三角形垂心定理的種證法

1、三角形“垂心”定理的 7種證法李小飛摘要：用賽瓦定理、作輔助線、三角形外接圓、向量法證明三角形垂心定理, 形成典型的一題多解，到達(dá)異曲同工之妙，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。關(guān)鍵詞：三角形、垂心、垂線、圓、向量 目錄:1.1三角形“垂心”定理的證法定理1.2預(yù)備定理1.3定理的證法（該定理俗稱三角形“垂心”定理）.A圖（1）引注和參考資料三角形“垂心”定理的證法1.1定理：三角形三條高相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的垂心已知，如圖（1） AABC 中,AD,BE,CF 分別是邊BC,CA,AB上的高.求證：AD,BE,CF相交于一點(diǎn)1.2預(yù)備定理：1.塞瓦（Ceva）定理:設(shè)D E、F分別是 MBC 邊BC

2、 CA AB上的點(diǎn),若 =1 ,貝U AD,BE,CF父于一FB DC EA占八、2. 三角形“外心”定理：三角形三邊的中垂線相交于一點(diǎn)，此點(diǎn)與三頂點(diǎn)等距，這點(diǎn)叫 做三角形的外心.3. 三角形“內(nèi)心”定理：三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)與三邊等距，這點(diǎn)叫做三 角形的內(nèi)心.11.3定理的證法1.3.1 證法如圖（1）,由已知可得,iCAF S 也BAE 二AB"cB ，BD CE AE *BF *CDBDBFAFMCDABCE =AC AB-AB *CB ACBC*1.即竺昱BF CD AEAF AC scbf =AE ABCE BCCD " ACCE CE/.由塞瓦定理可

3、得AD, BE CF相交式相乘得于一點(diǎn).1.3.2證法2如圖（2）分別過A B、C做它們所在A高的垂 線，使之相交 成心 A' B'C'.貝UC'CB理、A' D 圖（2 ）AB/A'B',BC/BCB'四邊形ABA'C為平行四邊形，二 AB =A'C =CB'X/CD、B圖（3）得，BE 平分 N DEF，CF 平分NEFD .在也DEF 中,可見，CF為邊A'B'的中垂線。同理可得，BE為邊C'A'的中垂線，AD為邊B'C'的中AD BE CF垂線AD,B

4、E,CF為AA'B'C'三邊上的中垂線.由“外心”定理可知, 相交于一點(diǎn).1.3.3 證法3如圖（3）連結(jié)DE EF, FD, 則A、B、D E四點(diǎn)共圓，/. N1 =N2.在 RtABE 和 RtUCF 中，易知 N2=N3,/. N1 =N3又A、F、D C四點(diǎn)共 圓，二蟲3=乂4,/. N1 =N4 .可見，AD 平分NE D F.同理可可知 NAEB =NAFC =90° ,HBC圖（4 ）E、H、D四點(diǎn)共C又二 N3 =N5N5+NB H10030由“內(nèi)心”定理可得，AD BE, CF相交于一點(diǎn).1.3.4證法4如圖（4）設(shè)AB邊上的高CF與BC邊上

5、的高AD相 交于H,連結(jié)BH并延長交AC于 E.連結(jié)DF,因A、F、D C四點(diǎn)共圓，A/N1=N2又B、D H、F四點(diǎn)共圓，N2=N3 ,/. N1 =N3 在 iBAE 和中 iCA F中，/. BE 丄 AC， 二BE為邊AC上的高.由此可見，高AD BE、CF 相交于一點(diǎn).1.3.5證法5如圖（5）設(shè)邊BC，AC上的高AD BE A 相交于H.連結(jié)DE作HF丄AB于F。連結(jié)CH則A、B、D E四點(diǎn)共圓，4 =N2 又 Z1 與Z3 互余， Z2與Z4互余./. N3=N4 又 C、圓，/. Z3 +NBHC =180°,C、H F三點(diǎn)共線。即AB邊上的高CF經(jīng)過H點(diǎn)。因而三條高

6、AD BE、CF相交于一點(diǎn).1.3.6證法6如圖（6）設(shè)BC邊上的高AD與AB邊上的高CF相交于H,連結(jié)BH并延長交AC于 E.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè) A B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（ 0, a），B（ b,0），C（ c,0）,則即BE為AC邊上的高?？梢姼?AD BE CF相交于一點(diǎn).1.3.7證法7如圖（7），設(shè)邊BC上的高AD與 AB邊上的高CF相交于H,連結(jié)BH并延長交AC于E。設(shè) HA=a , HB =b , HC = c 貝 U AB=b a。寫 CF 丄 AB. AB*HC=0 即 6a）Cj b*C=a *2 又 BC =C-b,且 AD 丄 BC, BC HA = 0 ,即 G - b ha = 0二 a y =ab “ = & b，b（c-a）= 0/ c-a = AC二HB AC =0可見，BE丄AC，即BE是 AC邊上的高.二AABC三邊上的高 ADBE CF相交于一點(diǎn).引注和參考資料