《探索勾股定理》教學(xué)設(shè)計(jì)-01

1、探索勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)一教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)點(diǎn)1. 體驗(yàn)勾股定理的探索過程，由特例猜想勾股定理，再由特例驗(yàn)證勾股定理 .2. 會(huì)利用勾股定理解釋生活中的簡單現(xiàn)象(二)能力訓(xùn)練要求1. 在學(xué)生充分觀察、歸納、猜想、探索勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想2. 在探索勾股定理的過程中，發(fā)展學(xué)生歸納、概括和有條理地表達(dá)活動(dòng)過程及結(jié)論的能力(三)情感與價(jià)值觀要求1. 培養(yǎng)學(xué)生積極參與、合作交流的意識(shí)2. 在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣二教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索和驗(yàn)證勾股定理難點(diǎn)：在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理三教學(xué)方法交流探索猜想 .在方格紙上

2、，同學(xué)們通過計(jì)算以直角三角形的三邊為邊長的三個(gè)正方形的面積，在合作交流的過程中，比較這三個(gè)正方形的面積，由此猜想出直角三角形的三邊關(guān)系四教具準(zhǔn)備1. 學(xué)生每人課前準(zhǔn)備若干張方格紙 .2. 投影片三張：第一張：填空 (記作2.1 A) ；第二張：問題串 (記作2.1 B) ；第三張：做一做 (記作2.1 C).五教學(xué)過程.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課出示投影片 (2.1 A)(1)三角形按角分類，可分為_、_、_.(2) 對于一般的三角形來說，判斷它們?nèi)鹊臈l件有哪些？對于直角三角形呢？(3) 有兩個(gè)直角三角形，如果有兩條邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形一定全等嗎？師上面三個(gè)小問題是我們以前討論過的，

3、我們簡單的回憶一下.生 (1) 三角形按角的大小來分 類可分為：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形；(2) 對于一般三角形來說，我們可以用 SAS(邊角邊 )、ASA(角邊角)、AAS(角角邊 )、SSS(邊邊邊 )來判斷兩個(gè)三角形全等；而對于直角三角形來說，除以上四種方法外，還可以用 HL( 即有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 ).(3) 兩個(gè)直角三角形，有兩邊對應(yīng)相等，有兩種情況：第一種情況：兩條直角邊對應(yīng)相等，這時(shí)，我們可注意到它們的夾角也對應(yīng)相等，利用SAS 可判斷它們?nèi)?.第二種情況：一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等，利用HL 公理即可判斷它們?nèi)?.綜上所述，兩個(gè)直角三角形

4、，如果有兩邊對應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形全等 .師我們可以注意到直角三角形有它獨(dú)有的一些特征.在我們學(xué)習(xí)和生活中，你是否還發(fā)現(xiàn)直角三角形的其他特征呢？這節(jié)課，我們就來繼續(xù)研究直角三角形.講述新課1. 問題串師 (出示投影片2.1 B)觀察下圖，并回答問題：(1)觀察圖 1.正方形 A 中含有 _個(gè)小方格，即A 的面積是 _個(gè)單位面積；正方形 B 中含有 _個(gè)小方格，即B 的面積是 _個(gè)單位面積；正方形 C 中含有 _個(gè)小方格，即C 的面積是 _個(gè)單位面積 .(2)在圖 2、圖 3 中，正方形 A、B、C 中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到上述結(jié)果的？與同伴交流.(3)請將上

5、述結(jié)果填入下表， 你能發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C 的面積關(guān)系嗎？A 的面積 (單位 B 的面積 (單位 C 的面積 (單位面積)面積)面積)圖 1圖 2圖 3生在圖 1 中，正方形 A 含 1 個(gè)小方格，所以它的面積是 1 個(gè)單位面積；正方形 B 含 1 個(gè)小方格，所以 B 的面積也是 1 個(gè)單位面積；正方形 C 含 2 個(gè)小方格，所以 C 的面積是 2 個(gè)單位面積 .師如何求得正方形C 的面積呢？生正方形 C 可劃分為四個(gè)直角邊長都為 1 個(gè)單位的四個(gè)全等的等腰直角三角形，所以 C 的面積為 4( 1 11)=2 個(gè)單位面積 .2生我們觀察可發(fā)現(xiàn)，這四個(gè)等腰直角三角形重新拼擺，剛好可拼擺成 2 個(gè)

6、小方格，所以 C 的面積為 2 個(gè)單位面積 .生正方形C 還可以看成邊長為2 個(gè)單位的正方形面積的一半，即 C 的面積為 1 22=2 個(gè)單位面積 .2師同學(xué)們能夠不拘一格地積極思考問題， 用多種方法去求得圖 1 中 C 的面積，值得發(fā)揚(yáng)廣大，那么圖 2，圖 3 中的 A，B，C 的面積是否可借鑒圖 1 中的 A，B，C 的求法獲得呢？請與你的同學(xué)們討論、交流。生圖 2 中， A 含有 9 個(gè)小方格或者說正方形 A 的邊長是 3 個(gè)單位長度，都可以求得 A 的面積是 9 個(gè)單位面積；同理可求得 B 含有 9 個(gè)小方格，所以 B 的面積為 9 個(gè)單位面積；對于正方形 C 來說，我們觀察可發(fā)現(xiàn)它含

7、有 18 個(gè)小方格，所以 C 的面積為 18 個(gè)單位面積 .師看來，同學(xué)們已能從圖 2 中很容易地就求得了 A，B， C 的面積 .是不是在求 C 的面積時(shí)也和圖 1 相類似，有多種求法呢？生是的 .在正方形 C 中，我們可以把它的邊緣的12 個(gè)全等的等腰直角三角形拼擺成6 個(gè)小方格，再加上中間的12 個(gè)小方格，正方形C共含有18 個(gè)小方格，所以它的面積為18 個(gè)單位面積；我們也可以把 C 分割成四個(gè)直角邊為 3 個(gè)單位長度的等腰直角三角形，也可算得 C 的面積為 4( 1 32 )=18 個(gè)單位面積 .2生如果把組成C 的四個(gè)等腰直角三角形沿正方形的邊向外翻，我們觀察又可發(fā)現(xiàn) C 在邊長為

8、6 個(gè)單位長度的正方形中， 并且 C 的面積恰好是這個(gè)正方形面積的一半即 1 62 =18 個(gè)單位面積 .2生圖 3 與圖 1，圖 2 類似，所以我們可用同樣的方法觀察求得 A，B，C 各含 4 個(gè)， 4 個(gè)， 8 個(gè)小方格，面積分別為 4 個(gè)， 4 個(gè)， 8 個(gè)單位面積 .師把三個(gè)圖中A，B，C 的面積分別填入上面的表格中，你能發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系嗎？生 C 的面積 =A 的面積 +B 的面積 .(表格略 )師很好！但是A，B ，C 的面積為什么會(huì)有這種關(guān)系呢？我們接著觀察這三個(gè)圖，你能發(fā)現(xiàn)什么？生在前面您說過這節(jié)課我們主要研究直角三角形，而在這三個(gè)圖中，都是三個(gè)正方形圍著一個(gè)直角三角形.師的確如

9、此，從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)：三個(gè)正方形好像是“長”在直角三角形的三邊上.生這說明三個(gè)正方形的邊長分別是以直角三角形的三邊為邊長得到的 .師那么， (3)的結(jié)論即 C 的面積 =A 的面積 +B 的面積與三角形有什么關(guān)系？這個(gè)關(guān)系說明什么？大家可以討論、交流.生 C 是斜邊上的正方形，所以 C 的面積是斜邊的平方； A， B 是兩直角邊上的正方形，所以 A，B 的面積分別是這兩條直角邊的平方 .根據(jù) A，B，C 的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)：斜邊的平方就等于兩直角邊的平方和 .師但是，我們也不難發(fā)現(xiàn)上面 3 個(gè)圖中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形， 而是一般的直角三角形， 會(huì)不會(huì)也有

10、這種三邊關(guān)系呢？2. 做一做出示投影片 (2.1 C)(1)觀察圖 4，圖 5，并填寫下表：A 的面積 (單位B 的面積 (單位C 的面積 (單位面積)面積)面積)圖 4來圖 5你是怎樣得到上面結(jié)果的？與同伴交流.(2)三個(gè)正方形 A，B，C 的面積之間的關(guān)系？(讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后填寫上面的表格.最后以小組為單位充分交流各自的想法， 特別是在計(jì)算斜邊上的正方形的面積即正方形C的求法 )師生共析根據(jù)圖4，圖 5 可填表如下：A 的面積 (單位B 的面積 (單位C 的面積 (單位面積 )面積 )面積 )圖 416925圖 54913我們先來觀察圖 4，不難看出 A，B 分別含有 16 個(gè)小方格

11、， 9 個(gè)小方格，所以 A、B 的面積分別為 16 個(gè)單位面積， 9 個(gè)單位面積，但斜邊上的正方形 C 的面積的計(jì)算較為復(fù)雜，我們可用以下幾種方法求得：第一種方法：將正方形 C 分割成 4 個(gè)直角邊長分別為 3、4 全等的直角三角形和中間的一個(gè)小方格， 利用計(jì)算三角形面積的公式可得正方形 C 的面積為 4( 1 34)+1=24+1=25 個(gè)單位面積 .2第二種方法：直接數(shù)正方形 C 中含有多少個(gè)小方格，但需要適當(dāng)?shù)钠礈悾诘谝环N方法中， 我們將正方形分割成 5 部分，直角三角形、和一個(gè)小方格，其中直角三角形、可拼湊成一個(gè)長和寬分別為 3 和 4 的長方形，含有 12 個(gè)小方格，同理、也可拼湊

12、成 12 個(gè)小方格，所以正方形 C 中共有 12+12+1=25 個(gè)小方格即 C 的面積為 25 個(gè)單位面積 .第三種方法： 可將直角三角形、沿正方形 C 的邊外翻，就得到一個(gè)邊長為 7 個(gè)單位長度的正方形，這時(shí)正方形 C 的面積就為(491)2+1=25 個(gè)單位面積 .圖5與圖4同理.我們從上表不難發(fā)現(xiàn)16+9=25 ，4+9=13 即 C 的面積 =A 的面積+B 的面積 .師圖 4 和圖 5 中的三個(gè)正方形A，B，C 也是由中間的直角三角形“長”出來的，你能從三個(gè)正方形的面積關(guān)系與直角三角形的三邊聯(lián)系嗎？生圖 4 中的正方形 A，B，C 的面積分別是直角三角形兩條直角邊的平方和斜邊的平方

13、，根據(jù)三個(gè)正方形的面積關(guān)系， 我們不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.由圖 5 我們也可得出同樣的結(jié)論.3. 議一議師我們通過對前面幾個(gè)直角三角形的討論，分析，你能歸納出直角三角形三邊長度存在的關(guān)系嗎？用自己的語言表達(dá)你的重大發(fā)現(xiàn)與同伴交流 .生在直角三角形中， 兩條直角邊長度的平方和等于斜邊的平方.師這是由前面幾個(gè)特例猜想出來的， 是否合理呢？我們不妨作幾個(gè)直角三角形檢驗(yàn)一下 .例如，作一個(gè)分別以 5 厘米、 12 厘米為直角邊的直角三角形， 然后測量斜邊的長度， 通過計(jì)算看一下直角三角形三邊的規(guī)律還成立嗎？生 1.作一個(gè)直角MCN；2. 以 C 為圓心，分別以

14、5 厘米、 12 厘米為半徑畫弧交 CM、CN于點(diǎn) A，B；3. 連結(jié) AB.用刻度尺量出斜邊 AB 的長度 (強(qiáng)調(diào)注意測量的誤差 )為 13 厘米 . 經(jīng)檢驗(yàn)斜邊 AB2=132=169，兩直角邊平方和AC2+BC2=52 +122 =25+144=169. 即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.師很好 .同學(xué)們不妨多作幾個(gè)不同的直角三角形，用上面的方法檢驗(yàn)直角三角形三邊的關(guān)系.師生共析通過特例猜想、檢驗(yàn)，我們不難發(fā)現(xiàn)，直角三角形的三邊的規(guī)律是成立的， 這就是我們將要介紹的重點(diǎn)內(nèi)容勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為 c，那么 a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊

15、的平方.4. 讀一讀 (課本 P 5)古代人就對勾股定理有過深入的研究， 幾大文明古國都有相應(yīng)的勾股定理的記載 .我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家之一 .早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角 .如果勾 (即直角三角形中較短的直角邊 )等于 3，股(即直角三角形中較長的直角邊 ) 等于 4，那么弦 (即直角三角形中的斜邊 )等于 5，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中，在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式 .因此，我們也把勾股定理稱為商高定理， 而把商高稱為“勾股先師”.在西方，把勾股定理又稱為“畢達(dá)哥拉斯”定理.相傳二千多年，希臘著

16、名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此他們還舉行了一次空前規(guī)模的慶?；顒?dòng)，宰殺了一百頭牲畜 .但因此也引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)邊長為 1 的正方形的對角線的長度不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來表示 .關(guān)于勾股定理的記載還有很多， 同學(xué)們?nèi)绻信d趣， 可查閱有關(guān)這方面的資料所以說勾股定理有著悠久的歷史，它反映了古代人民的聰明才智.5. 想一想師小明的媽媽買了一部 29 英寸 (74 厘米 )的電視機(jī) .小明量了電視機(jī)的熒屏后，發(fā)現(xiàn)熒屏只有 58 厘米長和 46 厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？生我聽爸爸說過， 29 英寸或 74 厘米的電視機(jī)，是指熒屏對角線的長

17、度，而不是其長或?qū)捝墒?，連結(jié)熒屏的對角線將長方形的熒屏分成全等的兩個(gè)直角三角形 .根據(jù)勾股定理， 長 2+寬 2 =742 ，可 582+46 2 742 ，這是為什么呢？生因?yàn)闊善吝吙蛘谏w了一部分， 所以實(shí)際測量存在一些誤差.師的確如此，但這里我們要知道一個(gè)生活常識(shí)，29 英寸 (74厘米 )指的是熒屏的對角線的長度，而非熒屏的長或?qū)?6. 例題講解例在ABC 中，C=90 (1) 若 a=8，b=6，則 c=_；(2) 若 c=20 ，b=12 ，則 a=_；(3) 若 ab=34，c=10 ，則 a=_，b=_.師生共析分析：在ABC 中，C=90 ，所以有關(guān)系：a2+b2 =c2.在

18、此關(guān)系式中，涉及到三個(gè)量，利用方程的思想，可“知二求一” .解：根據(jù)題意可得a2+b2 =c2 .(1) 若 a=8，b=6，所以 82+62 =c2.即 c2=100 ，c0，所以 c=10 ；(2) 若 c=20 ，b=12 ，所以 a2+12 2=20 2，即 a2=20 212 2=(20+12)(20 12)=32 8=16 2 ，a0，所以 a=16 ；(3) 若 ab=34，可設(shè) a=3x，b=4x，所以 (3x)2+(4x)2=10 2.化簡，得 9x2+16 x2=100 ，25x2=100 ，x2=4，x=2(x0)，所以 a=3x=6 ；b=4x=8.評注：綜合上述解法可以發(fā)現(xiàn)，形(即ABC 為直角三角形 )與數(shù)(a2+b2=c2 )的統(tǒng)一，所以我們說