北京郵電大學(xué)版線性代數(shù)課后題答案

1、習(xí)題(A類)1.設(shè) a 1 = (1 , 1 , 0) , a 2 = (0 , 1 , 1) , a 3= (3 , 4, 0).求 a 1- a 2及3 a 1+2 a 2- a 3. 解：a 1- a 2=(1,1,O)-(O,1,1)=(1,O,-1),3a 1+2 a 2- a 3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)2.設(shè)3( a 1- =(4 , 1, -1 解：由3 (a整理得：a3. (1)xa )+2( a 2+ a ) = 5( a 3+ a )，其中 a 1 = (2 , 5, 1 , 3) , a 2 = (10 , 1, 5, 10) ,

2、a 3 ,1).求a .1- a) +2( a 2+ a )=5( a 3+ a )1 1= 6(3 a 1+2 a 2-5 a 3),即a =6 (6,12,18,24)=(1,234)(4 )X(2 )X(3)V(5)X4.判別下列向量組的線性相關(guān)性(1)a 1=(2,5),a 2=(-1,3)；a 1=(1,2),a 2=(2,3),a 3=(4,3)；a 1=(1,1,3,1),a 2=(4,1,-3,2),a 3=(1,0,-1,2)；a 1=(1,1,2,2,1),a 2=(0,2,1,5,-1),a 3=(2,0,3,-1,3),a 4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無(wú)

3、關(guān)；（2）線性相關(guān)；（3）線性無(wú)關(guān)；（4 ）線性相關(guān).5.設(shè)a 1, a 2, a 3線性無(wú)關(guān)，證明： a 1 , a 1 + a 2, a 1+ a 2 + a 3也線性無(wú)關(guān). 證明：設(shè)k1% +|<2(% + 僅2)+k3(% +2 乜3)=0,即(k1 +k2 +1<3)% +(k2 伙3)02 棟303 =0.由。sS線性無(wú)關(guān)，有 卜1 +k2 卄3 =0, 你2 + ks =0, ks =0.所以K =k2 *3 =0,即a宀乜2,%也2 5線性無(wú)關(guān).6.問(wèn)a為何值時(shí)，向量組% =(1,2,3)22 =(3,-1,2)03=(2,32)線性相關(guān)，并將當(dāng)a=5時(shí),用。j&q

4、uot;2線性表示.1-1= 7(5-a),解:7.作一個(gè)以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣. 解：因向量(1,0,0,0) 與(1,0,1,0 )和(1,-1,0,0)線性無(wú)關(guān)，所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個(gè)行向量，因(1,0,0,1 )與(1,0,1,0)，( 1, -1，0，0)，1(1, 0,0、-10,0)線性無(wú)關(guān)，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個(gè)行向量.所以方陣可為1丿.8.設(shè)，川4的秩為r且其中每個(gè)向量都可經(jīng),°2川，£線性表出.證明：旳,。2川， W, 5,川，tts的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.%,口2,川，5【證明】若

5、線性相關(guān)，且不妨設(shè)口1,口2,川, ( t<r)(1)是(1)的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，貝也然(2)是,口2,川,叫的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，這與a山2川,比的 秩為r矛盾，故務(wù)衛(wèi)2川，必線性無(wú)關(guān)且為SS,川Qs的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.9.求向量組 =(1,1,1,k), "2=(1,1, k,1), °3=(1,2,1,1)的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.W,®,。3按列排成矩陣必線性無(wú)關(guān)且為【解】把1 1 2L0 0 1T0 0 1T0 k-1 01 k 110 k -100 k-100 0 1Lk 1 10 1-k 1-k_001-k_0 0 0-11111111當(dāng)k=1時(shí),213為

6、其一極大無(wú)關(guān)組.A并對(duì)其施行初等變換1%口203的秩為當(dāng)kM 1時(shí)，°宀、*3線性無(wú)關(guān)，秩為d =(2, a,b),使向量組%,«2,10.確定向量2=(1,2,1),【解】由于"3=(1,0,3，極大無(wú)關(guān)組為其本身.與向量組-1=(0,1,1), 卩3可由。123線性表出.2,0 1 1 1f12 011 2 0T0 -1 -1L1 1 T.0 0 0 1)的秩相同,1112A= (%,%,%)=1B= (P1, P2, d) = 1L0aLbj0L00a2而R(A)=2,要使 F(A)=F(B)=2,需a2=0,即a=2,又1121C = («1,0

7、2,(/3, 03)=0110L1-10 0 0 b a + 2要使d可由S,。2,。3線性表出，需b a+2=0,故a=2, b=0時(shí)滿足題設(shè)要求，即 3 =(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組(1) a 1=(1,2,1,3),a 2=(4,-1,-5,-6), a 1 = (6 , 4, 1, -1 , 2) , a 2= (1 , 0 , -1 , 3)； a 1= (1 , -1 , 2 , 4) , a 2= (0 , 3,=(2 , 1 , 5 , 6).解：(1)把向量組作為列向量組成矩陣A,(1-1-913-18一10丿可知：R(A)同的線性組合關(guān)系，

8、故與B對(duì)應(yīng)的A的第 組.(2)=R (B)=2,a 3=(1,-3,-4,-7)；0 , 2 , 3 , -4) , a 3= (1 , 4 , -9 , -6 , 22), a 4= (7, 1,1 , 2) , a 3= (3 , 0, 7, 14) , a 4= (1 , -1 , 2 , 0), a 5應(yīng)用初等行變換將A化為最簡(jiǎn)形矩陣B,則1119590B的第1, 2列線性無(wú)關(guān)，由于A的列向量組與1, 2列線性無(wú)關(guān)，B的對(duì)應(yīng)的列向量有相1, a 2是該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)'61 17-1 1 55彳 2 -9 0"40 410-8 4010 - 11 55 712 -

9、90T12 -90T0 -8 40 1-13 -6-105 -15 -10 5 -15-1.2-4 223>0-8 40 1)0 0 0 0 丿同理,(1 2 -9 00 1 -5 -11450 0 101124111 2 -9 0"1 0 0 0 "0 1 -5 00 1 0 00 0 10 0T0 0 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 0 丿卩0 0 0丿=B0 0 0可知R( A )=R(B)=4, A的4個(gè)列向量線性無(wú)關(guān),即a 1, a 2, a 3, 同理，a 4是該向量組的極大無(wú)關(guān)組X| + X2 = 3f1 0 3 1 2'<1

10、 0 3 1 2、<1 0 3 1 2、<1 0 3 1 2-1 3 0 -1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 12 1 7 2 5T0 1 1 0 1T0 0 0 -4 -4T0 0 0 1 142 1406丿0 2 2 -4 -2丿0 0 0 0 0*J0 0 0 0A =1, a 3,可知R( a )=R(B)=3,取線性無(wú)關(guān)組aa 5為該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組12.求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組(1)解：,并將其余向量用此極大無(wú)關(guān)組線性表示a 3=(5,-2,8,-9), a 4=(-1,3,1,7)；a 3=(1,3,3,5), a 4=(4,-2,5

11、,6),(1)以向量組為列向量組成A,應(yīng)用初等行變換化為最簡(jiǎn)形式.a 1=(1,1,3,1),a 2=(-1,1,-1,3),a 1=(1,1,2,3),a 2=(1,-1,1,1),(X5=(-3,-1,-5,-7).f1 - 1 5 -1-2 33 -11 3 -9 7可知，a 1,設(shè)a 3=X1 a設(shè) a 4=X3 a所以(1 -1 5 -10 2 -7 40 2 -7 40 4 -14 8a 2為向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組氐 - X2 = 51x1 + X2 = 21+X2 a2,即3為-X2 =8X1+3X2 9 解得,2,即703 =二印一二&2,&4 =2 21+X4

12、 a3X1<1 -1 5 -11 0(2)同理,可知，(X1、可得:+ X2可得:+ X2-X23 127220 03匕，X2 一 2卜-X2 = -1 卜 +X2 =3|3x1 -X1X1 + 3X2 ：= 7 解得 X1 = 210 011 1 4 -33"11 1 4 -3、巾 0 2 1 -2 、1 - 1 3 -2 -10 -2 2 -6 20 1 -1 3 -1TT21 3 5 -50 - 1 1 -3 10 0 0 0 031 5 6 -7 丿0 -2 2 -6 2 丿,0 0 0 0 0 丿+ 2a2.A =B3=X1 a 1+X2 a 2a 2可作為A的一個(gè)極

13、大線性無(wú)關(guān)組，令a=1=3即 X1=2,X2=-1, 令 a 4=X3 a 1+X4 a 2,=4-2即X1 = 1,X 2=3, 令 a 5=X5a 1+X6a 2,可得： B X2 = 1 即 X1=-2,X 2=-1,所以 a 3=2 a 1- a 2a 4=a 1+3 a 2, a 5=-2 a 1- a 213.設(shè)向量組02,川,Gm與厲用2,川，Ps秩相同且衛(wèi)2,川,能經(jīng)臥用2,川，氏線性表出. 證明a 1,5,川,與卩1, P2,川，6等價(jià).【解】設(shè)向量組耳叫川,與向量組P1,P2,川,Ps的極大線性無(wú)關(guān)組分別為8,5,川,5和（4）2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，

14、從而（3）可以由（4）線性P1,P2,川,Pr由于（1）可由（表出，即r(i =1,2,川，r).6=2 aij Pjj 土因（4）線性無(wú)關(guān)，即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價(jià)，再由它們分別同（ 等價(jià).故（3）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是I aij I豐0,可由（*）解出1）, （2）等價(jià),Pj(j =1,2,川，r)所以(1)和（2）14.設(shè)向量組a 1, a 2,a s的秩為r 1,向量組3 1, 3 2,3 t的秩為r 2,向量組a 3 2,3 t的秩為r3,試證：1,1, a 2, a s, 3 1,maxr 1,r 2 w 3 w r1+r 2.a證明：設(shè)a s1,，Sr1為a 1

15、, a 2,，a s的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，%為為 a 1, a 2，3 t1, 3 t2, -1,3 2,3 t的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，則a s1,.a 1 ,%和3r1< r 3, r 2< r 3I卩 maxr1,r 2 <3, 及線性無(wú)關(guān)性可知：r3<1+2.又卩1,t1，3 tr2可分別由卩 k,r3可由a s1,a s， 3 1，3 2，3 t 的一 汗3線性表示，所以，sr1 ,3 t1，3 tr2線性表示a a aGa a aq +3a a a a 'a 1 a aa-1 1 -a 0 001- a 0 0TTa a 1 aa-1 0

16、 1- a 000 1-a 0e a a 1 丿衛(wèi)-1 00 1-a >lo 0 0 1-a>以向量組為列向量,用行初等變換化為最簡(jiǎn)形式:組成矩陣A,15.已知向量組 a 1=（1, a, a, a） 試確定a的值.解：,a 2=(a,1, a, a) , a 3=(a, a,1, a) , a 4=(a, a, a,1)'的秩為 3,1由秩A=3.可知a1,從而1+3a=0,即a=- 3 .【解】(1)矩陣的行向量組叮。3矩陣的行向量組儀4-的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為16.求下列矩陣的行向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組P5311743 11221 7594531320215-17594

17、541341203-1325322048 J11;(2)1104-1口2的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為円宀5.17.集合 V = ( X1, X2li, Xn)I為什么？X1, x 2,川，Xn R且 X1 + x 2 +川+Xn = q是否構(gòu)成向量空間？【解】由(0,0,0 ) V 知 V 非空，設(shè)。=(X1, X2,川,X n)忘0 =( y1, y2,川，yn盧 V2,k R ) 則a +P =(X1 +y1，X2 +y2,川，Xn+yn)ka =(kX,kX2川 |,kXn).因?yàn)?X1 +%) +(X2 +y2)廿H +(Xn +yn)= (X1 +X2 +ili + Xn) +(y1 +y2

18、+川 +yn) =0,kX1 +kX2 +川+ kXn =k(X1 +X2 +|+Xn) =0,所以。+卩Jjk八V1,故V1是向量空間.18.試證：由 W,1,。),。2 P。1)"3 W),生成的向量空間恰為R3.【證明】把s,。2®3排成矩陣鬥"2,。3),則所以12/3線性無(wú)關(guān)，故是戌的一個(gè)基，因而503生成的向量空間恰為£19.求由向量 =(121,0),2=(1,1,12)嚴(yán)3=(3,43 4)巴4=(1,121)嚴(yán)5 =(4,56 4)所生 的向量空間的一組基及其維數(shù).02,03,0【解】因?yàn)榫仃嘇 = ©1,12141,%)45

19、10L。-1-2-141-310-12-14-3L0 sss是一組基，其維數(shù)是=(1,0,1,1), p1 =(2,1,3,3), P2 =(0,1,1,1),證明：20.設(shè) =(1,1,0,0),口2L(%,a2)=L(p1,p2).【解】因?yàn)榫仃嘇 = (%,01102,-1301-11000-1L0由此知向量組-10-30010由習(xí)題15知這兩向量組等價(jià)，從而1(% , 2 ) = L( A , 2 )3V21.在R中求一個(gè)向量，使它在下面兩個(gè)基(1徑 1 =(1,0,1),比=(1,0,0)3 =(0,1,1) p1=(0,1,1), p2 =(1,1,0)卩3 =(1,0,1) 下有

20、相同的坐標(biāo).GGEot ot匕的秩都是2,并且向量組1' 2可由向量組 1'2線性表出.a a3 31' 2也可由12線性表出.所以1,Y =(%,勺，6)X2= (1,6, P3)X2X3 J11 X3 j-11【解】設(shè)丫在兩組基下的坐標(biāo)均為(X1,X2,X3)，即0L1即TxJ01dLXaL1X2-1-11 VxJ0dLx3jX21-2-<X1111X210001LX30,求該齊次線性方程組得通解片=k, X2 = 2k, X3 = -3k(k為任意實(shí)數(shù))故V =x1£i +X2 e2 +X3® =(k,2k,七k).22.驗(yàn)證 8 m1,

21、0), 口2 R2,1,3), 口3 F3,1,2)為R3的一個(gè)基，并把 p1 二®0,7), P2二(_9, -8, -S)用這個(gè)基線性表示.【解】設(shè)A= (01,5,旳)，B= (P1,P2),又設(shè)p2 = X12O1 +X22O2 +X32O3p1 =捲1% +«1«2 +X31«3,即(際卩2)=(%,031宀2,X11)X21LX31X32記作則B=AX(AB)1-1:50-9 1810-9 117L00-13L0-132 !II2 :-29 1、_13 p ±初等行變換V J10L00 !II1 :-1-2,故"沁汕323L-1少,6) =(%,02,。3)1,52,為戊的一個(gè)基，且31-3 ,-2j即% =2% +32"3,7.設(shè)向量組a 1,(1) a 1能否由a(2) a 4能否由a 解：(1)由向量組a 4線性無(wú)關(guān)，所以a 2, a 3線性相關(guān)，向量組a 2, a 3, a 4線性無(wú)關(guān)，冋：2, a 3線性表示？證明你的結(jié)論.1, a 2, a