傳統(tǒng)方法求二面角

1、2014屆禹三理科戟學(xué)專題復(fù)習(xí)WMMMi arvMwn mwwmwm* wicrv% arvMwwwi eaMvwwi arvMMMMn w wvwiwvwi wvwwi ofwvws傳統(tǒng)方法求二面角平而內(nèi)的一條直線把平而分為兩部分.其中的毎一部分祁叫做半平面.從一條直線出發(fā) 的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條克線叫做二面角的核，每個半平面叫做二面角的面）二血角的大小可以用它的平面角度來度量， 二面角的平面用是多少度，就說這個二面用是多少度一 以二ifri角的公共直線上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面 內(nèi)分別作垂直丁公共“線的兩條射線，這兩條射線所成 的九叫做二面角的平面角 二血加的大小可用平

2、血角衣 示（如圖l）o二而角的范宙1：1定義法在棱上取一點(diǎn)A,然后在兩個平面內(nèi)分別作過棱上A點(diǎn)的唾線 有時也可以在則個平血 內(nèi)分別作棱的垂線，再過梵中的一個垂足作另一條亞線的平行線 一般地.可以選擇經(jīng)過棱 上的待殊點(diǎn)如中點(diǎn)、端點(diǎn)、分點(diǎn)等作垂線。其作法及基本原理如圖22014屆禹三理科戟學(xué)專題復(fù)習(xí)2014屆禹三理科戟學(xué)專題復(fù)習(xí)圖22014屆禹三理科戟學(xué)專題復(fù)習(xí)解析提示圖3作出二面角a-l-“的平面角:l（D：在平面a、0的交線/上任取一點(diǎn)o；:：過（）點(diǎn)分別在a、0內(nèi)作交線/的矗線所成/-AOB即為二面角a-1-p的平面角- - - - - -在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，丄平面AB

3、CD, PA = AB = a.求二面角B-PC-D的大小.由題意作出圖3,連接AC,不難得出其中各邊的數(shù)量關(guān)系. 觀察到PEU中，滿足PBWPC利用點(diǎn)角三角形射影定理、BH、DH長度可用a表示為 a.連接BD,其長度為辰， 3在BHD中，由余蕨定理可得cqsBHD = BH + DHBD = _丄， 2BHDH2 jt1 jr （）乙BHDtt , 厶BHD= 、即二面角 B-PC-D 的大小為. 3二面角創(chuàng)PC切即為平面BPC與平面PCD所成角.,則它是一個克角三角形. 同理，PDC也是一個直角三角形，且它們?nèi)珷?過B點(diǎn)作目旦丄匹,垂足為連接DH,有匹丄匹, 則乙BHD為二面角B-PC-D

4、的平面角.2三蠹拔定理法先在氏中一個面任取一個點(diǎn)找到該點(diǎn)在另一個平面上的投影再過該投影作棱的垂線.連結(jié)原先任取的點(diǎn)與垂足即得二面角的平面角.二眶線眾理：平血內(nèi)的一條山線，如果和穿過這個平血的一條斜 線在這個平面內(nèi)的射影垂玄那么它也和這條斜線亞玄.（如圖4） 利用三垂線定理法作二血角的平面角的原理如圖5所示.斤中. 上面的一排是立體圖解.卜面為對應(yīng)從正面的視野看到的平面圖解.2014屆禹三理科戟學(xué)專題復(fù)習(xí)從一平面上一點(diǎn)A作 貝在另一平面內(nèi)的投 影（即找到另一平面 過點(diǎn)A的垂線）；垂過垂足B作棱的垂 線（棱即為兩個面 的交線），垂足記 為O;連結(jié)垂足與原先所 取的點(diǎn)A,得到二 面角的平面角即為 A

5、AOB.足記為B;圖5圖6例2如圖6所示，在四棱錐中.欣丄底ifliABCD. AB II CD、AD = CD. Z.BAD= 120 , LACB = 90 :（2）求二面角D-PC-A的余茲值.解析 tab II CD、乙BAD =12（）。,圖7ZADC = 6（尸，又AD = CD, /. AACD為等邊三角形. 取AC的中點(diǎn)6則DO丄AC.: PA 丄底面 4BUD. :.PA 丄 DO. :.DOL J PAG過 Q作QH丄匹,樂星為 乩 連,由三垂線定理知DHL PC. 厶PH。為三回用D-FC-A的平囲用.由OH = , DO= , a tanZDH? = = 2-42OH故

6、所求二面角的余疾值為百.5提示注意利用題目所給的已知條件.通過等腰.等邊三角形中點(diǎn)的性質(zhì)去尋找一般地，遇到求二而角的題目，如例2求二面佩D-PC-A的余弦值，我們先看看D點(diǎn)在平面PAC1的投彫是否好找.若不好找，則換成另一邊，再試試看A點(diǎn)在平面P3 上的投影是否好找，從而嵋定以哪一點(diǎn)為起始總.D_PC_A 或 D_PC_ATT2014展高三理科救學(xué)專題復(fù)習(xí)【3】垂面法作與棱垂直的平而.則垂而與二面角兩個而的交線所成的角就是二而角的平血角.利用垂面法求二面角的平面角的原理如圖8所示已知afl0二/,作出二面角a-/-0的步驟：作出垂直棱的一個平面丁，與a, 0交于兩條線.則這兩條交線所 成角即為

7、二面角a-/-0的平面角.圖8例3如圖9.在三棱錐S-ABC中.SA丄底面ABC. AB丄 DE垂直平分SU且分別交SC、AU于D、E. 乂 SA=AB, SB=BC、求二血角D-BE-C的大小.解析: BS=BCt 5D=DC. :.SC丄ED.又SC丄 DE, SC 丄 面 BDE. SC 丄 BE. 乂 / BE 丄 SA、:. 0E丄 聞 SAC .厶DEC為二面角D-BE-C的平面角.設(shè) SA=a.則 SB=BC=a 9：BC丄AB. SA丄平面 ABU圖9：BC丄SB .SC2a9 Z.SCE=3O, /. ZDEC=6() 即二面角 D-BE-C 的大小為 60. 提示 本題中，

8、平面DEE與平面BEC的交線為EE,又證得EE垂直平而SAC,故可考慮用 垂面法作二面角.由圖得平面SAC與平面DBE和平 BEC的交線分別為DE、EC、 則乙DEC即為二面角D-BE-C的平面角進(jìn)而由圖中各邊數(shù)量關(guān)系求得該二面角大小.射影定理法利用射影足理：二血角的余弦值等于某一個半平血在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值即:S汕二s觀昶. 或cos& =魚.S觀|利用射影定理求二血角的方法原理如圖10所示.斜圖10例4解析(2001全國理T17改編)如圖11 在底面足玄角梯形的四棱錐S-ABCD中，乙ABU=90。. SA 丄面 ABCDSA=AB=BC= 1 AD=0.5.(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值.記面SUD與面SEA所成二面角為a,由面積射彭定理得FS S：t：cD cosa=5 cos a =S不難發(fā)現(xiàn)，SD=CD= 9 SC=JJ, it D DH丄SC2AT