高考數(shù)學(xué)經(jīng)典錯(cuò)題深度剖析及針對(duì)訓(xùn)練專題25導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、專題25導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【標(biāo)題01】沒(méi)有理解“ f (x0) 0是x x0是極值點(diǎn)的必要非充分條件” 322【刁題01】f x x ax bx a在x 1處有極小值10,則a b 2f 3 2ab 0【經(jīng)典錯(cuò)解】由題得 f (x) 3x 2ax b,所以2.f(1) 1 a b a2 10所以a 3 b 3或a 4 b 11 ,所以a b 0或a b 7.2f (1) 3 2a b 0【詳細(xì)正解】由題得 f (x) 3x 2ax b,所以9.所以a 3 b 3或f(1) 1 a b a2 10a 4 b 11.當(dāng)a 3 b 3時(shí)，f(x) 3x2 6x 3 3(x 1)2 0 ,所以函數(shù)f (x)是

2、增函數(shù)，與題意不相符，所以舍去.經(jīng)檢驗(yàn)，a 4 b11時(shí)，滿足題意.所以a b 7.1深度剖析】in經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在沒(méi)有理解“r(不)=。是工二%是極值點(diǎn)的必要非充分條件(力八)=0不能=工=娓極值點(diǎn),所以尸飛=0是# = &是極值點(diǎn)的非充分條件寧工二%是極值點(diǎn)=0,所以罡/二/是極值點(diǎn)的必要條件.產(chǎn)是是極值點(diǎn)的必要非充分條件”，所以出現(xiàn)雙值時(shí)，要注意檢蛤.【習(xí)題01針對(duì)訓(xùn)練】已知函數(shù) f(x) x(x m)3在x 2處取得極小值，則常數(shù) m的值為()A. 2 B .8 C .2或8 D ,以上答案都不對(duì)【標(biāo)題02】求函數(shù)的單調(diào)性時(shí)忽略了函數(shù)的定義域的研究ln x一【習(xí)題02已知函數(shù)f(x

3、) 1 ,試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性. x 11nx . . 一【經(jīng)典錯(cuò)解】由已知得 f (x) n-.令f (x) 0 ,得|x e| x因?yàn)楫?dāng)x e時(shí)，f (x) 0 ；當(dāng)x e時(shí)，f (x) 0 .所以函數(shù)f(x)在(，e)上單調(diào)遞增，在e,)上單調(diào)遞減.【詳細(xì)正解】)函數(shù)f(x)的定義域是(0,).由已知f (x) L暑.令f (x) 0 ,得x e .因?yàn)楫?dāng) x0 x e時(shí)，f (x) 0；當(dāng)x e時(shí)，f (x) 0 .所以函數(shù)f(x)在(0,e上單調(diào)遞增，在e,)上單調(diào)遞減.【深度剖析】經(jīng)典錯(cuò)睥錯(cuò)在求函數(shù)的單調(diào)性時(shí)忽略了函數(shù)的定義域的研究”2)對(duì)于函數(shù)問(wèn)題的研究， 無(wú)論是具體函數(shù)，

4、還是抽象函數(shù),無(wú)論是簡(jiǎn)單曾數(shù).還是復(fù)雜困數(shù)，必須遵循“函數(shù)問(wèn)題，定義域優(yōu)先” 的原則一 6利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的增(瀛)區(qū)間，一般先求函數(shù)的定義域普，再求導(dǎo)尸(力，再解不等式/<x)>(<),得不等式解集團(tuán)再把Q和E求交得到函數(shù)的增(減)區(qū)間.【習(xí)題02針對(duì)訓(xùn)練】已知函數(shù) f(x) alnx x 1,a R.求f(x)的單調(diào)區(qū)間.【標(biāo)題03】導(dǎo)函數(shù)及其單調(diào)性的關(guān)系理解不到位1 32【習(xí)題03】設(shè)函數(shù)f(x) -x ax 5x 6在區(qū)間1.3上是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()3A. 底B., 3 C ., 3D. V5,<52 _ 一 一一一. 2_【經(jīng)典錯(cuò)解】根據(jù)題息

5、 f (x) x 2ax 5 0在區(qū)間1,3上恒成立，所以f (x) x 2ax 5的最大值小于零，因?yàn)楹瘮?shù)開(kāi)口向上，故最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取得，所以,f10,，解得a 3,所以選擇C.f302x 2ax 5的最大值一-一 2【詳細(xì)正解】根據(jù)題意f (x) x 2ax 5 0在區(qū)間1,3上恒成立，所以f (x)小于或等于零，因?yàn)楹瘮?shù)開(kāi)口向上，故最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取得，所以,f10,，解得a 3,所以f30選才i B .【深度剖析】(1)經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在導(dǎo)函數(shù)及其單調(diào)性的關(guān)系理解不到位.(2)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該小于或等于零(等于零的點(diǎn)為有限個(gè)孤立點(diǎn))，不能寫(xiě)成導(dǎo)數(shù)小于零.錯(cuò)解漏掉了等號(hào).

6、【習(xí)題03針對(duì)訓(xùn)練】已知函數(shù) f (x) ln x 2a,a R .x(1)若函數(shù)f(x)在2,)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(2)若函數(shù)f (x)在1,e上的最小值為3,求實(shí)數(shù)a的值.【標(biāo)題04解題不規(guī)范沒(méi)有嚴(yán)格按照教材的要求求函數(shù)的極值3【習(xí)題04】設(shè)函數(shù)f (x) x 12x 5,x R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若關(guān)于x的方程f(x) a有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【經(jīng)典錯(cuò)解】(1)Qf'(x) 3x2 12 3(x 2)( x 2)令f'(x)。得：xi2, x2 2 所以f(x)的增區(qū)間是(，2)和(2,)，減區(qū)間是(2,2)；當(dāng)x 2

7、時(shí)，f(x)取得極大值，極大值 f( 2) 21；當(dāng)x 2時(shí)，f(x)取得極小值，極小值 f(2)11.(2)由(1)得，作出函數(shù) f(x)的草圖如圖所示：數(shù)形結(jié)合得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(11,21).,.、 一 一2【詳細(xì)正解】(1) Q f '(x) 3x2 12 3(x 2)(x 2)令 f'(x) 0 得：x12, x2 2當(dāng)x變化時(shí)，f'(x), f (x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f'(x)00f(x)增極大減極小增所以f(x)的增區(qū)間是(，2)和(2,),減區(qū)間是(2,2)；2時(shí)，f(x)取得極大值，極大值 f( 2) 21;

8、2時(shí)，f (x)取得極小值，極小值 f(2)11.(2)由(1)得，作出函數(shù) f(x)的草圖如圖所示：所以，實(shí)數(shù) a的取值范圍是(11,21).1深度剖析 經(jīng)度錯(cuò)解錯(cuò)在解題不規(guī)沒(méi)有嚴(yán)格按照教材的要求求翻I的極值.根據(jù)教材的要求P求 陶的極值，一定要列表理由有兩個(gè)，T®/®)=。懸11數(shù)/冷在工二出有極值的必要沆分柒曲 所以/(不)=0時(shí)：不一定罡圖教的極值點(diǎn)，需要檢驗(yàn)不二罡列表后，某點(diǎn)#=不左右兩邊的單調(diào)性 就會(huì)一目了然，就能準(zhǔn)確也判斷出工=9是不是函數(shù)的極值點(diǎn).行)平時(shí)的學(xué)習(xí)和考試,一定要嚴(yán)格按照教 材的要求解獨(dú)，包括格式，盡量減少非智力性錯(cuò)誤扣分一這樣也能保證我們少扣分

9、，少扣分，就是多得分一 【習(xí)題04針對(duì)訓(xùn)練】已知函數(shù) f(x) lnx a (a R).x(1)若曲線y f (x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線與直線x y 1 0平行，求a的值；(2)在(1)條件下，求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)當(dāng)a 1,且x 1時(shí)，證明：f(x) 1.【標(biāo)題05】對(duì)于函數(shù)的圖像分析不透徹推理不嚴(yán)謹(jǐn)碰巧做對(duì)了32.【習(xí)題05已知函數(shù)f(x) ln(x -) ,g(x) ln x.1(1)求函數(shù)f(x)的單倜區(qū)間；(2)如果關(guān)于x的萬(wàn)程g(x) -x m有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) m的取值集合；2(3)是否存在正數(shù)k ,使得關(guān)于x的方程f(x) kg(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

10、？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說(shuō)明理由.3 【經(jīng)典錯(cuò)解】(1)函數(shù)f(x)的定義域是(3,0)(0,).2對(duì)f (x)求導(dǎo)得f (x)3 由 f (x) 0,得一23因此(3, 1)和(3, 2，、1(2)因?yàn)?g(x) x123/x -2(x1)(x23x (x 2)3)3,由 f (x)是函數(shù)f(x)的增區(qū)間;m in0,彳# 1 x 0或0 x 3.1,0)和(0,3)是函數(shù)f(x)的減區(qū)間.in x1x.2一 一，1所以實(shí)數(shù)m的取值氾圍就是函數(shù)(x) in x -x的值域2,一i11對(duì)(x)求導(dǎo)得 (x) 1 1x 2令(x) 0,得x 2,并且當(dāng)x 2時(shí)，(x) 0;當(dāng)0

11、x 2時(shí)，(x) 0當(dāng)x 2時(shí)（x）取得最大值，且(x)max(2) In2 1.因此函數(shù)（x） In x（3）結(jié)論：這樣的正數(shù)1x的值域是2k不存在（,In 2 1即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（卜面采用.反證法來(lái)證明：假設(shè)存在正數(shù),ln 2f （x）kg（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Xi和X2,則1使得關(guān)于x的方程f(X1)kg(X1)f(X2) kg(x2)I /3、In( X1-)22個(gè)一k In x1, d根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域知又由（1）可知，當(dāng)X3 f(X1)=In(x1 2)再由k>0,可得g（X1）-3、In(x2 -)2X12 k In x2.X2Xi和X2都是正數(shù).0 時(shí)，f(x)m

12、in f(3)3 一 ，、.，0, f(x2) = In(x2X1In % 0,g(X2)由于X1x2,所以不妨設(shè)X1X2 ,由和可得-3、In(x1 2)In x1X1In(X2利用比例性質(zhì)得3 In(x1 2)ln(31)Inx2 01)X2In x2Inx1 X1In(x2In x132)X2Xi0,1, x21.2 Inx2X2In x23In(1)即風(fēng)In x1X1由于Inx是區(qū)間（1,ln(12x2In x2)- -2.(*)）上的恒正增函數(shù)，且1 X1X2,In x1In x21.一 32又In（1）是區(qū)間（1,）上的恒正減函數(shù)，且2x x1X1X2.In(12bX1In(1 會(huì)

13、X21.32In(1 )一 .In x12x1x11n X2 In(1 j.) 2x23In(1 2x1In x1Xi32In(1 )一 2x?x2In x2*)式矛盾.因此滿足條件的X2正數(shù)k不存在.【詳細(xì)正解】(1)同上，、1(2)因?yàn)?g(x) xInIn x1一x.2所以實(shí)數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)(x) In x1x的值域.2對(duì)(x)求導(dǎo)得(x)令(x) 0,得x 2,并且當(dāng)x 2時(shí),(x)0；當(dāng)0x 2時(shí)，(x)當(dāng)x 2時(shí)(x)取得最大值，且(x)max(2)In 21.又當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，Inx無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于0,進(jìn)而有 (x),ln 2 1即實(shí)數(shù)m的11 ,-一In x x無(wú)

14、限趨近于8.因此函數(shù)(x) In x x的值域是22取值范圍是(，In2 1(3)同上.t深度剖析】經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在對(duì)于困數(shù)的圖像分析不透徹，推理不嚴(yán)謹(jǐn)，碰巧做對(duì)了一(2)令獷(用一口得并且當(dāng)X、2力獷(力當(dāng)時(shí)妣冷取得最大值，且次H)9 =*2)=hi2-L這里J并沒(méi)有冊(cè)究函數(shù)的最小值或函數(shù)向下時(shí)函數(shù)值的變化越勢(shì).如果函 射向下雙今=如尤不是無(wú)限趨近于s,而是趨近某一個(gè)常數(shù)叫即函數(shù)的圖像是六吊”在中間， 那么這個(gè)答案就會(huì)出問(wèn)題.所以在研究圖數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，要養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)9睜的好習(xí)慣,慣性思維聯(lián)想到, 闔有最大值，那么最小值情況是怎么樣的呢？【習(xí)題05針對(duì)訓(xùn)練】已知函數(shù) f (x) ex,g(x) I

15、n(x m).直線I:y kx b經(jīng)過(guò)點(diǎn)P( 1,0)且與曲線 y f(x)相切.(1)求切線I的方程；(2)若關(guān)于x的不等式kx b g(x)恒成立，求實(shí)數(shù) m的最大值.1(3)設(shè)F(x) f(x) g(x),若函數(shù)F(x)有唯一的零點(diǎn)x0,求證-1 x0一 .2【標(biāo)題06】求函數(shù)的極值時(shí)忽略了函數(shù)的定義域【習(xí)題06已知函數(shù)f(x) 2x2 alnx.(1)若a 4,求函數(shù)f(x)的極小值；3(2)設(shè)函數(shù)g(x)-x2 1 a x,試問(wèn)：在定義域內(nèi)是否存在三個(gè)不同的自變量x(i 1,2,3)使得2f X g K的值相等，若存在，請(qǐng)求出 a的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？【經(jīng)典錯(cuò)解】(1)由已知

16、得f (x) 4x 4 4x一D,令f (x) 0 x1或x 1x x則當(dāng)1 x 1時(shí)f(x) 0, f (x)在(1,1)上是減函數(shù)，當(dāng)x 1時(shí)或x 1時(shí)f(x) 0, f (x)在(，1), (1,)上是增函數(shù)，故函數(shù)f(x)的極小值為f(1) 2 .(2)若存在，設(shè) f xg xm(i 1,2,3),則對(duì)于某一實(shí)數(shù) m方程f(x) g(x) m 0在(0,)上有三個(gè)不等的實(shí)根，設(shè) F(x) f(x) g(x) m 2x2 alnx 3x2 (1 a)x m ,2則函數(shù)f (x) g(x) m 0的圖象與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，即F (x) 4x 3x 1 a -a)x-a在(0,)有兩個(gè)不同

17、的零點(diǎn).xx顯然F (x) x一(1 a)x a (x 1)(x a)在(0,)上至多只有一個(gè)零點(diǎn).xx則函數(shù)F(x) f (x) g(x) m的圖象與x軸至多有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則這樣的S不存在.【詳細(xì)正解】(1)定義域?yàn)?0,),由已知得f (x) 4x 4 4x一9, x x則當(dāng)0 x 1時(shí)f(x) 0, f (x)在(0,1)上是減函數(shù)，當(dāng)x 1時(shí)f(x) 0, f(x)在(1,)上是增函數(shù)，故函數(shù)f(x)的極小值為f(1) 2 .(2)若存在，設(shè) f x g x m(i 1,2,3),則對(duì)于某一實(shí)數(shù) m方程f(x) g(x) m 0在(0,)上有三個(gè)不等的實(shí)根,(1 a)x m,3 9設(shè)

18、 F (x) f(x) g(x) m 2x a In x - x 2則函數(shù)F (x) f (x) g(x) m的圖象與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，即F(x) 4x a 3x 1 a -一(1 a" a在(0,)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).xx2舁袋匚 x (1 a)x a (x 1)(x a) 0、顯然F (x) 在(0,)上至多只有一個(gè)零點(diǎn).xx則函數(shù)F(x) f (x) g(x) m的圖象與x軸至多有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則這樣的常不存在.深度剖析】11)經(jīng)曲錯(cuò)解錯(cuò)在求函數(shù)的極值時(shí)忽略了函數(shù)的定義域一(2)曬數(shù)的極值的一般步舞二先求 定義域D,再求導(dǎo)廣再解方程/q=。(注意和口求交集"最后列表確

19、定極值.錯(cuò)解前面沒(méi)有考查 困數(shù)的定義城，后面也沒(méi)有?巴方程的解和定義域求交,要把不在函域定義域內(nèi)的值舍去.對(duì)于治城問(wèn)題 的研究，無(wú)論是具體函數(shù)，還是抽象函數(shù)，無(wú)論是簡(jiǎn)單困數(shù)，還是復(fù)雜困數(shù).必須遵循“函麴問(wèn)題，定義 域優(yōu)先”的原則，并且不育疣形式;必須在解題中應(yīng)用.【習(xí)題06針對(duì)訓(xùn)練】設(shè)f(x) a(x 5)2 6ln x,其中a R,曲線y f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6).(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間與極值.【標(biāo)題07審題錯(cuò)誤把單調(diào)函數(shù)理解為單調(diào)增函數(shù)【習(xí)題07已知a 0,且函數(shù)f(x) (x2(L) 14(1 a) 8a 0或 2 解得

20、：a .故f(x)在1,1上不可能為單倜函數(shù).g(1) 0.【詳細(xì)正解】f (x) ex(x2 2ax) ex(2x 2a) exx2 2(1 a)x 2af (x)在1,1上是單調(diào)函數(shù). 2ax)ex在1,1上是單調(diào)函數(shù)，求 a的取值范圍.【經(jīng)典錯(cuò)解】f (x) ex(x2 2ax) ex(2x 2a) exx2 2(1 a)x 2a又f(x)在1,1上是單調(diào)函數(shù)，f (x) 0在1,1上恒成立.即exx2 2(1 a)x 2a 0在1,1上2(1 a) 1恒成立. ex 0, g(x) x2 2(1 a)x 2a 0在1,1上恒成立.即2 或g( 1) 0(1)若f(x)在1,1上是單調(diào)遞

21、增函數(shù).則f (x) 0在1,1上恒成立，即exx22(1 a)x 2a 0 在1,1上恒成立.20. g(x) x 2(1 a)x 2a0在1,1上恒成立，則有a 11g( 1) 02_4(1 a) 8aa 1 1g(1) 0解得，a(2)若f(x)在1,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，則f (x) 0在1,1上恒成立. exx2 2(1a)x 2a 0在1,1上恒成立.ex0 . h(x) x22(1 a)x 2a 0 在1,1上恒成立.則有h( 1) 01 0 a 3 .，當(dāng)a 3,)時(shí)，f(x)在1,1上是單調(diào)函數(shù).h(1) 03 4a 044,【深度剖析】經(jīng)她錯(cuò)解錯(cuò)在畝題錯(cuò)俁把單調(diào)函數(shù)理解為單調(diào)

22、增函數(shù).(2)錯(cuò)解認(rèn)為/冷為里調(diào)理覽冷就只育的單調(diào)增函里,其實(shí)/(可還有可葡為單調(diào)被困射，因此應(yīng)令/，)手口或尸(X)wo在L-L1上恒成立.【習(xí)題07針對(duì)訓(xùn)練】已知函數(shù) f(x) (x2 a)ex .(1)若函數(shù)f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;(2)當(dāng)a 1時(shí)，討論函數(shù)ng(x) f (x) 4xex x(x 1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【標(biāo)題08】對(duì)“任意”和“存在”問(wèn)題的區(qū)別沒(méi)有理解到位【習(xí)題08已知函數(shù)f (x) ax ln x ( a R)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；2(2)設(shè)g(x) x 2x 2 ,若對(duì)任意X (0,),均存在x2 0,1,使得f(x) g(x2),求實(shí)數(shù)a

23、的取值范圍.1【經(jīng)典錯(cuò)解】(1) f (x) a - (x 0) x當(dāng)a 0時(shí)，由于x (0,),f (x) 0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,),當(dāng)a 0時(shí)，令f (x) 0 ,得xa當(dāng)x變化時(shí)，f (x)與f(x)變化情況如下表:x1 (0,-) a1 a1(一,)af (x)0f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0, 1),函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1,) aa 由已知,轉(zhuǎn)化為f(x)max g(x)min接下來(lái)，求函數(shù)f (x)max和g( x)m(.【詳細(xì)正解】(1)同上.(2)由已知，轉(zhuǎn)化為 f(x)max g(x)max 因?yàn)?g(x) x2 2

24、x 2 (x 1)2 1, x 0,1,所以 g(x)max=2由(n)知，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，值域?yàn)?R,故不符合題意.(或者舉出反例：存在 f(e3) ae3 3 2 ,故不符合題意.)當(dāng)a 0時(shí)，f (x)在(0, 1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減， aa故f(x)的極大值即為最大值，f( 1)1 ln( 1)1 ln( a),aa11所以21 ln( a),解得a-1 .3e【深度剖析】(i.)經(jīng)曲錯(cuò)解錯(cuò)在對(duì)“任意叼r存在”問(wèn)題的區(qū)引段有理解到位從而得到或由小., 實(shí)際上應(yīng)該是/”4期力皿.若對(duì)任意的巧E時(shí).存在使得/缶) 翅迎h(huán)等價(jià)于，(工)3虱力g ；若時(shí)

25、任意的三 WM二任意&EM使得“%”飆三人等價(jià)于/(幻皿鼠工皿!若存在x M ,存在x2N,使得f(x1)g(x2),等價(jià)于f(x) ming( x)max ；若存在 M,任意x?N,使得f (xi) g(x2),等價(jià)于f (x)ming(x)min .對(duì)于這4個(gè)關(guān)于“任意”和“存在”的命題，大家要理解透徹，不要死記硬背.【習(xí)題08針對(duì)訓(xùn)練】已知函數(shù) f (x) ex 2x , g (x) x2 m (m R)(1)對(duì)于函數(shù)y f(x)中的任意實(shí)數(shù)x,在y g(x)上總存在實(shí)數(shù)x0,使得g(x0)f(x)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)h(x) af (x) g(x),當(dāng)a在區(qū)間

26、1,2內(nèi)變化時(shí),(1)求函數(shù)y h (x) x 0,ln 2的取值范圍；【標(biāo)題09】對(duì)命題f (x)(2)若函數(shù)y h(x) x 0,3有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的最大值.g(x)恒成立錯(cuò)誤理解為f (x)ming (x)max【習(xí)題 09已知 f(x) xlnx, g(x) x2 ax 3.(1)求函數(shù)f (x)在t,t 1 (t 0)上的最小值;(2)對(duì)一切x (0,),2 f (x) g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;一 . 一 12(3)證明：對(duì)一切x (0,)，都有l(wèi)nx '二成立.e ex【經(jīng)典錯(cuò)解】(1) f (x) ln x 1.f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增.1一 ；

27、w ef ( x) min f(t) tint .1“1(0, -), f (x) 0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng) x (一,e1rt - t 1,即 0 t e1 ,，一時(shí)，f (x)eef (1) mine1 ,t t 1,即t -時(shí)，f(x)在t,t 1上單調(diào)遞增, e所以f(x)min1,0 t et ln t,t 一 e(2)對(duì)一切x(0,),2 f (x) g(x)恒成立，等價(jià)于x (0,),2f(x)ming(x)max接下來(lái)求2 f (x) min , g (x)max ,再解答.1 x 2(3)問(wèn)題等價(jià)于證明 xln x f (x (0,), e e. 一, 11由(1)可知f(x

28、) x In x(x (0,)的取小工值是 一，當(dāng)且僅當(dāng)x -時(shí)取到 eex21 x設(shè) m(x) 一(x (0,),則 m(x) x-,易知e ee，、，、1， ，一 、一，12 一m(x)max m(1) i,當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取到，從而對(duì)一切 x (0,),都有l(wèi)nx -x-成立. ee ex【詳細(xì)正解】(1)f (x) ln x 11,，工、，1(0, -), f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減,當(dāng) x (一,e1rr1t - t 1,即 0 t 時(shí)，f (x) eeef (1) mine),f(x) 0, f(x)單調(diào)遞增所以1 ,t t 1,即t 一時(shí)，f(x)在t,t 1上單調(diào)遞增,

29、 ef(x)minf(t) tint.f(x)min1,0 t et ln t,t(2) 2xln x設(shè) h(x) 2ln xc i3ax 3,則 a 2ln x x -(x 3)(x 1)2x3,x 一(x 0),則 h (x) x),h(x) 0,h(x)單調(diào)遞增, x (0,1),h(x) 0,h(x)單調(diào)遞減， x (1,所以 h(x)minh(1) 4,對(duì)一切 x (0,),2 f (x) g(x)恒成立，所以 a h(x)mm4(3)同上.深度剖析】經(jīng)曲錯(cuò)解錯(cuò)在對(duì)常題f83g恒成立錯(cuò)誤理解為/由之一恒成立，由于不等式兩邊國(guó)數(shù)的自變量都力所以它表示兩個(gè)也數(shù)取相同的自變量的值時(shí),/(力

30、)鼠制 恒成立,并不能代表了30之雙磯般轉(zhuǎn)化成/(冷一氟冷之0恒成立即了3-盛丸皿之。.也可以 像上面的解答一樣分離參數(shù).3)如果是2點(diǎn)巧L由于兩邊的自變量不同，所以等價(jià)T以力a師以解答類似的恒成立問(wèn)題時(shí)j要注意觀察兩邊函數(shù)的自變量的形式j(luò)再等價(jià)轉(zhuǎn)化命題.1 C【習(xí)題09針對(duì)訓(xùn)練】已知函數(shù) f (x) - x2 alnx, g(x) (a 1)x .2(1)若直線y g(x)恰好為曲線y f(x)的切線時(shí)，求實(shí)數(shù) a的值；一1(2)當(dāng)x - , e時(shí)(其中無(wú)理數(shù)e 2.71828 ), f(x) g(x)恒成立，試確定實(shí)數(shù) a的取值范圍.e【標(biāo)題10】函數(shù)在區(qū)間(-1,1 )上為減函數(shù)和減區(qū)間

31、為(-1,1)沒(méi)有區(qū)分清楚【習(xí)題10已知函數(shù)f(x) x3 ax 1的單調(diào)減區(qū)間為(1,1),求a的取值范圍【經(jīng)典錯(cuò)解】f (x) 3x2 a由題得3x2 a 0在(-1,0上恒成立所以a 3x2在(-1,。上恒成立a 3 所以a的取值范圍為3,).【詳細(xì)正解】f (x) 3x2 a令3x2 a 0 3x2 a由題得a 0xJ|所以Ja 1 a3 所以a的取值范圍為a 3 .所以a 3x2在(-1,。上恒成立 a3 所以a的取值范圍為3,).t深度剖析】經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在解I在區(qū)間511)上為減函數(shù)和城區(qū)間為"L 1)沒(méi)有區(qū)分清楚.函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上為減國(guó)故,只前說(shuō)明的熱的城區(qū)間為(

32、-IJ)或者何區(qū)間比"LD還要大，所以J'O) 50在-1,1 上恒成立，函數(shù)的漏區(qū)間為C-lilb說(shuō)明就是的數(shù)的整個(gè)漏區(qū)間，除此之外沒(méi)有瀛區(qū)間所叫八力曲解集為(-1,D即73瞭解集為(-L1).所以經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在理解為函額在區(qū)間(-1,1)是減函數(shù).對(duì)于這兩個(gè)容易混淆的概念，大冢宙題一定要認(rèn)真,a .【習(xí)題10針對(duì)訓(xùn)練】已知函數(shù) f (x) x 一 lnx, a r . xE (I)若f(x)在x 1處取得極值，求a的值;(n)若f (x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍;(出)討論函數(shù) g(x) f (x) x的零點(diǎn)個(gè)數(shù).高中數(shù)學(xué)經(jīng)典錯(cuò)題深度剖析及針對(duì)訓(xùn)練第25講

33、：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用參考答案【習(xí)題01針對(duì)訓(xùn)練答案】【習(xí)題01針對(duì)訓(xùn)練解析】32m 3x x m2x m 4x m ,由題意可知f' 228.當(dāng)m 2時(shí)，在x 2兩側(cè)f' x均為正，此時(shí)x 2不是函數(shù)f x的極值點(diǎn)，故舍，所以m 8,故選B .【習(xí)題02針對(duì)訓(xùn)練答案】當(dāng)a 0時(shí)，f(x)減區(qū)間為(0,)；當(dāng)2 0時(shí)，f(x)遞增區(qū)間為 0,a ,遞減區(qū)間為 a,【習(xí)題般針對(duì)訓(xùn)練解析】41)/(冷=一1=二色>0). x x當(dāng)ava時(shí)-fx)<ar /G)城區(qū)間為也當(dāng)。>0時(shí):由/，(力 得口 <HVQ,由)飛工>40得工)日遞增區(qū)間為(0山),遞房區(qū)間為(

34、仁木可.【習(xí)題03針對(duì)訓(xùn)練答案】(1) (,1； (2) a e.2a1 2a【習(xí)題03針對(duì)訓(xùn)練解析】(1) .f(x) lnx ，.-f (x)- xx x f(x)在2,)上是增函數(shù)一 12ax , f (x) 2 >0在2,)上恒成立，即aw 在2,)上恒成立.x x2人，、x令 g(x) 2,則“g (x) m , x 2,)/、 x， g(x) 2 在2,)上是增函數(shù)，g(x) min g(2) 1，a 1 .所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，1x 2a(2)由(1)得 f (x) , x 1,ex若2aC.則;即了力。在"旬上恒成立，此時(shí)/琦在口,句上是增函數(shù)所以/(，)皿

35、=/(1)=3 n 3,解得口 二"(舍去)若1曲石” 號(hào)尸(力=0,再#當(dāng)1VXC及時(shí)，/V)v0,所以八力在a %)上是減的鼬，當(dāng)2avxc©時(shí)，如八,所以在(%上是增函物所以/L =，()=皿初+占"解得口=身(舍去) ,JL,區(qū)若2。，則K-2c 40,即/&"。在口同上恒成立,此時(shí)73在口同上是溫兇融，所以，3L =)= "=巧所以/二?！玖?xí)題04針對(duì)訓(xùn)練答案】(1) a 0; (2)詳見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【習(xí)題04針對(duì)訓(xùn)練解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x 0,1 ln x a所以f (x) 2.又曲線y f (

36、x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線與直線x y 1 0平行，所以xf (1) 1 a 1,即 a 0.(2)令 f (x) 0,彳導(dǎo)x e當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f (x)的變化情況如下表：所以f(x)在x e處取得極大值，f(x)極大值ln x 1(3)當(dāng) a 1時(shí)，f (x).由于 x 1,x只需證明lnx 1 x.f(e)In ee，要證f (x)In x 11,由表可知：f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e ),單調(diào)遞減區(qū)間是(e ,)x(0,e)e(e,)f (x)+0一f(x)極大值、因?yàn)閤 1,所以h'(x) 0,故h(x)在1, 上單調(diào)遞增，當(dāng) x 1 時(shí)，h(x) h(1

37、) 0,即 lnx 1 x成立.故當(dāng)x 1時(shí)，有1nx 1,即f(x) 1. x3題。5針對(duì)訓(xùn)練答案】尸7+1,2 3證明見(jiàn)下面解驚【習(xí)題。5針對(duì)訓(xùn)練解析】(1)諛直線/與困數(shù)相切于點(diǎn)H (再“。由于八#)二喜廝以二 環(huán)住一碼)因?yàn)橹本€，過(guò)點(diǎn)H-L。上所以。加=屋。一毛)，整理得不步=0解得個(gè)=0,所以切線九y = x+l(2)設(shè)石00=1+/一口(工+爐。n舊:工+詡 1 x + m當(dāng)工已(一呵1一帆)時(shí),廳(力rO：xE(l網(wǎng)+»)時(shí)，/(力0所以氏在x=l-前處取得極小值，也是最小值.因此要使不等式成立，則 h(1 m) 2 m 0,所以m的最大值是2., . . x 1x 1

38、 一(3)由題設(shè)條件知，函數(shù) F (x) e (x m), F (x) e 2 0,x m(x m)則 x ( m,xO)時(shí)，F(xiàn) (x) 0, x (x0,)時(shí)，F(xiàn) (x) 0所以函數(shù)F(x)有唯一的極小值，也是最小值 .當(dāng) x m時(shí)，F(xiàn)(x) ，當(dāng) x 時(shí)，F(xiàn)(x) ,所以函數(shù)F (x)有唯一零點(diǎn)的充要條件是其最小值為0 .即 F(x0) 0,故 ex0 1n(x0 m) 0 ,由于 一1一 ex° ,所以 ex0 % 0 x° mx,、x1111設(shè) H(x) ex, H (x)e1 0,又因?yàn)?H ( 一)e 由零點(diǎn)存在性定理知1 %1.0, H ( 1) 1 022e

39、 Ib 9【習(xí)題06針對(duì)訓(xùn)練答案】Cl) -> O)熔區(qū)間0)431出期j減區(qū)間(2,3)j極大值7461d2,極小值2461m3 .【習(xí)題。6卦對(duì)訓(xùn)練解析】 因丁二。任一5y+6Et,故0)=火/-5) + §. x令*=1 ,得/Q>=1&7j F(D=6四，斫以曲線丁 = /(力在點(diǎn)(1JU»處的切線方程為 y 13 = (6必)任一11由點(diǎn)聲)在切線上可得6 1府=必6 ?故日=：.團(tuán)由 0)知:/(x)=-(x-5)2+61dx(x>0), /'(力三h5十§ 二(.一2)(工一§), 2x x令/(二)=0

40、,解得& =2,/=3 .當(dāng) 0 x 2或 x 3 時(shí)，f (x) 0,故 f(x)在(0,2), (3,)上為增函數(shù)；當(dāng)2 x 3 時(shí)，f (x) 0,故f (x)在(2,3)上為減函數(shù).9一由此可知f (x)在x 2處取得極大值f (2) 61n 2 ,在x 3處取得極小值f (3) 2 6ln 3.21 【習(xí)題07針對(duì)訓(xùn)練答案】(1) a 1； (2)只有一個(gè)零點(diǎn)22x2【習(xí)題07針對(duì)訓(xùn)練解析】(1) f (x) (x 2x a)e ,由題意知方程x2 2x a 0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，1 1所以=4+8a 0,解得a 1.因此，實(shí)數(shù) a的取值范圍是a 1 .2 22 xx 2(2

41、) g(x) (x 1) e x(x 1), g (x) e (x 1) 1 .x 2x 2設(shè) h(x) e (x 1) 1(x 1) , h (x) e (x 2x 1),因?yàn)閤 1,所以h(x) 0,故h(x)在(1,)上是增函數(shù)，2又h1 0，h(2) 3e 1 0,因此在(1,2)內(nèi)存在唯一的實(shí)數(shù)x0,使得h(x0) 0,因?yàn)閔(x)在(1,)上市增函數(shù)，所以在(1,)內(nèi)存在唯一的實(shí)數(shù) x0,使得h(x0) 0 .h(x)與h (x)隨x的變化情況如下表：x(1,x。)x0(x0,)g (x)0g(x)極小值Z由上表可知，g(x0) g(1)1 0,又 g(2) e2 2 0,故g(x

42、)的大致圖象右圖所示:所以函數(shù)g(x)在(1,)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).【習(xí)題08針對(duì)訓(xùn)練答案】(1) m 2 21n 2; (2) (1)2, 1 ; 2e3 21習(xí)題08針對(duì)訓(xùn)練解析MD原命題o 或創(chuàng)皿(切 先求函數(shù)p =的最小值，令/'(出=/2 = 0,得工=1 口2 .當(dāng)kaI口 2時(shí)，尸(冷0；當(dāng)匯clu2E寸j fg <0 .故當(dāng)工=1口2時(shí).F=r(x)取得極(最”卜值，其最小值為2而理數(shù)T=s(x)的最小值為叫曲當(dāng)稀<2-2加2時(shí), 能論成立(3)(1)：由雙力=。(在工一2力一/一熱，可得五1(»二值>工一2)-2工，把尸=拈；力這個(gè)位數(shù)看成是關(guān)

43、于口的一次國(guó)教，當(dāng)?shù)識(shí)Md司時(shí),，一2<0,因?yàn)?。eL2L故爾(力的值在區(qū)間2( -2)-2x(1 -2)-2x±t, Af(jc) = 2(-l)-2x r xe01ln2, JJJ Afr(x) = 2-2> 0 , 必在北匚0e2為增國(guó)數(shù)，故抑哺在比k2最小值為M=2,又會(huì) 同輝可求得NI禽在工亡Q In 2的最大值W«01=1 ,所以抽尸=收封在X左0, k 2的值域?yàn)?,1.(2) (2)當(dāng)xw電皿可時(shí))2)2"的最大值N=T,故對(duì)任意口HL2L 風(fēng)減在 XE。加2均為里調(diào)遞城醴，所以11擻坂力噸=就。，二口一雁當(dāng) x 1n2,3時(shí)，因?yàn)?ex 2 0, a 1,2,故 h (x)的值在區(qū)間(ex 2) 2x,2(ex 2) 2x上變化,此時(shí)，對(duì)于函數(shù)M (x),存在x0 1n 2,3 , M (x)在x In 2, x0單調(diào)遞減，在x x0,3單調(diào)遞增，所以, 3_一3h(x)在 x 1n 2,3的最大值為 h(3) a(e3 6) 9 m ,因?yàn)?a 1,2, h(3) h(0) a(e3 7) 9 0 , 所以h(3) h(0),故h(x)的最大值是h(3) a(e3 6) 9 m ,又因?yàn)閍 1,2,故當(dāng)函數(shù)y h(x)有