高三數(shù)學(xué)整理解排列組合應(yīng)用問題的十種思考方法

1、“解排列、組合應(yīng)用問題”的思維方法一、優(yōu)先考慮： 對有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列，通常 是先排特殊元素或特殊位置，再考慮其它的元素或其它的位置。例1. (1)由0、1、2、3、4、可以組成 個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。 由1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有 個。5個人排成一排，其中甲不排在兩端也不和乙相鄰排列的排列共有 種。二、“捆”在一起：有要求元素相鄰(即連排)的排列問題，可以先將相鄰的元素看作一個“整體”與其它元素排列，然后“整體”內(nèi)部再進(jìn)行排列。例2. ( 1)有3位老師、4名學(xué)生排成一排照相，其中老師必須在一起的排法共有

2、 種。(2)有2位老師和6名學(xué)生排成一排，使兩位老師之間有三名學(xué)生，這樣的排法共有 種。三、插空檔：有要求元素不相鄰(即間隔排)的排列問題，可以制造空檔插空。例3. (1)五種不同的收音機和四種不同的電視機陳列一排，任兩臺電視機不靠在一起， 有 種陳列方法。(2) 6名男生6名女生排成一排，要求男女相間的排法有 種。四、減去特殊情況(即逆向思考)：先算暫時不考慮限制條件的排列或組合種數(shù)，然后再從中減去所有不符合條件的排列或組合數(shù)。例4. (1)以正方體的頂點為頂點的四面體共有 個。(2)由0、1、2、3、4、可以組成 個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。(3)集合A有8個元素，集合 B有7個元素，A B有4

3、個元素，集合C有3個元素且滿足下列條件：C A B , C A , C B 的集合C有幾個。(4)從6名短跑運動員中選 4人參加4 100米的接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少種參賽方案？五、先組后排： 排列、組合綜合題，通常都是先考慮組合后考慮排列。例5 (1)用1、2、3、 9這九個數(shù)字，能組成由 3個奇數(shù)數(shù)字、2個偶數(shù)數(shù)字的不重復(fù)的五位數(shù)有 個。(2)有8本不同的書，從中取出 6本，獎給5位數(shù)學(xué)優(yōu)勝者，規(guī)定第一名(僅一人)得 2本,其它每人一本，則共有 種不同的獎法。(3)有五項工作，四個人來完成且每人至少做一項，共有 種分配方法。六、除以排列數(shù)： 對某些元素有順序

4、限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規(guī)定 順序元素個數(shù)的全排列。例6 (1)有4名學(xué)生和3位老師排成一排照相，規(guī)定兩端不排老師且老師順序固定不變，那么 不同的排法有 種。(2)由0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字 小于百位數(shù)字，則這樣的數(shù)共有 個。(3)書架上放有5本書(15冊)，現(xiàn)在要再插入 3本書，保持原有的相對順序不變，有 種放法。七、對象互調(diào)： 有些排列或組合題直接就題論題很難入手，但換個角度去考慮便順利求得結(jié)果 又易理解。例7. ( 1) 一部電影在四個單位輪放，每單位放映一場，可以有 種放映次序。(2) 一排有8個座位，3人

5、去坐，要求每人左右兩邊都有空位的坐法有 種。(3)有6個座位3人去坐，要求恰好有兩個空位相連的不同坐法有 種。八、分情況研究： 分情況研究(即分類計算)復(fù)雜的排列、組合綜合題，常常通過畫簡圖、按元素的性質(zhì)“分類”；按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”等方法。分情況研究求得結(jié)果，尤其 對含數(shù)字“ 0”的排列，常分“有0”及“無0”兩種情況研究，在“有 0”時，排列的“首位” 又是“特殊”位置要優(yōu)先考慮。例8. (1)從編號為了 1、2、3 9的九個球中任取 4個球，使它們的編號之和為奇數(shù)，再把 這四個球排成一排，共有多少種不同的排法？(2)用0、1、2、3 9這十個數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個奇數(shù)字與兩

6、個偶數(shù)字的五位數(shù)有 多少個？(3)用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成的無重復(fù)的五位數(shù)中，若按從小到大的順序排列23140是第幾個數(shù)？排列與組合(思考方法18訓(xùn)練) 一.優(yōu)先考慮1 .現(xiàn)有6名同學(xué)站成一排：(1)甲不站排頭也不站排尾有多少種不同的排法？(2)甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？2 .用0,1,2, 3,4, 5組成無重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，共可以組成多少個？二.插空3 .有6名同學(xué)站成一排：甲、乙、丙不相鄰有多少種不同的排法？4 .有4男4女排成一排，要求(1)女的互不相鄰有 種排法；(2)男女相間有 種排 法。三.捆在一起5 .由1、2、3、4、5組成一個無重復(fù)數(shù)字的 5位數(shù)，

7、其中2、3必須排在一起，4、5不能排在一起， 則不同的5位數(shù)共有 個。6 .有2位老師和6名學(xué)生排成一排，使兩位老師之間有三名學(xué)生，這樣的排法共有 種。四.逆向思考7 .某小組有6名同學(xué)，現(xiàn)從中選出 3人去參觀展覽，至少有 1名女生入選時的不同選法有16種，則小組中的女生數(shù)為 。8 . 6名同學(xué)站成一排乙不站排尾有多少種不同的排法？五.先組后排9 .有4名學(xué)生參加3相不同的小組活動，每組至少一人，有 種參加方式。10 .從兩個集合 1,2,3,4和5,6,7中各取兩個元素組成一個四位數(shù)，可組成 個數(shù)。六.除以排列數(shù)11 .書架上放有6本書，現(xiàn)在要再插入 3本書，保持原有的相對順序不變，有 種放

8、法。12 . 9人(個子長短不同)排隊照相，要求中間的最高，兩旁依次從高到矮共有種排法。七.對象互調(diào)：13 .某人射擊8槍命中4槍，這4槍中恰有3槍連在一起的不同種數(shù)是 。14 .三個人坐在一排 7個座位上，(1)若3個人中間沒有空位，有 種坐法。(2)若4個空位中恰有3個空位連在一起，有 種坐法。八.分情況(即分類)15 .用0,1,2 , 3,4組成無重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，若按從小到大的順序排列， 則數(shù)12340是第 個數(shù)。16 .某車間有8名會車工或鉗工的工人，其中 6人會車工，5人會鉗工，現(xiàn)從這些工人中選出2人分別干車工和鉗工，問不同的選法有多少種？九.和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題。例9.和：

9、（1）用0、1、2、3、4、5、6這七個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這些三位數(shù)的和是多少？整除：（2）用0、1、2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中I、能被5整除的數(shù)有多少個？n、能被3整除的數(shù)有多少個？出、能被6整除的數(shù)有多少個？倍數(shù)：（3）在1、2、3100這100個自然數(shù)中，每次取不等的兩數(shù)相乘，使它們的積是的倍數(shù)，這樣的取法共有多少種？（取 7,11與取11,7認(rèn)為是同一種取法）（4）在1、2、330這三十個數(shù)中，每取兩兩不等的三個數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù),共有多少種不同的取法？約數(shù)：（5）數(shù)2160共有多少個正約數(shù)（包括 1和本身在內(nèi)）？其中共有多少個正的偶約數(shù)？十

10、、分配、分組問題：解題時要注意“均勻”與“非均勻”的區(qū)別、分配與分組（分堆）的區(qū)另I。例10. （1）將12本不同的書I、分給甲、乙、丙三人，每人各得4本有 種分法。n、平均分成三堆，有 種分法。2 2） 7本不同的書I、全部分給6個人，每人至少一本，共有 種不同的分法。n、全部分給5個人，每人至少一本，共有 種不同的分法。（3）六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法？a、甲一本、乙二本、丙三本；有 種分法。b、一人一本、一人二本、一人三本；有 種分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有 種分法。d、一人一本、一人一本、一人四本；有 種分法。排列與組合（思考方法全訓(xùn)練

11、）一 八：1 . 5名男生和2名女生站成一列，男生甲必須站在正中間，2名女生必須站在甲前面，不同的站法共有 種（用數(shù)字作答）。2 . 8人排成一排，其中甲、乙、丙三人中有 2人相鄰，但這3人不同時相鄰的排法有 種.3 .現(xiàn)有6張同排連座號的電影票，分給3名老師與3名學(xué)生，要求師生相間而坐，則不同的分法 數(shù)為.4 .在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取 5件，其中至少有2件次品的抽法有 一種。5 .現(xiàn)從某校5名學(xué)生干部中選出 4人分別參加上海市“資源”、“生態(tài)”、和“環(huán)?！比齻€夏令營，要求每個夏令營活動至少有選出的一人參加，且每人只參加一個夏令營活動，則不同的參加方案的種數(shù)是 .（寫出

12、具體數(shù)字）6 .將A、B、C、D、E、排成一排，其中按 A、B、C順序（即A在B前，C在B后）的排 列總數(shù)為。7 .如果從一排10盞燈中關(guān)掉3盞燈，那么關(guān)掉的是互不相鄰的3盞燈的方法有 8 . （1）如圖，一個地區(qū)分為 5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有 4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種。（以數(shù)字作答）（2）同室4人各寫了一張賀年卡先集中起來，然后每人從中取回一張別人送出的賀卡，這4張賀年卡不同的分配方式有 種。九.和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題17. （1）由2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：這些數(shù)的數(shù)字之和；這些數(shù)的和。（2）由0、2、5、7、9這5

13、個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字且能被3整除的四位數(shù)？18. （1）在1、2、3、4、50這50個自然數(shù)中，每次取出 2個（無論先后），使他們的 積是13的倍數(shù)，這樣的取法有多少種？（2）420共有多少個正約數(shù)？14175共有多少個正約數(shù)？十.分配、分組問題：19. 六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法?甲一本、乙二本、丙三本；有 種分法。一人一本、一人二本、一人三本；有 種分法。甲一本、乙一本、丙四本；有 種分法。 一人一本、一人一本、一人四本；有 種分法。20. 一般地，現(xiàn)有 6n本不同的書，分給甲、乙、丙三人，甲得 n本、乙得2n本、丙得3n本，則有 種分法。

14、分給三人，一人得 n本、一人得2n本、另一人得3n本，則有 種分法。分給三人，甲、乙各得 n本、丙得4n本，則有 種分法。分給三人，其中二人各得 n本，另一人得4n本，則有 種分法。分成三堆，一堆 n本、一堆2n本、一堆3n本，則有 種分法。分成三堆，有二堆各 n本，還有一堆4n本，則有 種分法。.優(yōu)先考慮:1 . (1)法一：(先考慮特殊元素甲)P4P5 480種；法二：(先考慮特殊位置頭尾)P52P4 480種；(2)法一：P5(甲在尾)+目目已4(甲不在尾)=120+384=504 ;(或法二：P6 2P5 P4 504種)；2 .先考慮首位再其它：C1P54 600o二.插空：3. P

15、3P43 144 ； 4. (1) P4P54 2880; (2) 2P4P4 1152。三.捆在一起： 5. P2P2P? 24；6. P63P2P4 5760。四.逆向思考：7.令小組中的女生數(shù)為 X,則：C3 C3x 16 x 2;8. P6 P5 600 o五.先組后排： 9. C2P3 36 ； 10. C2c32F4432 。六.除以排列數(shù)：11. P9 / P6 504 (即 P93 504 ) ; 12. P8/(P4P4) 70。七.對象互調(diào)：13. P52 20； 14.(1) C5P3 30; (2) P3P42 72。八.分情況(即分類)：15.P3p21 9；16.P

16、32c1c2C3c527。排列與組合(思考方法全訓(xùn)練)參考答案八：1 . C4 P3P3 )即：先前，再后)；2. P5P2P6 21600 ; 3. 72; 4. c2q0 C% c3c：97 ； 5. C5c4P3 180 (即：先組，再捆，后排)；6.120;7. 56;8.( 1)2 F4P4372；( 2)9.九.和、整除、倍數(shù)、約數(shù)問題17. (1)由2、3、4、5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有P4個，而每一個數(shù)的各位數(shù)字之和都是2 3 5 7 17 ,所以所有四位數(shù)的數(shù)字之和是P4(2 3 5 7) 408。如2在個，十，百，千位上的情況各有P3次，同理3, 5, 7的情況與2相同，所

17、以這些數(shù)的和為：P3(2 3 5 7) (1 10 100 1000) 113322。(2)不含2的有：P31P3 18 ；不含5的情況也為：P31P3 18 ,故共有36無重復(fù)數(shù)字且能被3整除的四位數(shù)。18. (1) :由1 13k 50 k 3.85,:這50個自然數(shù)中有3個是13的倍數(shù)，：有C1 C3c 47 1 44種13取法。(2) 420 22 3 5 7,:正約數(shù)有：3 2 2 2 24 個。 14175 34 52 7 ,:正約數(shù)有：4 3 2 24 個。十.分配、分組問題：W/4%木鼻fT)4匕 E0c 1 tft 2 c 2:3 3 m ri -=rc1c2c3八1八2cc/ 垢刀忻.3尢中C6冉乙C 5后內(nèi)C3)則有C6c5c3C6c560(種