理論認為，最大切應(yīng)力是引起材料塑性屈服破壞的主要原因。也就是說，不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險點處的最大切應(yīng)力達到單向拉伸屈服時的切應(yīng)力值，材料即發(fā)生塑性屈服破壞。因此

25、材料塑性屈服破壞的條件為 在單向拉伸的情況下，當(dāng)橫截面上的拉應(yīng)力達到屈服極限時，在與軸線成的斜截面上有；在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力為，于是破壞條件可改寫為相應(yīng)的強度條件為 （17-11）式中表示第三強度理論的相當(dāng)應(yīng)力，是單向拉伸屈服時材料的許用應(yīng)力，為安全因數(shù)。 試驗證明，第三強度理論不僅能說明塑性材料的屈服破壞，而且還能說明脆性材料在單向受壓時的剪切破壞，并能解釋在三向等值壓應(yīng)力狀態(tài)下，無論應(yīng)力增大到何種程度，材料都不會破壞，這是因為它的相當(dāng)應(yīng)力總等于零。但是這個理論沒有考慮主應(yīng)力對材料破壞的影響。對于三向等值拉伸應(yīng)力狀態(tài)，按照這個理論材料就不會發(fā)生破壞，這與事實不符合。所以第三強度理論仍

26、然是有缺陷的。（4）形狀改變比能理論(第四強度理論) 物體受力發(fā)生彈性變形后，其各質(zhì)點的相對位置及質(zhì)點間的相互作用力也都要發(fā)生改變，因而在其內(nèi)部將貯存能量，這種能量稱為彈性變形能。變形能包括體積改變能與形狀改變能，單位體積內(nèi)的形狀改變能稱為形狀改變比能。在三向應(yīng)力狀態(tài)下，形狀改變比能的表達式為（推導(dǎo)從略）第四強度理論認為，形狀改變比能是引起材料塑性屈服破壞的主要原因。也就是說，不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險點處內(nèi)部積蓄的形狀改變比能達到材料在單向拉伸屈服時的形狀改變比能值，材料即發(fā)生塑性屈服破壞。因此材料塑性屈服破壞的條件為材料在單向拉伸屈服時，因此形狀改變比能為于是破壞條件改寫為相應(yīng)的強

27、度條件為 （17-12）式中表示第四強度理論的相當(dāng)應(yīng)力，是單向拉伸屈服時材料的許用應(yīng)力，為安全因數(shù)。 試驗表明，塑性材料在二向應(yīng)力狀態(tài)下，第四強度理論比第三強度理論更符合試驗結(jié)果，因此在工程中得到廣泛應(yīng)用，例如對螺栓或絲杠的強度計算。3.強度理論的適用范圍 材料的失效是一個極其復(fù)雜的問題，四種常用的強度理論都是在一定的歷史條件下產(chǎn)生的，受到經(jīng)濟發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的制約，都有一定的局限性。大量的工程實踐和試驗結(jié)果表明，上述四種強度理論的適用范圍與材料的類別和應(yīng)力狀態(tài)等有關(guān)。一般原則如下：（1）脆性材料通常發(fā)生脆性斷裂破壞，宜采用第一或第二強度理論。（2）塑性材料通常發(fā)生塑性屈服破壞，宜采用第三或

28、第四強度理論。（3）在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，如果三個拉應(yīng)力相近，無論是塑性材料還是脆性材料都將發(fā)生脆性斷裂破壞，宜采用第一強度理論。（4）在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，如果三個壓應(yīng)力相近，無論是塑性材料還是脆性材料都將發(fā)生塑性屈服破壞，宜采用第三或第四強度理論。 應(yīng)用強度理論解決實際問題的步驟是：（1）分析計算危險點的應(yīng)力； （2）確定主應(yīng)力、； （3）根據(jù)危險點處的應(yīng)力狀態(tài)和構(gòu)件材料的性質(zhì)，選用適當(dāng)?shù)膹姸壤碚摚瑧?yīng)用相應(yīng)的強度條件進行強度計算。例17-4 轉(zhuǎn)軸邊緣上某點處的應(yīng)力狀態(tài)如圖17-14所示，試用第三和第四強度理論建立相應(yīng)的強度條件。解：（1）確定該點的主應(yīng)力由單元體所示的已知應(yīng)力，利用式可得 圖17-14 轉(zhuǎn)軸上某點處的應(yīng)力狀態(tài)三個主應(yīng)力分別為，（2）第三和第四強度理論的強度條件由式（17-11）和（17-12）可得所以強度條件分別為例17-5 按強度理論建立塑性材料許用切應(yīng)力和許用拉應(yīng)力之間的關(guān)系。解：（1）確定主應(yīng)力在例17-3中指出，圓軸扭轉(zhuǎn)時，圓軸表面上任一點均處于純剪切狀態(tài)，它的三個主應(yīng)力分別為，（2）第三和第四強度理論的強度條件若用第三強度理論，則強度條件為即 再與純剪切狀態(tài)下的強度條件比較，可知若用第